精品解析：2025年云南省昆明市五华区中考三模数学试题

2025年昆明市五华区数学诊断性测试卷 （本试卷共三大题，23小题；考试时间120分钟；满分120分） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、学号，考场号，座位号用碳素笔或钢笔填写清楚． 2．客观题使用2B铅笔填涂，答题区域用碳素笔或钢笔书写，字体工整，笔迹清楚，按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 3．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，客观题修改时用橡皮擦干净，答题区域修改禁用涂改液和不干胶条． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分） 1. 的倒数是（ ） A. 2021 B. -2021 C. D. 2. 下列立体图形中，俯视图不是圆的是( ) A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. a2•a=a2 B. a6÷a2=a3 C. a2b﹣2ba2=﹣a2b D. （﹣）3=﹣ 4. 如图，直线l1 ∥ l2 ，CD⊥AB于点D ，∠1=50°，则∠BCD的度数为（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 30° 5. 函数中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的有（　　） ①掷一枚均匀的硬币，正面朝上，这是随机事件； ②调查长江流域的水污染情况，可以采用全面调查的方法； ③为了考察某市7万名初中生的视力情况，从中抽取800人进行视力检查，这个问题中，样本是800人； ④某次抽奖活动中，中奖的概率为，表示每抽奖50次就有一次中奖； ⑤甲、乙两人各进行10次射击测试，两人成绩平均数都是8.5环，方差分别是2和1.5，则甲的成绩更稳定． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 7. 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（　　） A. 73 B. 81 C. 91 D. 109 8. 已知函数y＝的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、OB．下列结论： ①若点M1（x1，y1），M2（x2，y2）在图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2； ②当点P坐标为（0，﹣3）时，△AOB是等腰三角形； ③无论点P什么位置，始终有S△AOB＝7.5，AP＝4BP； ④当点P移动到使∠AOB＝90°时，点A的坐标为（2，﹣）. 其中正确的结论个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 9. 根据习近平总书记在“一带一路”国际合作高峰论坛开幕式上的演讲，中国将在未来3年向参与“一带一路”建设的发展中国家和国际组织提供60000000000元人民币援助，建设更多民生项目，其中数据60000000000用科学记数法表示为______． 10. 分解因式：________． 11. 如图，从一块半径为圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_________． 12. 对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：．若，则的值是__． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 14. 如图，在△ABC中，，cosB．如果⊙O的半径为cm，且经过点B、C，那么线段AO=____cm． 三、解答题（本大题共9小题，满分70分） 15. 计算： 16. 证明命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．请你补全已知和求证，并写出证明过程． 已知：如图，平分，点在上，___________． 求证：___________． 17. 车间有20名工人，某一天他们生产的零件个数统计如下表， 车间20名工人某一天生产的零件个数统计表 生产零件个数（个） 工人人数（人） （1）这一天20名工人生产零件的平均数是___________个，中位数是___________个，众数是___________个； （2）为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施．如果你是管理者，从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个“定额”？ 18. 桌面上有四张正面分别标有数字，，，的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀． （1）随机翻开一张卡片，正面所标数字大于的概率为 ； （2）随机翻开一张卡片，从余下的三张卡片中再翻开一张，求翻开的两张卡片正面所标数字之和是偶数的概率． 19. 某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？ （2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？ 20. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知． （1）求抛物线的解析式及点D的坐标； （2）连接，F为抛物线上一动点，当时，求点F的坐标． 21. 如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长． 22. 某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABCD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系． （1）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式． （2）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 23. 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展教学活动．如图1，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和，并且量得，． 操作发现： （1）将图1中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到如图所示的，过点作的平行线，与的延长线交于点，判断四边形的形状，并证明； （2）创新小组将图1中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使、、三点在同一条直线上，得到如图所示的，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接、，得到四边形，发现它是正方形，请你证明这个结论； 实践探究： （3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将沿着方向平移，使点与点重合，此时点平移至点，与相交于点，如图所示，连接，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年昆明市五华区数学诊断性测试卷 （本试卷共三大题，23小题；考试时间120分钟；满分120分） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、学号，考场号，座位号用碳素笔或钢笔填写清楚． 2．客观题使用2B铅笔填涂，答题区域用碳素笔或钢笔书写，字体工整，笔迹清楚，按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 3．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，客观题修改时用橡皮擦干净，答题区域修改禁用涂改液和不干胶条． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分） 1. 的倒数是（ ） A. 2021 B. -2021 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数判断即可． 【详解】解：的倒数是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了倒数，正确掌握相关定义是解题的关键． 2. 下列立体图形中，俯视图不是圆的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】俯视图是从上面看所得到的视图，结合选项进行判断即可． 【详解】A、圆柱的俯视图是圆，故本项不符合题意； B、圆锥的俯视图是圆，故本项不符合题意； C、立方体的俯视图是正方形，故本项符合题意； D、球的俯视图是圆，故本项不符合题意， 故选C. 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图的定义． 3. 下列计算正确是（　　） A. a2•a=a2 B. a6÷a2=a3 C. a2b﹣2ba2=﹣a2b D. （﹣）3=﹣ 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法运算可判断A；根据同底数幂的除法运算可判断B；根据合并同类项可判断选项C；根据分式的乘方可判断选项D. 【详解】A、原式=a3，不符合题意； B、原式=a4，不符合题意； C、原式=-a2b，符合题意； D、原式=-，不符合题意， 故选C． 【点睛】此题考查了分式的乘除法，合并同类项，以及同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4. 如图，直线l1 ∥ l2 ，CD⊥AB于点D ，∠1=50°，则∠BCD的度数为（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 30° 【答案】A 【解析】 【详解】【分析】先依据平行线的性质可求得∠ABC的度数，然后在直角三角形CBD中可求得∠BCD的度数． 【详解】∵l1∥l2， ∴∠ABC=∠1=50°， ∵CD⊥AB于点D， ∴∠CDB=90°， ∴∠BCD+∠DBC=90°，即∠BCD+50°=90°， ∴∠BCD=40°， 故选A． 【点睛】本题主要考查的是平行线的性质、垂线的定义、直角三角形两锐角互余的性质，掌握相关知识是解题的关键． 5. 函数中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由函数，得到3x+6≥0，解得：x≥﹣2，表示在数轴上，如图所示： 故选A． 考点：在数轴上表示不等式的解集；函数自变量的取值范围． 6. 下列说法正确的有（　　） ①掷一枚均匀硬币，正面朝上，这是随机事件； ②调查长江流域的水污染情况，可以采用全面调查的方法； ③为了考察某市7万名初中生的视力情况，从中抽取800人进行视力检查，这个问题中，样本是800人； ④某次抽奖活动中，中奖的概率为，表示每抽奖50次就有一次中奖； ⑤甲、乙两人各进行10次射击测试，两人成绩的平均数都是8.5环，方差分别是2和1.5，则甲的成绩更稳定． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查事件分类，调查方法的选择，样本、概率、方差等，逐一分析各说法的正确性：①正确，掷硬币是随机事件；②错误，长江水污染调查应采用抽样；③错误，样本是数据而非人；④错误，概率不保证次数；⑤错误，方差小者更稳定． 【详解】解：①正确：掷硬币结果不确定，属于随机事件； ②错误：长江流域范围广，全面调查不可行，应采用抽样调查； ③错误：样本是抽取的800人的视力数据，而非“800人”这一群体； ④错误：概率为表示平均每50次可能中奖1次，但实际结果不确定； ⑤错误：方差越小越稳定，乙的方差（1.5）小于甲（2），故乙更稳定； 综上，仅①正确，正确个数为1， 故选：D． 7. 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（　　） A. 73 B. 81 C. 91 D. 109 【答案】C 【解析】 【详解】第①个图形中一共有3个菱形，3=12+2； 第②个图形中共有7个菱形，7=22+3； 第③个图形中共有13个菱形，13=32+4； …， 第n个图形中菱形的个数为：n2+n+1； 第⑨个图形中菱形的个数92+9+1=91． 