辽宁辽阳市2025-2026学年高一下学期期末考复习数学卷（三）

**基本信息** 辽阳市高一下期末复习卷，聚焦必修三、四核心内容，以相控阵雷达、折扇等情境题融合立体几何、三角函数等知识，注重数学眼光观察与思维应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|异面直线夹角、面面关系、复数性质|单选第8题以相控阵雷达为背景，考查三角函数应用；多选第11题结合菱形翻折，提升空间想象| |填空题|3题/15分|复数运算、外接圆面积、向量范围|第14题折扇情境，将几何图形与向量模长结合，体现文化传承| |解答题|5题/77分|解三角形、立体几何证明、三角函数图像变换|第17题翻折问题分层考查垂直证明与体积计算；第19题三角函数图像变换与方程求解，衔接高考命题趋势|

辽阳市2025-2026学年度高一下学期期末考复习卷（三） 数学试卷 考试范围：人教B版必修三必修四；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24高一下·江苏南京·期末）（    ） A． B． C． D．1 2．（2019·广东中山·二模）如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ） A． B． C． D． 3．（2021·江苏常州·一模）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25高三上·北京房山·期中）已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·山东临沂·期末）已知非零向量，满足，且在方向的投影向量是，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·吉林长春·期末）点P从点出发，绕以坐标原点为圆心的单位圆顺时针旋转到达点Q，则点Q的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽安庆·三模）已知圆锥的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·云南曲靖·期末）相控阵雷达堪称作战飞机的“智能复眼”，是其核心感知器官.它通过调节相邻辐射单元的相位差，使电磁波波束定向传播，其波束传播方向与水平方向的夹角满足关系：（其中为电磁波波长，为相邻单元间距，为相位调节系数，且，，），则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．若，则 D．当从0增大到1时，随的增大而减小 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9．（2025·海南·模拟预测）下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（   ） A． B．复数的共轭复数的虚部为4 C．若复数z满足，则的最大值为2 D．若是关于x的方程的一个根，则 10．（2026·新疆·二模）设的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则一定是锐角三角形 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则一定是等边三角形 D．若，则一定是等腰三角形 11．（2025·河北沧州·一模）已知菱形的边长为2，，将沿着折起至，连接，得到三棱锥，则下列说法正确的是（    ） A． B．三棱锥体积的最大值为1 C．若，则三棱锥外接球的表面积为 D．若二面角的余弦值为，则三棱锥内切球的体积为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．（2024·云南昆明·三模）已知复数满足，则__________ 13．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在中，角，，所对的边为，，.若，，则外接圆的面积为____________. 14．（24-25高一下·广东佛山·期中）折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣.图2中的扇形为一把折扇展开后的平面图，其中，，点在弧上（包括端点）运动，其中，分别是，的中点，则的范围为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（2026·山西忻州·模拟预测）在中，点在边上，且为的平分线．已知，，． (1)求； (2)求的面积和． 16．（2024高三·全国·专题练习）如图在正方体中，是所在棱上的中点. (1)求平面与平面夹角的余弦值 (2)补全截面 17．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，是以BD为斜边的等腰直角三角形，将△ABD沿对角线BD翻折到，在翻折的过程中 (1)求证：BD⊥PC； (2)若DP⊥BC，求证：PC⊥平面BCD． 18．（23-24高三上·山东济宁·期末）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的最小值. 19．（25-26高一上·山东烟台·期末）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象． （ⅰ）当时，求的取值范围； （ⅱ）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $辽阳市2025-2026学年度高一下学期期末考复习卷（三) 数学试卷 考试范围：人教B版必修三必修四；考试时间：120分钟： 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.) 