精品解析：辽宁省大连市第八中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

2024—2025学年度下学期期末考试 高一年级数学科试卷 命题学校：大连市第八中学 命题人：陈威 校对人：陈浩 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若点在角的终边上，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式及三角函数定义及两角和的正弦计算求解. 【详解】点在角的终边上，则， . 故选：C. 2. 已知复数，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求解出，然后根据复数模的计算公式求解出. 【详解】由题知，所以， 故选：C. 3. 已知向量，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量夹角公式的坐标表示即可得解. 【详解】因为，， 所以，，， 所以， 又，所以. 故选：D 4. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】当内可对A、C判断；当时可对B判断，由面面平行可对D判断. 【详解】A：若，，当时，与不平行，故A错误； B：若，，当时，不能得到，故B错误； C：若，，当时，与不平行，故C错误； D：若，，可得，故D正确. 故选：D. 5. 已知点，将向量绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设向量与正半轴夹角为，则，由题可知，利用三角和角公式求值即可. 【详解】设向量与正半轴夹角为，则， 向量绕原点逆时针旋转得到，则， 又， ， 所以. 故选：A. 6. 若函数（，）的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得函数的最小正周期为，再结合 【详解】由函数（，）的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为， 则得函数的最小正周期为，所以， 由向右平移个单位长度后得为奇函数， 则，，又，所以当时，有最小值，故B正确. 故选：B. 7. 在平行四边形中，，，，为的中点，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性关系结合平面向量数量积的运算律计算求解. 【详解】平行四边形中，，，， 为的中点，则. 故选：B. 8. 已知函数（）图象的一个对称中心是，函数的图象与的图象关于对称，若对任意，，当时，都有，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数的对称中心及角的范围得出，再应用对称轴得出，最后应用两角和差正弦公式结合单调性计算求参. 【详解】因为函数（）图象的一个对称中心是， 所以，且，所以， 因为函数的图象与的图象关于对称， 所以， 对任意，，当时，都有， 所以，单调递增， 所以， 所以且单调递增，故，故实数的最大值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（为虚数单位），的共轭复数为，则（ ） A. 的实部为1 B. 的虚部为1 C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】由复数的除法可得可对A、B判断；由，可对C、D判断. 【详解】对于A、B：由题意得，实部为1，虚部为1，故A、B正确. 对于C：，则，为纯虚数，故C正确； 对于D：由可得其在复平面内对应的点为在第四象限，故D错误. 故选：ABC. 10. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由余弦定理化简得，再结合即可对A判断，由正弦定理可得，再结合，可得，当，时满足，即可对B判断；由，则可得，即可对C判断；若，可得，再结合化简得，即可对D判断. 【详解】A：由，化简得，即， 又，则，则为等腰直角三角形，故，故A正确. B：由，可得，因，即， 当，时满足，但此时，故B错误； C：由，则可化简为，即， 即，故C错误； D：若，则，则，则 代入得，整理得，即， 所以，故D正确. 故选：AD. 11. 在正三棱柱中，，，，分别为，的中点，，，，四点均在球的表面上，则（ ） A. 平面 B. 球的表面积为 C. 球表面与三棱柱表面的交线长度之和为 D. 六面体与七面体公共部分的体积为 【答案】AC 【解析】 【分析】设中点为，易证四边形为平行四边形，可得，根据线面平面的判定即可证明平面确定A；由题可得为直角三角形，为公共斜边，则球心在中点处，为球的直径，利用球的表面积公式即可判断B；利用球的性质可求与各面的交线长，求和即可判断C；易知六面体与七面体无公共部分即可判断D. 【详解】设中点为，又为中点，所以，且， 又为中点，所以，且， 即，且，则四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，故A正确； 根据题意，易得 又平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可证，所以为直角三角形， 为公共斜边，则球心在中点处，为球的直径， 则球的表面积为，故B错误； 设分别为的中点，平面截球的截面半径为， 易得平面，则， 所以球与上底面的交线如图，，， ，则为等边三角形， 所以，则，由对称性与底面的交线长也为， 因为分别为的中点，所以， 又平面，所以平面， 设平面截球的截面半径为，， 所以球与面的交线如图，，， ，所以， ，根据对称性可知与面的交线长也为， 易知与面无交线， 所以球表面与三棱柱表面的交线长度之和为，故C正确； 根据图像六面体与七面体无公共部分，故D错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，其中，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由，求出，再利用正切两角差公式即可求解. 【详解】由，，则得，所以， 又，所以. 因，则，又，则， 则，所以. 故答案为：. 13. 已知复数，满足，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的模长平方计算求解. 【详解】复数，满足，，， 则，所以， 则，． 故答案为：. 14. 已知圆台上、下底面的圆周都在球心为的球面上，若球半径为1，，分别为圆台上下底面圆周上的动点，且直线，与圆台底面所成的角分别为，，则面积的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】分圆台的上下底面在外接球球心的同侧和两侧进行讨论. 【详解】如下图，为圆台的轴截面，圆台的上、下底面的圆周在球心的同侧. 可令点保持不动，点在底面圆周上运动. 因为，，所以，. 所以在点的运动过程中，与的夹角的取值范围为：. 所以，当时取得最小值，当时，取得最大值. 又，所以. 如下图：圆台的轴截面，圆台的上、下底面的圆周在球心的两侧. 则，. 所以在点的运动过程中，与的夹角的取值范围为：. 所以，当时取得最小值，当时，取得最大值. 所以. 综上可得：面积的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，，函数． （1）求函数的单调减区间； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）（） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标运算，利用降幂及辅助角公式化简，整体法求单调区间即可； （2）由可得，根据同角三角函数求值问题可求，接着求、的值，最后再利用正弦和角公式求值即可. 【小问1详解】 由，，解得，（）， 所以函数的单调减区间为（） 【小问2详解】 由，得，又， 所以，所以． 所以， ， 所以 ． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，且，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，可证四边形是平行四边形，得到，利用线面平行的判定即可证明； （2）取的中点，连接，，易证面，得到，利用余弦定理可得，接着可证四边形是正方形，得到，根据线面垂直的判定可证面，得到. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接，， 因为为的中点，所以，且． 