故选C． 8. 已知函数y＝的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、OB．下列结论： ①若点M1（x1，y1），M2（x2，y2）在图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2； ②当点P坐标为（0，﹣3）时，△AOB是等腰三角形； ③无论点P在什么位置，始终有S△AOB＝7.5，AP＝4BP； ④当点P移动到使∠AOB＝90°时，点A的坐标为（2，﹣）. 其中正确的结论个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质判断①；证得AB＝AO即可判断②；求得△AOB的面积即可判断③；通过证得△OPB∽△APO，求得A的坐标即可判断④． 【详解】解：① 错误．∵x1＜x2＜0，函数y随x是增大而减小， ∴y1＞y2，故① 错误． ② 正确．∵P(0，﹣3)， ∴B(﹣1，﹣3)，A(4，﹣3)， ∴AB＝5，OA＝， ∴AB＝AO， ∴△AOB是等腰三角形，故② 正确． ③ 正确．设P(0，m)，则B(，m)，A(﹣，m)， ∴PB＝﹣，PA＝﹣， ∴PA＝4PB， ∵SAOB＝S△OPB+S△OPA＝，故③ 正确． ④ 正确．P(0，m)，则B(，m)，A(﹣，m)， ∴PB＝﹣，PA＝﹣，OP＝﹣m， ∵∠AOB＝90°，∠OPB＝∠OPA＝90°， ∴∠BOP+∠AOP＝90°，∠AOP+∠OAP＝90°， ∴∠BOP＝∠OAP， ∴△OPB∽△APO， ∴ ， ∴OP2＝PB•PA， ∴m2＝﹣•（﹣）， ∴m4＝36， ∵m＜0， ∴m＝﹣ ， ∴A(2，﹣)，故④ 正确． ∴② ③ ④正确， 故选：B． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了等腰三角形的判定、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 9. 根据习近平总书记在“一带一路”国际合作高峰论坛开幕式上的演讲，中国将在未来3年向参与“一带一路”建设的发展中国家和国际组织提供60000000000元人民币援助，建设更多民生项目，其中数据60000000000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法表示形式为  的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成  时，小数点移动了多少位）． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 分解因式：________． 【答案】4（m+2n）（m-2n） 【解析】 【分析】原式提取4后，利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式=4(m²-4n²)=4（m+2n）（m-2n）． 故答案为：4（m+2n）（m-2n） 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 11. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接OA，OB，证明△AOB是等边三角形，继而求得AB的长，然后利用弧长公式可以计算出的长度，再根据扇形围成圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长即可作答． 【详解】连接OA，OB， 则∠BAO=∠BAC==60°， 又∵OA=OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=OA=1， ∵∠BAC=120°， ∴的长为：， 设圆锥底面圆的半径为r 故答案为． 【点睛】本题主要考查了弧长公式以及扇形弧长与底面圆周长相等的知识点，借助等量关系即可算出底面圆的半径． 12. 对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：．若，则的值是__． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据新定义的运算法则即可求出答案． 【详解】∵1*（-1）=2， ∴，即a-b=2 ∴原式==−（a-b）=-1 故答案为-1. 【点睛】本题考查代数式运算，解题的关键是熟练运用整体的思想. 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】k＞且k≠1. 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】根据题意得k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0， 解得：k＞且k≠1． 故答案为k＞且k≠1． 考点：根的判别式；一元二次方程的定义. 14. 如图，在△ABC中，，cosB．如果⊙O的半径为cm，且经过点B、C，那么线段AO=____cm． 【答案】5 【解析】 【分析】如图所示，由AB=AC，OB=OC，利用线段垂直平分线逆定理得到AO垂直平分BC，在直角三角形ABD中，由AB及cos∠ABC的值，利用锐角三角函数定义求出BD的长，再利用勾股定理求出AD的长，在直角三角形OBD中，由OB与BD的长，利用勾股定理求出OD的长，由AD+DO即可求出AO的长． 【详解】如图所示， ∵AB=AC，OB=OC， ∴AO垂直平分BC， ∴OA⊥BC，D为BC的中点， 在Rt△ABD中，AB=5，cos∠ABC=， ∴BD=3， 根据勾股定理得：AD==4， Rt△BDO中，OB=，BD=3， 根据勾股定理得：OD==1， 则AO=AD+OD=4+1=5； 故答案为5． 【点睛】本题考查了解直角三角形，垂径定理等知识，这道题用到的知识点有解直角三角形，等腰三角形的性质，垂径定理及勾股定理， 分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分70分） 15. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简，进而计算得出答案． 【详解】解： = 【点睛】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键． 16. 证明命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．请你补全已知和求证，并写出证明过程． 已知：如图，平分，点在上，___________． 求证：___________． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．结合题意补全已知和求证，证明，由全等三角形的性质可证明结论． 【详解】已知：如图，平分，点在上， ，，垂足分别为点，． 求证：． 证明：∵，， ∴； ∵在和中， ， ∴， ∴． 17. 车间有20名工人，某一天他们生产的零件个数统计如下表， 车间20名工人某一天生产的零件个数统计表 生产零件个数（个） 工人人数（人） （1）这一天20名工人生产零件的平均数是___________个，中位数是___________个，众数是___________个； （2）为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施．如果你是管理者，从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个“定额”？ 【答案】（1），， （2）当定额为11个时，有利于提高大多数工人的积极性 【解析】 【分析】此题考查了平均数、众数、中位数的意义，熟悉加权平均数的计算公式是解题的关键． （1）根据加权平均数的定义求解可得平均数，根据众数和中位数的定义求解， （2）再分别从平均数、中位数和众数的角度，讨论达标人数和获奖人数情况，从而得出结论． 【小问1详解】 解：（个） 这一天20名工人生产零件的平均数为13个， 中位数为（个），众数为11个． 【小问2详解】 当定额为13个时，有8人达标，6人获奖，不利于提高工人的积极性； 当定额为12个时，有12人达标，8人获奖，不利于提高大多数工人的积极性； 当定额为11个时，有18人达标，12人获奖，有利于提高大多数工人的积极性． ∴当定额为11个时，有利于提高大多数工人的积极性． 18. 桌面上有四张正面分别标有数字，，，的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀． （1）随机翻开一张卡片，正面所标数字大于的概率为 ； （2）随机翻开一张卡片，从余下的三张卡片中再翻开一张，求翻开的两张卡片正面所标数字之和是偶数的概率． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）直接根据概率公式即可求解；(2)根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果,根据概率公式即可求得答案. 试题解析： （1）； （2）“翻开的两张卡片正面所标数字之和是偶数”记为事件A，用树状图列出翻开的两张卡片正面所标数字的所有可能的结果如下： 从上图可以看出，翻开的两张卡片，其正面所标数字之和共有12种结果，且每种结果都是等可能的，其中事件A包含4种可能的结果，所以. 答：翻开的两张卡片正面所标数字之和是偶数的概率是. 19. 某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？ （2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？ 【答案】（1）甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；（2）他们最多可购买11棵乙种树苗． 【解析】 【分析】（1）可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可； （2）可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即可． 【详解】（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元， 依题意有， 解得：x=30， 经检验，x=30是原方程的解， x+10=30+10=40， 答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元； （2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有 30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500， 解得y≤11， ∵y为整数， ∴y最大为11， 答：他们最多可购买11棵乙种树苗． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系与不等关系列出方程或不等式是解决问题的关键. 20. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知． （1）求抛物线的解析式及点D的坐标； （2）连接，F为抛物线上一动点，当时，求点F的坐标． 【答案】（1），（2，-8） （2）当时，点F的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先求出B、C的坐标，然后用待定系数法求出抛物线解析式即可得到答案； （2）如图所示，过点F作FG⊥x轴于G，设点F的坐标为，则，然后证明△FAG∽△BDE，得到，由此求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，-6）， 把B、C两点坐标代入到抛物线解析式中得： ， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线顶点D的坐标为（2，-8）； 【小问2详解】 解：如图所示，过点F作FG⊥x轴于G，设点F的坐标为 ，则， ∵抛物线的对称轴为直线，点B的坐标为（6，0）， ∴抛物线与x轴另一个交点A的坐标为（-2，0）， ∴OA=2，AG=x+2， ∵B（6，0），D（2，-8）， ∴BE=4，DE=8， ∵∠FGA=∠BED，∠FAG=∠BDE， ∴△FAG∽△BDE， ∴， ∴， 当点F在x轴上方时，， 解得或（舍去）， ∴点F的坐标为 ； 当点F在x轴下方时，， 解得或（舍去）， ∴点F的坐标为 ； 综上所述，当时，点F的坐标为或 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，待定系数法求函数解析式，求出二次函数顶点坐标等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 21. 