1.(23-24高-下-江苏南京期末)号cos15°+号si15°=() D A.月 B.9 c. D.1 B 2.（2019广东中山二模)如图，在正方体ABCD-AB,C1D中，异面直线AC与 Di-- AB所成的角是() A.45° B.90° C.60° D.30° 3.(2021江苏常州.一模)设m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，下列说法正 确的是() A.若m1,n1a,则m/n B.若a⊥B,m⊥B,则m/a C.若a⊥B,mca,则m⊥B D.若mca,nca,m/B,n/B,则a//B 4.(24-25高三上北京房山期中)已知函数y=Asin(ωx+p)(A>0,ω>0，pl<)的部 分图象如图所示，将该函数的图象向左平移(t>0)个单位长 度，得到函数y=f(x)的图象若函数y=f(x)为奇函数，则t 的最小值是() 6 A:器 B.8 -a c.4 p.月 5.(22-23高一下山东临沂期末)已知非零向量d,b满足(d+3b1(d-3,且b在方 向的投影向量是d,则a与的夹角是() A.8 B C. D. 试卷第1页，共4页 6.（22-23高一上·吉林长春期末)点P从点(-1,0)出发，绕以坐标原点为圆心的单位圆顺 时针旋转到达点Q,则点Q的坐标是() A.() B.(-) c.() D.(原-) 7.(2024安徽安庆·三模)已知圆锥P0的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面 积之比为() A.4:1 B.3:1 C.2:1 D.8:1 8.(25-26高三上·云南曲靖·期末)相控阵雷达堪称作战飞机的“智能复眼”，是其核心感知 器官.它通过调节相邻辐射单元的相位差，使电磁波波束定向传播，其波束传播方向与水平 方向的夹角9满足关系：sm9=号（其中为电磁波波长，d为相邻单元间距，k为相位调节 系数，且k∈0,1]，日∈[0，引，1≤2d),则下列说法正确的是() A,当k=0时，8=2 B.当k=1时，cos0=1-( C.若=2d,则tan0=1 D.当k从0增大到1时，6随k的增大而减小 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0 分.) 9.(2025海南模拟预测)下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是() A.i2025=-i B.复数-=5-4i的共轭复数的虚部为4 C.若复数z满足2-i=1,则z的最大值为2 D.若3+4i是关于x的方程x2+px+q=0(D,q∈R)的一个根，则q=-25 10.(2026新疆·二模)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是() A.若a2+b2-c2>0,则△ABC一定是锐角三角形 B.若a2+b2一c2<0,则△ABC一定是钝角三角形 C.若品=品B=C则△ABC一定是等边三角形 D.若acosB+bcosA=a,则△ABC一定是等腰三角形 试卷第2页，共4页 11.(2025河北沧州一模)已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=S,将△DAC沿着AC折起 至△D'AC,连接BD',得到三棱锥D'一ABC,则下列说法正确的是() A.AC⊥BD B.三棱锥D'-ABC体积的最大值为1 C.若AB1AD',则三棱锥D'-ABC外接球的表面积为6π D.若二面角D'-AC一B的余弦值为则三棱锥D'-ABC内切球的体积为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分) 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.(2024·云南昆明·三模)己知复数z满足iz=2-i,则z= 13.(25-26高一下·浙江杭州期中)在△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c若A= a=2,则△ABC外接圆的面积为 14.(24-25高一下·广东佛山期中)折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎 夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣.图2中的扇形0CD为一把折扇展开后的平面图， 其中∠C0D=,0C=OD=1,点M在弧CD上（包括端点）运动，其中E,F分别是0C,OD 的中点，则ME·MF的范围为 图1 图2 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤.) 15.（2026山西忻州·模拟预测)在△ABC中，点D在边BC上，且AD为∠A的平分线.已 知A=60,AB+AC=4,AD=号. (1)求AB·AC: (2)求△ABC的面积和BC2. 试卷第3页，共4页 16.（2024高三·全国.专题练习)如图在正方体 ABCD-AB,C1D中，P,Q是所在棱上的中点. (I)求平面APQ与平面ABCD夹角的余弦值 (2)补全截面APQ 17.(24-25高一下·湖北武汉·期中)如图，在四边形ABCD中， △ABD是等边三角形，△BCD是以BD为斜边的等腰直角三角 形，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD,在翻折的过程中 (I)求证：BDLPC; (2)若DPLBC,求证：PC1平面BCD. 18.(23-24高三上·山东济宁·期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ c0sB+c4=0. (1)求角A的大小： (2)若S△4Bc=V3,求a的最小值. 19.(25-26高一上：山东烟台·期末)已知函数f(x)=sin4x+2V3 sinxcosx-cos4x. (1)求函数f(x)的单调递增区间： (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，再将函数g(x)图象上各 点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数(x)的图象. (i)当xe(-是)时，求n(x)的取值范围： (i)若关于x的方程型-mcos(4x-)-m+2=0在区间（号）上有解，求实数m的 取值范围. 试卷第4页，共4页 辽阳市2025-2026学年度高一下学期期末考复习卷（三） 数学试卷 考试范围：人教B版必修三必修四；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24高一下·江苏南京·期末）（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】将原式转化为，然后利用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】 . 故选：C 2．（2019·广东中山·二模）如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据异面直线所成角的定义进行求解. 【详解】连接，在正方体中，， 所以为异面直线与所成的角， 而，即为等边三角形， 所以，即异面直线与所成的角是. 故选：C.    3．（2021·江苏常州·一模）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】由空间中线面垂直、面面垂直、线面平行的性质以及线线、线面、面面的位置关系即可得出. 【详解】因为是两条不同的直线，是两个不同的平面， 对于A，若，则由线面垂直的性质定理得，故A正确. 对于B，若，则由面面垂直、线面垂直的性质得或，故B错误. 对于C，若，则与相交、平行或，故C错误. 对于D，若，则与相交或平行，故D错误. 故选：A 4．（24-25高三上·北京房山·期中）已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数图像求出函数的图像距离原点最近的点的坐标，即可确定的值. 【详解】如图设函数的部分图像与轴的交点为，    由图可知，所以， 所以点与点关于点对称， 设，则，解得， 因为将函数函数的图象向左平移（）个单位长度，得到函数的图象，且图象关于原点对称， 所以平移后的函数为奇函数，即相当于把的图象与轴最近的交点平移到坐标原点即可，由图可知此点为， 所以， 故选：B. 5．（22-23高一下·山东临沂·期末）已知非零向量，满足，且在方向的投影向量是，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用垂直关系的向量表示可得，再利用投影向量的意义求出，进而求出向量夹角. 【详解】由，得，则， 由在方向的投影向量是，得，因此， 则，又，， 所以与的夹角是. 故选：C 6．（22-23高一上·吉林长春·期末）点P从点出发，绕以坐标原点为圆心的单位圆顺时针旋转到达点Q，则点Q的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得为终边的一个角为， 设，根据三角函数的定义可求出结果. 【详解】根据题意得为终边的一个角为， 设， 根据三角函数的定义可得，，则，， 所以. 故选：C 7．（2024·安徽安庆·三模）已知圆锥的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据截面图分析即可得半径比，然后可得答案. 【详解】如图，等边三角形的内切圆和外接圆的半径即为内切球和外接球的半径， 记内切球和外接球的半径分别为和， 则 所以其外接球与内切球的表面积之比为. 故选：A． 8．（25-26高三上·云南曲靖·期末）相控阵雷达堪称作战飞机的“智能复眼”，是其核心感知器官.它通过调节相邻辐射单元的相位差，使电磁波波束定向传播，其波束传播方向与水平方向的夹角满足关系：（其中为电磁波波长，为相邻单元间距，为相位调节系数，且，，），则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．若，则 D．当从0增大到1时，随的增大而减小 【答案】B 【详解】对于A：当时，，由，得，所以A不正确； 对于B：当时，. 由，得，所以，所以B正确； 对于C：若，则，所以，所以，所以C不正确； 易知，对于确定的，当从0增大到1时， 随的增大而增大. 对于D：令是关于的一次函数，，， 所以随的增大而增大， 当时，随的增大而增大， 所以随的增大而增大.所以D不正确. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9．（2025·海南·模拟预测）下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（   ） A． B．复数的共轭复数的虚部为4 C．若复数z满足，则的最大值为2 D．若是关于x的方程的一个根，则 【答案】BC 【分析】计算可判断A；根据共轭复数的定义可判断B；求出的轨迹为圆，圆上的点到原点的距离最大值为2，可判断C；得到为方程的另一个根，根据韦达定理计算可得判断D. 【详解】A选项，，故A错误； B选项，复数的共轭复数为，故虚部为，故B正确； C选项，若复数z满足，则z的轨迹为复平面内，以为圆心，1为半径的圆， 此圆上的点到原点的距离，最大值为2，即到原点距离，故的最大值为2，故C正确； D选项，是关于x的方程的一个根，为方程另一个根， 故，D不正确. 故选：BC 10．（2026·新疆·二模）设的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则一定是锐角三角形 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则一定是等边三角形 D．若，则一定是等腰三角形 【答案】BCD 【分析】利用正弦定理、余弦定理边角互化逐项判断即可. 【详解】A，由余弦定理可得为锐角， 但角度不确定，可为钝角三角形或直角三角形，A错误； B，由余弦定理可得到为钝角，故一定是钝角三角形，B正确； C，因为，由正弦定理可得，即， 又均为的内角，所以，一定为等边三角形，C正确； D，因为，由正弦定理可得，即， 所以，又均为的内角，所以，即一定为等腰三角形，D正确； 故选：BCD 11．（2025·河北沧州·一模）已知菱形的边长为2，，将沿着折起至，连接，得到三棱锥，则下列说法正确的是（    ） A． B．三棱锥体积的最大值为1 C．若，则三棱锥外接球的表面积为 D．若二面角的余弦值为，则三棱锥内切球的体积为 【答案】ABD 【分析】根据线面垂直的 判定定理及性质定理、三棱锥体积公式、二面角、外接球、内切球等求解方法，逐项计算验证即可. 【详解】选项A：设与交于，连接，则为中点. 因为，，所以，. 又，平面，，所以平面， 又平面，所以，故A正确； 选项B： 当平面时，三棱锥的高最大，三棱锥的体积最大， 此时，, 所以，故B正确； 选项C：若，则，所以，所以. 取的中点，连接，. 所以，即为三棱锥外接球的球心， 所以三棱锥外接球的表面积为，故C错误； 选项D：因为，，所以为二面角的平面角， 所以，所以， 点到平面的距离为， 设三棱锥内切球的半径为，所以 ，解得， 所以三棱锥内切球的体积为，故D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．（2024·云南昆明·三模）已知复数满足，则__________ 【答案】 【分析】根据复数的乘除运算及复数的模的运算公式即可求解. 【详解】因为复数满足，所以，所以. 故答案为：. 13．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在中，角，，所对的边为，，.若，，则外接圆的面积为____________. 【答案】 【分析】借助正弦定理计算可得，再由圆的面积公式即可得. 【详解】设外接圆的半径为， 由正弦定理可得，故， 则外接圆的面积. 14．（24-25高一下·广东佛山·期中）折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣.图2中的扇形为一把折扇展开后的平面图，其中，，点在弧上（包括端点）运动，其中，分别是，的中点，则的范围为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示，结合正弦函数的性质求出范围. 【详解】以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 则，设，， ， 因此 ， 而，则，， 所以的范围为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（2026·山西忻州·模拟预测）在中，点在边上，且为的平分线．已知，，． (1)求； (2)求的面积和． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）由三角形面积公式列方程求解； （2）由三角形面积公式求解即可；由余弦定理求即可. 【详解】（1）设，．则， 又， 由余弦定理，． 记，则， 因为为的平分线， 所以， 所以，又， 故，因此． （2）三角形面积：； 由（1）可知：． 16．（2024高三·全国·专题练习）如图在正方体中，是所在棱上的中点. (1)求平面与平面夹角的余弦值 (2)补全截面 【答案】(1) (2)五边形是平面截正方体所得的截面： 【分析】（1）利用投影面积法可得，可设正方体的棱长为2，计算即可求解； （2）利用正方体截面的性质即可得结果. 【详解】（1）由投影面积法可得， 因为是所在棱上的中点，设正方体的棱长为， 则， ，，， 所以在中，边上的高为， 所以， 所以. （2）如图，设所在直线与所在直线交于点，与所在直线交于点， 连接交于点，连接交于点，连接， 则五边形是平面截正方体所得的截面. 17．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，是以BD为斜边的等腰直角三角形，将△ABD沿对角线BD翻折到，在翻折的过程中    (1)求证：BD⊥PC； (2)若DP⊥BC，求证：PC⊥平面BCD． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，根据几何关系，取的中点，根据等腰三角形的性质，证明平面； （2）根据线线垂直，证明平面，再根据线面垂直关系说明，再根据（1）的结果，证明线面垂直. 【详解】（1）取的中点，在等腰中，，为的中点， ∴，在等边中，，又，平面， ∴平面，又平面，∴ （2）∵在中，，又，又，平面 ∴平面，又平面，∴ 又由（1）知（已证），，平面， ∴平面 18．（23-24高三上·山东济宁·期末）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，进而可求解， （2）根据面积公式以及余弦定理，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1） 由正弦定理得： ， 又，， ， ； （2），， 由余弦定理得：， 当且仅当时等号成立， ，即的最小值为. 19．（25-26高一上·山东烟台·期末）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象． （ⅰ）当时，求的取值范围； （ⅱ）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用平方差公式结合二倍角公式化简解析式，再利用正弦函数单调性求的单调区间； （2）（ⅰ）利用图象变换规则求出，运用换元法求出在给定区间内的取值范围； （ⅱ）利用诱导公式化简方程，分离参数，利用基本不等式结合对勾函数性质求实数的取值范围． 【详解】（1） ， 正弦函数的递增区间为，令， 则，解得， 的单调递增区间为． （2）函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，故， 的图象是将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，故； （ⅰ）当时，，令， ，； （ⅱ）方程，代入， ， ， 方程转化为， 设，当时，，方程化为， 整理得，令，， 则，， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 令，则对勾函数的图象如下图所示： 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， ，，， 综上可得的取值范围为：． 试卷第14页，共15页 试卷第15页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $辽阳市2025-2026学年度高一下学期期末考复习卷（三) 数学试卷 考试范围：人教B版必修三必修四：考试时间：120分钟： 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.) 1.(23-24高一下-江苏南京期末)5cos15°+sin15°=() A. B.V3 3 c.9 D.1 【答案】C 【分析】将原式转化为sin45cos15°+cos45si15°，然后利用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】号cos15+号sm15 =sin45°c0s15°+cos45°sin15° =sin(45°+15)=sin60°= 2 故选：C 2.(2019广东中山·二模)如图，在正方体ABCD-ABCD中，异面直线AC与AB所成的 角是() D 6 Di-. B A.45° B.90° C.60° D.30° 【答案】C 【分析】根据异面直线所成角的定义进行求解， 【详解】连接CD,AD,在正方体ABCD-AB,CD中，ABIDC, 试卷第1页，共15页 所以∠ACD为异面直线AC与AB所成的角， 而AD=AC=DC,即△ACD为等边三角形， 所以∠ACD=60°，即异面直线AC与AB所成的角是60° 故选：C D B D B 3.（2021·江苏常州·一模)设m,n是两条不同的直线，，B是两个不同的平面，下列说法正 确的是() A.若m1,n1a,则m/n B.若a1B,m1B,则m/a C.若a1B,mc,则m1B D.若mca,nca,m/B,n/B,则a//B 【答案】A 【分析】由空间中线面垂直、面面垂直、线面平行的性质以及线线、线面、面面的位置关系 即可得出. 【详解】因为m,n是两条不同的直线，，B是两个不同的平面， 对于A,若m1,n1a,则由线面垂直的性质定理得m/n,故A正确. 对于B,若a1B,m⊥B,则由面面垂直、线面垂直的性质得mca或m//a,故B错误. 对于C,若a1B,mca,则m与B相交、平行或mcB,故C错误. 对于D,若mca,nca,m/B,n/B,则a与B相交或平行，故D错误. 故选：A 4.(24-25高三上北京房山期中)已知函数y=Asim(wx+p)(A>0,w>0,lp<)的部 分图象如图所示，将该函数的图象向左平移t(t>0)个单位长度，得到函数y=f(x)的图象 若函数y=f(x)为奇函数，则t的最小值是() 试卷第2页，共15页 6 -a A.2 B. 6 c. D. 【答案】B 【分析】结合函数图像求出函数y=Asi(ωx+p)的图像距离原点最近的点的坐标，即可确 定t的值， 【详解】如图设函数y=Asin(ωx+p)的部分图像与x轴的交点为A,B,C, B 匹 6 0 由图可知f(-君)=a,f月=-a,所以f(-)=-f() 所以点(-，a)与点（经，-a)关于点A对称， 设Aca0),则-石+=2，解得xA=日 因为将函数y=Asin(wx+p)函数的图象向左平移t(t>0)个单位长度，得到函数y=f(x) 的图象，且图象关于原点对称， 所以平移后的函数y=f(x)为奇函数，即f(O)=0相当于把y=Asin(ωx+p)的图象与x轴最 近的交点平移到坐标原点即可，由图可知此点为A(怎，0)， 所以t=吾 故选：B 5.(22-23高一下山东临沂期末)已知非零向量d,b满足(d+3b1(d-3b,且b在方 向的投影向量是d,则与的夹角是() A.君 5π B. 6 c. D. 【答案】C 试卷第3页，共15页 【分析】利用垂直关系的向量表示可得=3引，再利用投影向量的意义求出à·，进而 求出向量夹角： 【详解】由(d+31(d-3,得(d+3·(d-3=2-92=0,则=3， 由6在方向的投影向量是d,得a-d,因此td6-a2-号， 则cos(,= 品=克0<低或<w低动=月 所以与的夹角是 故选：C 6.（22-23高一上·吉林长春期末)点P从点(-1,0)出发，绕以坐标原点为圆心的单位圆顺 时针旋转”到达点Q,则点Q的坐标是() A.( B.尽-) C. () D. 【答案】C 【分析】根据题意得0Q为终边的一个角为。 设Q(x,y),根据三角函数的定义可求出结果 【详解】根据题意得OQ为终边的一个角为：， 设Qx,y), 根据三角函数的定义可得smg=y,cosg=x,则y=x=-马 所以Q(为 故选：C 7.(2024安徽安庆·三模)已知圆锥P0的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面 积之比为() A.4:1 B.3:1 C.2:1 D.8:1 【答案】A 【分析】根据截面图分析即可得半径比，然后可得答案 【详解】如图，等边三角形PAB的内切圆和外接圆的半径即为内切球和外接球的半径， 记内切球和外接球的半径分别为r和R, 则片=si加- 所以其外接球与内切球的表面积之比为二-41. 故选：A. 试卷第4页，共15页 8.(25-26高三上·云南曲靖·期末)相控阵雷达堪称作战飞机的“智能复眼”，是其核心感知 器官它通过调节相邻辐射单元的相位差，使电磁波波束定向传播，其波束传播方向与水平 方向的夹角9满足关系：sm0=经（其中1为电磁波波长，d为相邻单元间距，k为相位调节 系数，且k∈0,1]，∈[0，习，入≤2d),则下列说法正确的是() A.当k=0时，0=月 B.当k=1时，cos6=√1-( C.若=2d,则tan6=1 D.当k从0增大到1时，6随k的增大而减小 【答案】B 【详解】对于A:当k=0时，sin0=0,由∈[0，引， 得0=0，所以A不正确： 对于B:当k=1时，sim9=4=之 2a=2a 由8∈[o, 得cos8≥0，所以cos0=1-(分 所以B正确； k 对于C:若1=2d,则sin8=k,所以cos8=V1-sin20=V1-k2,所以tan6=产。，所 以C不正确： 易知是>0，对于确定的会 当k从0增大到1时，立sin9随k的增大而增大 对于D:令y=sin8=经是关于k的一次函数，1>0，d>0, 2d 所以sin8随k的增大而增大， 当8∈[0，引时，sin9随0的增大而增大， 所以6随k的增大而增大所以D不正确 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项 试卷第5页，共15页 中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0 分.) 9.(2025海南模拟预测)下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是() A.i2025=-i B.复数z=5-4i的共轭复数的虚部为4 C.若复数z满足z-=1,则的最大值为2 D.若3+4i是关于x的方程x2+px+q=0(D,q∈R)的一个根，则q=-25 【答案】BC 【分析】计算25可判断A；根据共轭复数的定义可判断B;求出z-=1的轨迹为圆，圆 上的点到原点的距离最大值为2，可判断C；得到3-4为方程的另一个根，根据韦达定理 计算可得q判断D 【详解】A选项，i2025=i0x41=i,故A错误； B选项，复数z=5-4i的共轭复数为z=5+4i,故虚部为4，故B正确： C选项，若复数z满足引z-=1,则z的轨迹为复平面内，以(0,1)为圆心，1为半径的圆， 此圆上的点到原点的距离，最大值为2，即(0,1)到原点距离，故z的最大值为2，故C正 确； D选项，3+4i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，3-4i为方程另一个根， 故q=(3+4i)(3-4i)=9+16=25,D不正确 故选：BC 10.(2026新疆二模)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是() A.若a2+b2-c2>0,则△ABC一定是锐角三角形 B.若a2+b2-c2<0,则△ABC一定是钝角三角形 C.若品=品B=则△ABC一定是等边三角形 D.若acosB+bcosA=a,则△ABC一定是等腰三角形 【答案】BCD 【分析】利用正弦定理、余弦定理边角互化逐项判断即可. 【详解】A,由余弦定理cosC=+-c>0可得C为锐角， 2ab 试卷第6页，共15页 但A,B角度不确定，△ABC可为钝角三角形或直角三角形，A错误； B,由余弦定理cOsC=2+b2-c<0可得到C为钝角，故△ABC一定是钝角三角形，B正确： 2ab C,因为品=品=由正孩定理可符-- cosC 即tanA=tanB=tanC, 又A,B,C均为△ABC的内角，所以A=B=C,△ABC一定为等边三角形，C正确： D,因为acosB+bcosA=a,由正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=sinA,即sin(A+B)= sinA, 所以sin(π-C)=sinC=sinA,又A,C均为△ABC的内角，所以A=C,即△ABC一定为等 腰三角形，D正确： 故选：BCD 11.(2025:河北沧州一模)已知菱形ABCD的边长为2，LABC=,将△DAC沿着AC折起 至△D'AC,连接BD',得到三棱锥D'-ABC,则下列说法正确的是() A.AC L BD' B.三棱锥D'-ABC体积的最大值为1 C.若AB 1 AD',则三棱锥D'-ABC外接球的表面积为6π D.若二面角D'-AC-B的余弦值为则三棱锥D'-ABC内切球的体积为海 【答案】ABD 【分析】根据线面垂直的判定定理及性质定理、三棱锥体积公式、二面角、外接球、内切 球等求解方法，逐项计算验证即可 【详解】选项A:设AC与BD交于O,连接0D',则O为AC中点 D 因为D'A=D'C,BA=BC,所以AC⊥D'O,AC⊥BO 又D'O,B0c平面BOD',D'0∩B0=O,所以AC1平面BOD', 又D'BC平面BOD',所以AC1D'B,故A正确： 选项B:当D'OI平面ABC时，三棱锥D'-ABC的高D'O最大，三棱锥的体积最大， 试卷第7页，共15页 此时SAABC=×2×2×sin5=V3,D'0=V3, 所以V=SAABC·D'0=子×V3×V3=1,故B正确； 选项C:若AB1AD',则D'B=VAB2+D'A2=2V2,所以D'C2+CB2=D'B2,所以D'C1 CB. 取BD'的中点E,连接AE,CE 所以EA=EC=BD'=ED'=EB,即O为三棱锥D'一ABC外接球的球心， 所以三棱锥D'-ABC外接球的表面积为4r×(√2)2=8π，故C错误； 选项D:因为AC1D'O,AC1BO,所以LD'OB为二面角D'-AC-B的平面角， 所以c0s∠D'0B=,所以D'B=VD'02+B02-2D'0·B0·c0sLD'0B=2, 点D'到平面ABC的距离为D'0·sinD'0B=V3×2=2Y5, 3 设三棱锥D'一ABC内切球的半径为R,所以 +2x2x31 xx2x2×+x 2+×2x2x31 3 2+2×2×2x R 2 =××2×2×9x25,解得R=5, 6 3 所以三棱锥D'-ABC内切球的体积为号R3-誓×（阁 2> 故D正确， 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.(2024云南昆明·三模)己知复数z满足iz=2-i,则z= 【答案】√5 【分析】根据复数的乘除运算及复数的模的运算公式即可求解 【详解】因为复数z满足z=2-i,所以z==-1-2i,所以训z=V1+4=V5. 故答案为：√5 13.(25-26高一下浙江杭州期中)在△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c若A= a=2,则△ABC外接圆的面积为 【答案】2π 【分析】借助正弦定理计算可得R,再由圆的面积公式即可得 试卷第8页，共15页 【详解】设△ABC外接圆的半径为R, 由正弦定理可得2R=品a=品-2W2,故R=V2。 则△ABC外接圆的面积S=R2=2π 14.(24-25高一下·广东佛山·期中)折扇（图1)是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎 夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣图2中的扇形0CD为一把折扇展开后的平面图， 其中LC0D=变，0C=0D=1,点M在弧CD上（包括端点）运动，其中E,F分别是0C,OD 的中点，则ME·MF的范围为 图1 图2 【答案】，司 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示，结合正弦函数的性 质求出范围 【详解】以0为原点，直线0C为x轴建立平面直角坐标系， 则E(G,0),F(-是，写)，设∠M0c=0,0≤日≤，M(cos8,sin0), MB-(-cos0,-sin0).MF-(-cos0,-sin0), 因此ME.MF=(-cos6)(-}-cos0)+(-sin0)-sin0) =cos20+sim20-99in0-cos8-言=名-3sin(0+9, 话≤0+≤g则号≤sim(0+9≤1，是≤M正.Mf≤ 所以ME·MF的范围为[，] 故答案为：[司 试卷第9页，共15页 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤.) 15.(2026山西忻州·模拟预测)在△ABC中，点D在边BC上，且AD为∠A的平分线.己 知A=60,AB+AC=4,AD= 3 (1)求ABAC: (2)求△ABC的面积和BC2. 【答案】(1)AB.AC=2√5； 3 (2)S®c=2,BC2=16-63 【分析】(1)由三角形面积公式列方程求解： (2)由三角形面积公式ccmA求解即可：由余张定理求BC即可 【详解】(1)设AB=c,AC=b.则c+b=4, 又∠A=60°， 由余弦定理，BC2=b2+c2-2 bccos60°=b2+c2-bc 记p=bc,则BC2=(b+c)2-3bc=16-3p, 因为AD为∠A的平分线， 所以e.D30+ADsin30-csn60, 所以4D=,又AD-=: 3 4 故p=bc=2V3,因此ABAC=25. (2)三角形面积：Sac-besinc60°=}2N5.5_3 2 2 22 由(1)可知：BC2=16-3p=16-3.2W3=16-6N3. 16.(2024高三·全国·专题练习)如图在正方体ABCD-AB,C1D中，P,Q是所在棱上的中点. 试卷第10页，共15页 O B A (I)求平面APQ与平面ABCD夹角的余弦值 (2)补全截面APO 【答案】()37 17 (2)五边形ASOPG是平面APQ截正方体所得的截面： A F G 分 【分析】(1)利用投影面积法可得c0s0=8型，可设正方体的棱长为2，计算即可求解： SVAPO (2)利用正方体截面的性质即可得结果。 【详解】(1)由投影面积法可得cos0=逆 SAPO D 0 A 6) B 因为P,Q是所在棱上的中点，设正方体的棱长为2， 则w-2x21x2-3x1x1-1x2-, 2 2 P9=P+F-2,A0=V(W5)2+2=3,AP=V(W52+2-3, 试卷第11页，共15页 所以在△APQ中，PO边上的高为 V34 2 所以SAPe= 2 2 2317 所以cos8= SV投影= √1717 2 (2)如图，设P9所在直线与AB所在直线交于点F,与AD所在直线交于点R, 连接AF交BB于点G,连接AR交DD于点S,连接PG,AG,AS,SO, 则五边形ASOPG是平面APQ截正方体所得的截面. A D B 17.(24-25高一下·湖北武汉·期中)如图，在四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，△BCD 是以BD为斜边的等腰直角三角形，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD,在翻折的过程中 (1)求证：BDLPC: (2)若DP1BC,求证：PCI平面BCD. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，根据几何关系，取BD的中点M,根 据等腰三角形的性质，证明BDI平面PCM; (2)根据线线垂直，证明BC1平面PCD,再根据线面垂直关系说明BC1PC,再根据(1) 试卷第12页，共15页 的结果，证明线面垂直 【详解】(I)取BD的中点M,在等腰Rt△BCD中，BC=CD,M为BD的中点， CM⊥BD,在等边△PBD中，BD⊥PM,又PM∩CM=M,PM,CMc平面PCM, BDI平面PCM,又PCC平面PCM,BD L PC (2)在Rt△BCD中，BC⊥CD,又BC⊥DP,又CD∩DP=D,CD,DPC平面CDP .BC⊥平面PCD,又PCC平面PCM,∴BC⊥PC 又由(1)知PC⊥BD(己证)，BC∩BD=B,BC,BDC平面BCD, PC⊥平面BCD 18.(23-24高三上山东济宁.期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知bcosC+ cco (1)求角A的大小： (2)若S△ABc=V3,求a的最小值. 【答案】0A-号 (2)2V3. 【分析】(1)根据正弦定理边角互化可得cosA=-,进而可求解， (2)根据面积公式以及余弦定理，结合基本不等式即可求解， 【详解】(1)~bcosc+cosB+xa =0 由正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB+a4=0 2cosA .sin(B+C)+sina =sinA+sinA =0, 2cosA 2cosA 又：sinA>0,cosA=-2 1 A∈(0，)， A=3: 试卷第13页，共15页 (2)SauBc=besinA =be=3,bc=4. 由余弦定理得：a2=b2+c2-2 bccosA=b2+c2+bc≥3bc=12, 当且仅当b=c=2时等号成立， ·a≥23，即a的最小值为2V3. 19.(25-26高一上·山东烟台·期末)已知函数f(x)=sin4x+2v3 sinxcosx-cos4x. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)将函数f(x)的图象向左平移"个单位长度，得到函数g(x)的图象，再将函数g(x)图象上各 点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数(x)的图象. (i①)当x∈()时，求()的取值范国： (i)若关于x的方程型-mcos(4x-)-m+2=0在区间()上有解，求实数m的 4 取值范围。 【答案】a)-+km5+km,kEz (2)(i)（-1,2]:(i)[23-2,) 【分析】1)利用平方差公式结合二倍角公式化简f(x)解析式，再利用正弦函数单调性求f(x) 的单调区间； (2)(i)利用图象变换规则求出h(x),运用换元法求出h(x)在给定区间内的取值范围； (i)利用诱导公式化简方程，分离参数，利用基本不等式结合对勾函数性质求实数m的取 值范围， 【详解】(1)f(x)=sin4x+2V3 sinxcosx-cos4x=(sin2x+cos2x)(sim2x-cos2x)+ V3sin2x =(sin2x-cos2x)+3sin2x=-cos2x+3sin2x=2sin(2x-, 正弦函数y=sin0的递增区间为[-+2km,5+2k,k∈Z,令8=2x- 则-+2km≤2x-≤+2 kk EZ,解得-君+km≤x≤号+km, ·f(x)的单调递增区间为-+km,+k,k∈Z. (2)函数fx)的图象向左平移个单位长度，得到函数gx)的图象，故gx)=f(x+)= 试卷第14页，共15页 2sin(2x+8), h(x)的图象是将函数g(x)图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，故h(x)= g(2x)=2sin(4x+8): (D)当xe(-是)时，4比+e(),令9=4x+ ∴y=sin0e(-,1,hx)=2sim(4+8)e(-1,2]: (i)方程-mcos(4x-)-m+2=0,代入h()=2sim(4x+) 4+=(4x-)+2受 .sin(4x+)=cos(4x-) 方程转化为cos2(4x-)-mcos(4x-)-m+2=0, 设t=cos(4x-)当x∈（是）时，te(-,方程化为t2-mt-m+2=0, 整理得m-轻令u=t+1,u∈（低，2， 则m=u+-2,ue(G,2, 由基本不等式可得m=u+后-2≥2u2-2=2V3-2,当且仅当u=V3时等号成立， u 令m=s),则对勾函数s(0=u+是-2的图象如下图所示： m m=s(u） 2/5-2 √52 由对勾函数性质可知，s(u)在（行，V③上单调递减，在(V3,2上单调递增， s(目=+6-2=s(2)=2+-2=s(③)=2W3-2, 综上可得m的取值范围为：[23-2，) 试卷第15页，共15页