又因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 取的中点，连接，， 因为，所以，所以， 因为面，面，所以 因为，面，面，所以面， 因为面，所以， 因为，，所以，， 所以四边形是正方形，所以 ， 因为，面，面，所以面， 因为面，所以． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，，线段延长线上的一点满足，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理并结合正弦两角和公式，即可求解； （2）由余弦定理可得，再结合正弦定理及三角形面积公式，即可求解. 【小问1详解】 由及正弦定理得 ，所以， 又，所以，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由及余弦定理得，即， 又，，解得， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 由得，所以， 即，所以， 设的面积为，则， 即，又，解得， 所以的长为． 18. 如图，平面四边形中，点是线段上一点，，且，，，沿着将三角形折叠得到四棱锥，折叠后． （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的正切值； （3）若，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，证明：当球的半径最小时，点在平面内． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由图翻折可知，，再利用面面垂直的判定证明即可； （2）过点作交于，通过证明平面，得到为二面角的平面角，再求正切值即可； （3）设和的外心分别和，则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点，过点作于，连接，可知四边形为矩形，设，通过计算可得外接球半径，当时，球的半径最小，此时点与点重合即可证明. 【小问1详解】 在四边形中，因为，所以折叠后有，． 又，平面，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． 【小问2详解】 由题意，又，故， 过点作交于，则，连接，， 因为平面平面，面面，平面， 且，所以平面． 因为平面，所以，同理， 因为，，，所以由余弦定理得， 所以， 因为，平面，平面，所以平面． 因为平面，所以，所以为二面角的平面角． 所以在中，， 所以平面与平面夹角的正切值为． 【小问3详解】 由（1）知平面平面， 设和的外心分别和， 因为、、、均在以为球心的球面上， 则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点， 过点作于，连接， 设，显然四边形为矩形， 所以． 在中，设（）， 由及余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径． 在中，，，， 由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径． 所以， 即， 所以，故当时，球的半径最小， 此时点与点重合，所以点在平面内． 19. 已知函数，（）． （1）证明：曲线关于点对称； （2）若存在，使得关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围; （3）若，在上的值域为，在上的值域为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由从而可证； （2）由题可得，从而可得对任意的恒成立，令，可得恒成立，再将参数分离，即可求解. （3）当为奇数时，求得，则在上单调递增，从而可求解；当为偶数时，对任意正整数，得，从而，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以 ，． 又， 即， 所以曲线关于点对称． 【小问2详解】 因为当时，，， 所以，由题知存在， 使得对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 令，则，， 则恒成立，即对恒成立， 因为在上单调递减，即， 所以对恒成立，所以，可得， 所以的取值范围为． 【小问3详解】 当为奇数时，对任意，且， 由于，， 所以，， 从而， 即，所以在上单调递增， 当时取得最小值0，当时取得最大值1． 所以在上的值域； 当为偶数时，一方面因为时，，， 所以． 另一方面，由于对任意正整数，因为， 则有 ， 所以， 进而 所以时，，当时取得最大值1， 当时取得最小值． 所以时，在上的值域， 而时，在上的值域； 综上，时，，时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期期末考试 高一年级数学科试卷 命题学校：大连市第八中学 命题人：陈威 校对人：陈浩 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若点在角的终边上，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 已知复数，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知向量，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知点，将向量绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数（，）的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 在平行四边形中，，，，为的中点，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 8. 已知函数（）图象的一个对称中心是，函数的图象与的图象关于对称，若对任意，，当时，都有，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（为虚数单位），的共轭复数为，则（ ） A. 的实部为1 B. 的虚部为1 C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第一象限 10. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 在正三棱柱中，，，，分别为，的中点，，，，四点均在球的表面上，则（ ） A. 平面 B. 球的表面积为 C. 球表面与三棱柱表面的交线长度之和为 D. 六面体与七面体公共部分的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，其中，，则______． 13. 已知复数，满足，，，则______． 14. 已知圆台上、下底面的圆周都在球心为的球面上，若球半径为1，，分别为圆台上下底面圆周上的动点，且直线，与圆台底面所成的角分别为，，则面积的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，，函数． （1）求函数的单调减区间； （2）若，且，求的值． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，且，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）证明：． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，，线段延长线上的一点满足，求线段的长． 18. 如图，平面四边形中，点是线段上一点，，且，，，沿着将三角形折叠得到四棱锥，折叠后． （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的正切值； （3）若，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，证明：当球的半径最小时，点在平面内． 19. 已知函数，（）． （1）证明：曲线关于点对称； （2）若存在，使得关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围; （3）若，在上的值域为，在上的值域为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $