精品解析：2025年辽宁省朝阳市建平县九年级学情调研数学试卷

2025年九年级学情调研数学试卷 （考试时间120分钟，满分120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第|Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的代号用2B铅笔涂在答题卡相应的位置上，不涂、错涂或填涂的选项超过一个，一律得0分） 1. 中国空间站在太空中的飞行速度约为每小时27600000米，数据27600000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 液体沸腾时的温度叫作沸点，下表是几种物质在标准大气压下的沸点： 物质 液态一氧化碳 液态甲醛 酒精 食用油 沸点 则沸点最低的物质是（ ） A. 液态一氧化碳 B. 液态甲醛 C. 酒精 D. 食用油 3. 垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 全家观影已成为过年新民俗．据悉2025年春节档共有四部重磅影片上映，分别是《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》．若小明从这四部影片中随机选择两部影片观看，则这两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点C作交的延长线于点E，下列结论不一定正确的是( ) A. B. C. 是等腰三角形 D. 8. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（    ） A. B. C. D. 9. 已知一次函数（，k、b是常数）自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 2 … y … 8 6 4 2 0 … 则下列结论正确的是（ ） A. y的值随x值的增大而增大 B. 图像不经过第一象限 C. 当时， D. 不等式的解集是 10. 如图，在中，，，点D在边上，，连接，在上截取，使，分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，交边于点H，则的长为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线上，不必写出解答过程．不填、填错，一律得0分） 11. 因式分解：____． 12. 如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，则的值是_____． 13. 方程的解为___________. 14. 如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得弧，连结，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，在矩形中，，，点E为AD边上一点，连接CE，将沿CE翻折，点D落在点F处，连接BF，当是等腰三角形时，线段DE的长是___________． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程） 16. （1）计算： （2）化简： 17. 为提升游客在景区内参观游览的便利性，某景区计划购进两种型号的观光车．已知型观光车的单价是型观光车单价的1.5倍，用45万元购进型观光车的数量比用40万元购进型观光车的数量少5辆． （1）A型和B型观光车的单价各是多少万元？ （2）该景区决定用不多于130万元的资金购进A型和B型观光车共50辆，最多可以购买多少辆A型观光车？ 18. 小王计划下周日租一辆电动汽车去海边游玩一天，往返行程为．他到某租车公司了解到，该公司有若干辆，两种型号电动汽车出租，，两种型号每辆车每天费用分别为元，元．为了选择合适的型号，小王通过调查，了解到该公司这两种型号电动汽车各有辆，每辆电动汽车充满电后行驶里程的部分数据，如下面的表格和统计图所示． 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） （1）表格中，值为______，的值为______； （2）已知种型号电动汽车充满电后能行驶里程可分成如图所示的五种情况，请直接补全种型号电动汽车充满电后能行驶里程条形统计图； （3）如果你是小王，你会选择用哪种型号的电动汽车？请说明理由． 19. 商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量（台）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示： 销售单价（元） … 50 60 70 … 月销量（台） … 90 80 70 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？ 20. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 21. 如图，内接于，是的直径，是上的一点，平分，，垂足为，与相交于点． （1）求证：是的切线； （2）当的半径为，时，求的长． 22. 问题初探】 （1）如图1，是的中线，，，求中线长度的取值范围． 小红和小林两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． ①小红同学的思考过程：如图2，延长到点，使，连接，利用三角形中位线…； ②小林同学的思考过程：如图3，延长到点，使，连接，构造三角形全等…； 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题． 如图4，已知等腰中，，，点D在直线上移动，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）在（2）的条件下，若，，请你直接写出的长度． 23. 我们给出如下定义：在平面直角坐标系中，函数R的图象经过的两个顶点，则函数R是的“对应函数”，函数R经过直角三角形的两个顶点的坐标分别为，，且，当自变量满足时，此时函数R的最大值记为，最小值记为，，则称h是的“最值半差”．已知：在平面直角坐标系中，，，轴． （1）如图，若点C的坐标为，． ①一次函数是“对应函数”吗？若是，说明理由并求出的“最值半差”；若不是，请说明理由； ②是否存在反比例函数是的“对应函数”，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由． （2）若点A的坐标为，点B的坐标为，二次函数是的“对应函数”． ①若二次函数经过A，C两点，求“最值半差”； ②若二次函数经过A，B两点，且与的边有第三个交点，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年九年级学情调研数学试卷 （考试时间120分钟，满分120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第|Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的代号用2B铅笔涂在答题卡相应的位置上，不涂、错涂或填涂的选项超过一个，一律得0分） 1. 中国空间站在太空中的飞行速度约为每小时27600000米，数据27600000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：数据27600000用科学记数法表示为， 故选：C． 2. 液体沸腾时的温度叫作沸点，下表是几种物质在标准大气压下的沸点： 物质 液态一氧化碳 液态甲醛 酒精 食用油 沸点 则沸点最低的物质是（ ） A. 液态一氧化碳 B. 液态甲醛 C. 酒精 D. 食用油 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，比较出各数的大小即可判断求解，掌握有理数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴液态一氧化碳沸点最低， 故选：． 3. 垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查代数式的运算，包括合并同类项、整式乘法、单项式乘法和幂的运算，根据相关运算法则需逐一验证即可． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意． B、，故B错误，不符合题意． C、，计算正确，符合题意． D、，结果为而非，故D错误，不符合题意． 故选：C． 5. 如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，由平行线的性质求出的度数，由对顶角定义得，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 全家观影已成为过年新民俗．据悉2025年春节档共有四部重磅影片上映，分别是《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》．若小明从这四部影片中随机选择两部影片观看，则这两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． 根据题意列出所有情况，然后用符合题意的情况数除以所有等可能发生的情况数即可． 【详解】解：一共有6种情况发生： 1、《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》 2、《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒之魔童闹海》 3、《射雕英雄传：侠之大者》《熊出没：重启未来》 4、《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》 5、《封神第二部：战火西岐》《熊出没：重启未来》 6、《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》 期中有共有《哪吒之魔童闹海》的情况有3种，所以两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是． 故选：D． 7. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点C作交的延长线于点E，下列结论不一定正确的是( ) A. B. C. 是等腰三角形 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形形的性质可得，，通过证明四边形是平线四边形，可得，得出，是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 8. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用．设马每匹x两，马四匹、牛六头，共价四十八两，牛每头y两，马二匹、牛五头，共价三十八两，据此列方程组即可． 【详解】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可得 故选：B 9. 已知一次函数（，k、b是常数）的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 2 … y … 8 6 4 2 0 … 则下列结论正确的是（ ） A. y的值随x值的增大而增大 B. 图像不经过第一象限 C. 当时， D. 不等式的解集是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查运用待定系数法示一次函数解析式，一次函数图象与性质，先求出一次函数的解析式，再根据函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：把，代入得，， 解得，， 所以，一次函数解析式为， ∵ ∴y的值随x值的增大而减小，故选项A不正确； ∵， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项B不正确； 由表格中数据可知，当时，，故选项C不正确； 不等式的解集是，故选项D正确， 故选：D． 10. 如图，在中，，，点D在边上，，连接，在上截取，使，分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，交边于点H，则的长为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，角平分线的尺规作图，平行线的性质与判定，先证明是等边三角形推出，由作图方法可知，平分，则，证明，进而证明，再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由作图方法可知，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线上，不必写出解答过程．不填、填错，一律得0分） 11. 因式分解：____． 【答案】 【解析】 【分析】首先提公因式，然后利用完全平方公式分解． 【详解】解： ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底． 12. 如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，， ∴将线段平移至时的平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 方程的解为___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． 先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根． 【详解】解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以，原方程的解为， 故答案为：． 14. 如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得弧，连结，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由正六边形的边长为2，可得，，进而求出，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，在中，由勾股定理求得的长，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵正六边形的边长为2， ∴，， ∵， ∴， 过B作于H， ∴，， 在中，， ∴， 同理可证，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，，点E为AD边上一点，连接CE，将沿CE翻折，点D落在点F处，连接BF，当是等腰三角形时，线段DE的长是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查矩形与折叠，分和两种情况结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ①当时，如图， 过点作于点，则于点， 所以，四边形是矩形， ∴， ∵，, ∴， ∴， 在中， ∴, 设，则， 由折叠得：, 在中，， ∴， 解得：， ∴； ②当时， 过点作于点，则于点， 所以，四边形是矩形， ∴， 过点作于点，则， 由勾股定理得 ∵， ∴， ∴， ∴， 又四边形是矩形， ∴， 设，则， 由折叠得：, 在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程） 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算零指数幂、化简二次根式、计算特殊角的三角函数值，再计算乘法与加减法即可得； （2）先计算分式的除法，再计算分式的减法即可得． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 17. 为提升游客在景区内参观游览的便利性，某景区计划购进两种型号的观光车．已知型观光车的单价是型观光车单价的1.5倍，用45万元购进型观光车的数量比用40万元购进型观光车的数量少5辆． （1）A型和B型观光车的单价各是多少万元？ （2）该景区决定用不多于130万元的资金购进A型和B型观光车共50辆，最多可以购买多少辆A型观光车？ 【答案】（1）A型观光车的单价为3万元，B型观光车的单价为2万元 （2）最多可以购买30辆A型观光车 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式． （1）设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元，由题意列出分式方程，解方程即可； （2）设购买辆型汽车辆，则购买辆型汽车，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可； 【小问1详解】 设型观光车的单价为万元，则型观光车的单价为万元． 根据题意得 解得 经检验，是所列方程的根． （万元） 答：A型观光车的单价为3万元，B型观光车的单价为2万元． 【小问2详解】 设购买型观光车辆，则购买型观光车辆． 根据题意得． 解得． 最多可以购买30辆A型观光车． 18. 小王计划下周日租一辆电动汽车去海边游玩一天，往返行程为．他到某租车公司了解到，该公司有若干辆，两种型号电动汽车出租，，两种型号每辆车每天费用分别为元，元．为了选择合适的型号，小王通过调查，了解到该公司这两种型号电动汽车各有辆，每辆电动汽车充满电后行驶里程的部分数据，如下面的表格和统计图所示． 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） （1）表格中，的值为______，的值为______； （2）已知种型号电动汽车充满电后能行驶里程可分成如图所示的五种情况，请直接补全种型号电动汽车充满电后能行驶里程条形统计图； （3）如果你是小王，你会选择用哪种型号的电动汽车？请说明理由． 【答案】（1）， （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数的概念、条形统计图等知识，熟练掌握从统计图和表格里提取出有用信息是解题的关键． （1）根据平均数的公式计算，根据众数的定义计算即可； （2）根据有个数据，得中位数是第个数据和个数据的平均数，结合数组的中位数是，前两组的数据和为，第四组的数据为，若中位数都落在第三组，应该是，若都落在第四组应该是，故正确题意是第个数据为，第个数据是，且，符合题意，计算即可． （3）可以从中位数、从平均数、省钱的角度，分别说明理由，合理即可 【小问1详解】 由图和平均数公式可得， 图中有个，是最多，故众数是，即， 故答案为：，． 【小问2详解】 ∵有个数据， ∴中位数是第个数据和个数据的平均数， ∵数组的中位数是，前两组的数据和为，第四组的数据为，若中位数都落在第三组，应该是，若都落在第四组应该是， 故正确题意是第个数据为，第个数据是，且，符合题意， 故数据出现次，数据出现次，完善统计图如下： 【小问3详解】 从中位数看，选择型汽车更好些；从平均数的角度来看，选择选择型汽车更好些；从省钱角度看，选择型汽车． 19. 商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量（台）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示： 销售单价（元） … 50 60 70 … 月销量（台） … 90 80 70 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？ 【答案】（1） （2）护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设销售利润为W元，列出W关于x的函数关系式，即可求得最大利润． 【小问1详解】 解：由题意设， 由表知，当时，；当时，； 以上值代入函数解析式中得：， 解得：， 所以y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设销售利润W元， 则， 整理得：， 由于销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，则， ∵，， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W有最大值，且最大值为2400； 答：当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元． 20. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 【答案】（1）酒精灯与铁架台的水平距离的长度为19.6 （2）线段的长度为21.8 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）过点作于点，根据题意可得，，利用三角函数可得（），易得，即可获得答案； （2）过点作于点H，于点，过点作于点，利用三角函数可解得，的值，再证明为等腰直角三角形，并解得，然后由求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，如下图， ∵，， ∴，， ∵， ∴（）， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为19.6； 【小问2详解】 如图，过点作于点H，于点，过点作于点， 则（），（）， ∵， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴（）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（）， 答：线段的长度为21.8 ． 21. 如图，内接于，是的直径，是上的一点，平分，，垂足为，与相交于点． （1）求证：是的切线； （2）当的半径为，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，得出，根据得出，角平分线的定义得出，等量代换得出，进而得出，即，即可得证； （2）连接，得，则，进而证明，得出，解，得出，则，进而根据即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵为的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 连接，得， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 问题初探】 （1）如图1，是的中线，，，求中线长度的取值范围． 小红和小林两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． ①小红同学的思考过程：如图2，延长到点，使，连接，利用三角形中位线…； ②小林同学的思考过程：如图3，延长到点，使，连接，构造三角形全等…； 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题． 如图4，已知等腰中，，，点D在直线上移动，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）在（2）的条件下，若，，请你直接写出的长度． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）①小红同学的解题思路：延长到点，使，连接，先根据三角形的中位线定理可得，再根据三角形的三边关系可得，由此即可得；②小林同学的解题思路：延长到点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的三边关系可得，由此即可得； （2），证明：延长至，使，连接，先根据三角形的中位线定理可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得； （3）先利用勾股定理可得，再分两种情况：①当在点的右侧时，②当在点的左侧时，先求出的长，再参考（2）的思路证出，由此即可得． 【详解】解：（1）①小红同学的解题思路：如图，延长到点，使，连接， ∵是中线，， ∴是的中位线， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，，即， ∴， ∴． ②小林同学的解题思路：如图，延长到点，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴在中，，即， ∴， ∴． （2），证明如下： 如图，延长至，使，连接， ∵点为中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）∵等腰中，，， ∴， ∵． 则分以下两种情况： ①如图，当在点的右侧时， ∴， 由（2）已证：， ∴； ②如图，当在点的左侧时， 延长至，使，连接， ∵点为中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； 综上，的长度为或． 23. 我们给出如下定义：在平面直角坐标系中，函数R的图象经过的两个顶点，则函数R是的“对应函数”，函数R经过直角三角形的两个顶点的坐标分别为，，且，当自变量满足时，此时函数R的最大值记为，最小值记为，，则称h是的“最值半差”．已知：在平面直角坐标系中，，，轴． （1）如图，若点C的坐标为，． ①一次函数是的“对应函数”吗？若是，说明理由并求出的“最值半差”；若不是，请说明理由； ②是否存在反比例函数是的“对应函数”，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由． （2）若点A的坐标为，点B的坐标为，二次函数是的“对应函数”． ①若二次函数经过A，C两点，求的“最值半差”； ②若二次函数经过A，B两点，且与的边有第三个交点，求m的取值范围． 【答案】（1）①是，理由见解析，2；②存在，5 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查函数与几何的综合应用，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）①求出的坐标，根据新定义进行判断即可；②根据新定义进行判断即可； （2）①求出点坐标，根据新定义，结合待定系数法求出函数解析式，再根据新定义求解即可；②根据新定义，推出点B在上方，对称轴在点A，C之间，列出不等式组进行求解即可． 【小问1详解】 解：①一次函数是的“对应函数”． ∵，轴，点C的坐标为，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∵，这两点都在上， ∴一次函数是的“对应函数”． ∵， ∴函数值y随x的增大而减小， ∴当时，时，；时，， ∴，即，最值半差等于2． ②存在，理由如下 ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴点A和点B在同一反比例函上 ∴存在反比例函数是的“对应函数”，． 【小问2详解】 ①∵，，轴，点A的坐标为，点B的坐标为， ∴点 将点，代入 解得 ∴， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∴当时，或时，，时，， ∴ 即“最值半差”． ②∵经过点A，B， ∴将点A的坐标，点B的坐标代入，得 解得 ∴， ∴抛物线的对称轴为直线 ∵二次函数与的边有第三个交点， ∴点B在上方，对称轴在点A，C之间， ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$