如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）BF=，BC=2． 【解析】 【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°． （2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段BC和BF的长． 【详解】解：（1）证明：连接AE，在⊙O中， ∵∠AEB=90°， ∴∠1+∠2=90°． ∵AB=AC， ∴∠1=∠CAB． ∵∠CBF= ∠CAB， ∴∠1=∠CBF， ∴∠CBF+∠2=90°，即∠ABF=90°， ∴直线BF是⊙O的切线． （2）解：过点C作CG⊥AB于G． ∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF， ∴sin∠1=， 在Rt△AEB中，∠AEB=90°， ∴BE=AB•sin∠1=， ∵AB=AC，∠AEB=90°， ∴BC=2BE=2， 在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=， ∴sin∠2=== ， cos∠2=== ， 在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2， ∴AG=3， ∵GC∥BF， ∴△AGC∽△ABF， ∴， ∴BF=． 考点：1切线的判定与性质；2勾股定理；3圆周角定理；4解直角三角形. 22. 某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABCD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系． （1）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式． （2）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y1=﹣0.2x+60（0≤x≤90）；（2）75kg， 2250. 【解析】 【详解】分析：（1）根据线段AB经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（2）利用总利润=单位利润×产量，列出有关x的二次函数，求得最值即可． 本题解析： (1)设线段AB所表示y1与x之间的函数关系式为y1=k1x+b1， 因为y1=k1x+b1的图象过（0，60）与（90，42）， 所以， 解方程组得， 这个一次函数的表达式为y1=﹣0.2x+60（0≤x≤90）； （2）设y2与x之间的函数表达式为y2=k2x+b2， 因为y2=k2x+b2的图象过（0，120）与， 所以， 解方程组得， 这个一次函数的表达式为y2=﹣0.6x+120（0≤x≤130）， 设产量为xkg时，获得的利润为W元． ①当0≤x≤90时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]=﹣0.4（x﹣75）2+2250， ∴当x=75时，W的值最大，最大值为2250； ②当90≤x≤130时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣42]=﹣0.6（x﹣65）2+2535， ∴当x=90时，W=﹣0.6（90﹣65）2+2535=2160， 由﹣0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小， ∴90≤x≤130时，W≤2160， 因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250． 23. 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展教学活动．如图1，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和，并且量得，． 操作发现： （1）将图1中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到如图所示的，过点作的平行线，与的延长线交于点，判断四边形的形状，并证明； （2）创新小组将图1中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使、、三点在同一条直线上，得到如图所示的，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接、，得到四边形，发现它是正方形，请你证明这个结论； 实践探究： （3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将沿着方向平移，使点与点重合，此时点平移至点，与相交于点，如图所示，连接，求的值． 【答案】（1）菱形，证明见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形、菱形和正方形的判定方法，结合图形的变化以及三角函数， （1）根据可以得到,再结合可以得到,而已知可以得到四边形为平行四边形，由于旋转，所以,从而得到四边形为菱形； （2）根据可以得到四边形为平行四边形，而，所以四边形为菱形,那么只需要再证明一个直角即可，当、、三点共线时:，而根据旋转的性质，,可以得到： ,从而证到四边形为正方形； （3）结合第二问可以得到,所以要求，就可以分别求出和得长度，由题意可以得到,那么，结合三角函数分别就可以分别求出和； 【详解】解：（1）在如图1中，是矩形的对角线， ，， ． 在如图中，由旋转知，，， ． ， ， ． ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形． （）是的中点， '． ， 四边形是平行四边形． 由旋转知，， 平行四边形是菱形． 由旋转知，， ， ， ， 菱形是正方形． （）在中，，， ，，， ． 由（）结合平移知，， 在中，， ， ． 在中，， ． 在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $