精品解析：北京市某重点校2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题

初二下数学期中试卷 一、选择题 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下面各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 6，8，9 C. 6，12，13 D. 7，24，25 3. 平行四边形的周长为10cm，其中一边长为3cm，则它的邻边长为（ ） A. 2 cm B. 3cm C. 4cm D. 7cm 4. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列有关四边形的命题中，是真命题的是（　　） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形 D. 四条边相等的四边形是正方形 6. 正方形具有而矩形没有的性质是（　　） A. 对角线互相平分 B. 对边相等 C. 对角线相等 D. 每条对角线平分一组对角 7. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（） A. B. C. D. 8. 如图，矩形的对角线相交于点，，，则长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 9. 下面的三个问题中都有两个变量：①三角形的高一定，三角形的面积y与底边长x；②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x；③一艘观光船沿直线从码头匀速行驶到某景区，观光船与景区间的距离y与行驶时间x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 10. 如图，在正方形中，为边上一点（点不与点，重合），于，并交于点，交延长线于点．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. 仅有② B. 仅有③ C. ②③ D. ①②③ 二．填空题 11. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 12. 在中，，则________． 13. 如图，在数轴上点A表示的实数是__________． 14. 如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中，若点D的坐标为（1，），则点C的坐标为_________． 15. 如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，F为的中点，．若，则的长为______． 16. 如图，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B，O两点重合，折痕为．求折痕的长为_________ 17. 矩形纸片两邻边的长分别为，，连接它的一条对角线．用四张这样的矩形纸片按如图所示的方式拼成正方形，其边长为．图中正方形、正方形和正方形的面积之和为______（用含的式子表示）． 18. 为进一步深化“创城创卫”工作，传播健康环保的生活理念，房山区持续推进垃圾分类工作．各乡镇（街道）的党员、志愿者纷纷参与“桶前值守”，在垃圾桶旁监督指导居民对垃圾进行分类．某垃圾值守点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与值守时间段如下表所示： 志愿者 可参与值守时间段 可参与值守时间段 甲 乙 丙 丁 已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的值守，任意时刻垃圾值守点同时最多需要名志愿者值守，则该值守点这一天所有参与值守的志愿者的累计值守时间最短为_____小时，最长为_____小时（假设志愿者只要参与值守，就一定把相应时间段全部值完）． 三．解答题 19. 计算： （1）； （2）． 20. 已知，求代数式的值． 21. 如图，四边形是平行四边形，平分交于点E，平分交于点F，求证：． 22. 下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：菱形（点在上，点在上）． 作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交于点； ③连接． 所以四边形为所求作的菱形． （1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明； 证明：，， 　　　　． 在中，， 即， 四边形为平行四边形　　（填推理的依据）， ， 四边形为菱形　　（填推理的依据）． 23. 如图，在中，，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． （1）求证：是直角三角形； （2）如图，若D为的中点，求证：； 24. 如图，四边形，、、，连接，且． （1）求的长； （2）若，求的长． 25. 如图，在中，，为的中点，过点作于点，点在的延长线上，且，在的延长线上截取，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的周长． 26. 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方． 例如：． 这样小明就找到了一种把类似的式子化为完全平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）结合小明的探索过程填空： + ； （2）的算术平方根为 ； （3）化简： ．(为正整数) 27. 正方形中，点O为对角线的中点，点P为平面内一点，且． （1）如图1，P为正方形外一点，过点O作交的延长线于E，探究与之间的数量关系： ，并说明理由； （2）直接写出图1中、、三者之间的关系： ； （3）如图2，当点P在正方形内部时，其他条件不变，问、、三者之间又存在怎样的关系？并说明理由． 28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形 N上任意一点，如果 P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N 间的“近距离”，记作．在中，点，，，，如图 1． （1）直接写出 d(点O , )= ； （2）若点P在y轴正半轴上，d（点 P， ）=4，求点P坐标； （3）已知点，顺次连接点 E、F、H、G，将得到的四边形记为图形 W（包括边界）． ①当时，在图 2 中画出图形 W，直接写出的值； ②若 ，直接写出 a 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二下数学期中试卷 一、选择题 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，故不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，故不是最简二次根式，不符合题意； D、=，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式是解题的关键． 2. 下面各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 6，8，9 C. 6，12，13 D. 7，24，25 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A．22+32≠42， ∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵62+82≠92， ∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C．62+122≠132， ∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D．72+242＝625＝252， ∴能构成直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即只要三角形的三边a，b，c满足a2+b2＝c2，则此三角形是直角三角形． 3. 平行四边形的周长为10cm，其中一边长为3cm，则它的邻边长为（ ） A. 2 cm B. 3cm C. 4cm D. 7cm 【答案】A 【解析】 【分析】设它的邻边长为xcm，根据平行四边形的周长为10cm列方程求解． 【详解】解：设它的邻边长为xcm，则 2（3+x）=10， 解得x=2， 故选：A． 【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解平行四边形对边相等的性质是解题的关键． 4. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一计算可得． 【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简以及二次根式的加减运算，准确利用二次根式的性质计算是解题的关键． 5. 下列有关四边形的命题中，是真命题的是（　　） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形 D. 四条边相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了真命题的判定，掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法是关键． 根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法确定命题的真假即可． 【详解】解：A、如图所示，等腰梯形， ，四边形不是平行四边形，故一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形是假命题，不符合题意； B、如图所示，等腰梯形，，四边形不是矩形，故对角线相等的四边形是矩形是假命题，不符合题意； C、对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形是真命题，符合题意； D、四条边相等的四边形是菱形，故原选项是假命题，不符合题意； 故选：C ． 6. 正方形具有而矩形没有的性质是（　　） A. 对角线互相平分 B. 对边相等 C. 对角线相等 D. 每条对角线平分一组对角 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形对角线相互垂直平分相等的性质和矩形对角线平分相等性质的比较就可以判断． 【详解】解：根据题意得：正方形对角线相互垂直平分相等，并且平分一组对角，矩形对角线平分相等性质， ∴正方形具有而矩形没有的性质是每条对角线平分一组对角． 故选：D 【点睛】本题主要考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握正方形和矩形的性质是解题的关键． 7. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴CO=AC=3，BO=BD=4，AO⊥BO， ∴． ∴． 又∵， ∴BC·AE=24， 即． 故选D． 点睛：此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分． 8. 如图，矩形的对角线相交于点，，，则长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质，由矩形的性质得出，，证明为等边三角形，得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 9. 下面的三个问题中都有两个变量：①三角形的高一定，三角形的面积y与底边长x；②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x；③一艘观光船沿直线从码头匀速行驶到某景区，观光船与景区间的距离y与行驶时间x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】图象为y随x增大而减小的一次函数，据此判断即可． 【详解】解：图中为一次函数，且，y随x增大而减小， 设三角形的高为k，且， ∴，故①错； 将泳池中的水匀速放出，直至放完，根据泳池中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②正确； 一艘观光船沿直线从码头匀速行驶到某景区，观光船与景区间的距离y随行驶时间x增大而减小，故③正确； 故选：B． 【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 10. 如图，在正方形中，为边上一点（点不与点，重合），于，并交于点，交延长线于点．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. 仅有② B. 仅有③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据三角形三边关系即可推出，进而得出，据此即可判断①过点D作交于点N，利用证明，根据全等三角形的性质推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的判定与性质推出，根据勾股定理求出，根据三角形三边关系得出，根据不等式的性质推出，据此即可判断②；过点A作交的延长线于点M，利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据勾股定理及线段的和差推出，据此即可判断③． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 故①错误，不符合题意； ， ， ∴， ， ， 过点D作交于点N， 则， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ，故②正确，符合题意； 过点A作交的延长线于点M， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ∴， 故③正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 二．填空题 11. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为． 12. 在中，，则________． 【答案】100 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等是解题的关键．根据平行四边形对角相等求出，再根据，即可得到答案． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在数轴上点A表示的实数是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 14. 如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中，若点D的坐标为（1，），则点C的坐标为_________． 【答案】（3，） 【解析】 【分析】先利用两点间的距离公式计算出AD＝2，再根据菱形的性质得到CD＝AD＝2，CD∥AB，然后根据平行于x轴的直线上的坐标特征写出C点坐标． 【详解】解：∵点D的坐标为（1，）， ∴AD＝＝2， ∵四边形ABCD为菱形， ∴CD＝AD＝2，CD∥AB， ∴C点坐标为（3，）， 故答案为：（3，）． 【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了坐标与图形性质． 15. 如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，F为的中点，．若，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了中位线，勾股定理，矩形的性质，平行线的性质等知识．解题的关键在于添加辅助线，构造中位线．如图，连接，是的中位线，则，，，，在中，由勾股定理求的值，由矩形的性质可得，根据，求解的值即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵为的中点， ∴是的中位线， ，， ∴， ∵，， ，， 在中，由勾股定理得， ∴， ， 故答案为：2． 16. 如图，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B，O两点重合，折痕为．求折痕的长为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，设，在中利用勾股定理求出的值，同理求出的长，过点作于点，构造，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是长方形，点坐标为， ， 由折叠的性质可知，， 设，则， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ， 同理，设，则， 由折叠可知，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ， ， 过点作于点， 四边形是矩形， ， ， 在中，由勾股定理得． 17. 矩形纸片两邻边的长分别为，，连接它的一条对角线．用四张这样的矩形纸片按如图所示的方式拼成正方形，其边长为．图中正方形、正方形和正方形的面积之和为______（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式的应用，由勾股定理得，再根据正方形的面积公式列式解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴正方形、正方形和正方形的面积之和为： ， 故答案为：． 18. 为进一步深化“创城创卫”工作，传播健康环保的生活理念，房山区持续推进垃圾分类工作．各乡镇（街道）的党员、志愿者纷纷参与“桶前值守”，在垃圾桶旁监督指导居民对垃圾进行分类．某垃圾值守点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与值守时间段如下表所示： 志愿者 可参与值守时间段 可参与值守时间段 甲 乙 丙 丁 已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的值守，任意时刻垃圾值守点同时最多需要名志愿者值守，则该值守点这一天所有参与值守的志愿者的累计值守时间最短为_____小时，最长为_____小时（假设志愿者只要参与值守，就一定把相应时间段全部值完）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了时间调配问题，先列表表示上午值守时间安排，下午值守时间安排，再结合每名志愿者一天至少要参加一个时间段的值守，任意时刻垃圾值守点同时最多需要名志愿者值守，分析得出答案即可，理解题意，找到突破口，逐步分析是解本题的关键． 【详解】解：上午值守时间如下表， 甲 甲 甲 甲 甲 乙 乙 乙 丙 丙 丙 丙 丁 丁 丁 丁 丁 下午值守时间安排如下表： 甲 甲 甲 甲 乙 乙 乙 乙 乙 乙 丙 丙 丙 丁 丁 丁 时间最短，即每人只参加一次值守，且选择时间最短的时间段，且同一时间值守的人不能超过两个， 甲：均可， 乙：， 丙：， 丁：， 观察时间段，发现没有同一时间值守超过两个人的情况，符合题意， 最短时间， 时间最长，即每人尽量都参加两次值守，且同一时间值守的人不能超过两个， 查看表格，时间段，，同时有三个人值守，不符合题意， 去掉时间段最短的丁，， 最长时间所有时间之和， 故答案为：；． 三．解答题 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简计算． 解题思路为先将非最简二次根式化为最简二次根式． 第一题直接合并同类二次根式得到结果． 第二题利用完全平方公式和平方差公式展开后， 合并同类项得到最终结果． 【小问1详解】 解：  ． 【小问2详解】 解： ． 20. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式将变形为，再将代入求值． 【详解】解：原式， 将代入，得： 原式． 21. 如图，四边形是平行四边形，平分交于点E，平分交于点F，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，得出，结合平行线的性质与判定、角平分线的定义，推出，根据“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”判定四边形是平行四边 形，即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴， ∵平分交于点E，平分交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 22. 下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：菱形（点在上，点在上）． 作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交于点； ③连接． 所以四边形为所求作的菱形． （1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明； 证明：，， 　　　　． 在中，， 即， 四边形为平行四边形　　（填推理的依据）， ， 四边形为菱形　　（填推理的依据）． 【答案】（1）见解析 （2），，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）作图见解答过程； （2），，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形． 【小问1详解】 四边形为所求作的菱形． 【小问2详解】 ，， ， 在中，． 即． 四边形为平行四边形（一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）． ， 四边形为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：，，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形． 23. 如图，在中，，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． （1）求证：是直角三角形； （2）如图，若D为的中点，求证：； 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性，求得，，再根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）连接，根据轴对称的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和得，证明，即可证明结论. 【小问1详解】 证明：， ，， ，， ， ， ， 即是直角三角形； 【小问2详解】 证明：连接， 沿直线折叠得到， ，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， . 24. 如图，四边形，、、，连接，且． （1）求的长； （2）若，求的长． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】(1)根据，，，利用勾股定理求出； (2)如图，过点作交延长线于，利用勾股定理得到是直角三角形，再证明得到，的长，最后，利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作交延长线于． ∴， 由(1)知，又知， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 25. 如图，在中，，为的中点，过点作于点，点在的延长线上，且，在的延长线上截取，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用“一组对边平行且相等”证明四边形是平行四边形，再通过“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”分别证明和都等于的一半，从而得到，最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成证明即可； （2）先在中利用勾股定理求出斜边的长度，再根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”求出菱形的边长，最后利用“菱形周长边长”即可计算出四边形的周长． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，即， 在中，，是中点， ∴， 在中，是中点， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∵是中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形的周长． 26. 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方． 例如：． 这样小明就找到了一种把类似的式子化为完全平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）结合小明的探索过程填空： + ； （2）的算术平方根为 ； （3）化简： ．(为正整数) 【答案】（1）21；4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，填写答案即可； （2）由题意知，配完全平方得，然后求算术平方根即可； （3）由题意知，配完全平方得，然后求得算术平方根为，将原式进行配完全平方和求算术平方根得，最后进行二次根式的加减运算即可． 【小问1详解】 解：∵， 故答案为：21；4； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵ ， ∴， ∴ ， ∴原式化简结果为． 【点睛】本题考查了完全平方公式运算、算术平方根、二次根式的加减运算．解题的关键在于熟练掌握完全平方公式． 27. 正方形中，点O为对角线的中点，点P为平面内一点，且． （1）如图1，P为正方形外一点，过点O作交的延长线于E，探究与之间的数量关系： ，并说明理由； （2）直接写出图1中、、三者之间的关系： ； （3）如图2，当点P在正方形内部时，其他条件不变，问、、三者之间又存在怎样的关系？并说明理由． 【答案】（1），理由见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，根据正方形的性质，证明即可； （2）由（1）知，所以，再根据勾股定理证明即可； （3）分三种情况讨论，根据（1）的证明解题思路，结合全等三角形的判定与性质及勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：；理由如下： 连接， 四边形是正方形, 点O为对角线的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：或． 理由如下： 当时，如图2，连接， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 当时，如图2，连接， 同理可证， ，， ， 同理可求得， ； 当时，点P与点O重合，； 综上所述，或． 【点睛】对于图形变换问题，通常要关注3个小题之间解题思路上的关联，随着图形位置的改变，解题思路却具有相似的特点． 28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形 N上任意一点，如果 P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N 间的“近距离”，记作．在中，点，，，，如图 1． （1）直接写出 d(点O , )= ； （2）若点P在y轴正半轴上，d（点 P， ）=4，求点P坐标； （3）已知点，顺次连接点 E、F、H、G，将得到的四边形记为图形 W（包括边界）． ①当时，在图 2 中画出图形 W，直接写出的值； ②若 ，直接写出 a 的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①作图见解析，；②或 【解析】 【分析】（1）由的点坐标可知为对角线的交点，可知点到，的距离相等且为4；点到，的距离相等；如图1，记与轴的交点为，，在中，由勾股定理得，设到的距离为，根据，求出的值，然后与4比较取最小值即可； （2）如图1，作于，由d（点 P， ）=4，可知，且，在中，由勾股定理得，求出的值，进而可得点坐标； （3）①由，可得，在坐标系中描点，依次连接如图2所示，即为图形；延长交于，交于，延长，交于，由点坐标可知，，可知，，，根据勾股定理求解，的值，根据，求出的值即可；②由的点坐标可知，，，四边形是一个大小不变的平行四边形，且点沿着直线运动，如图2，作的延长线于，，，，分情况求解：当时，与有交点，满足要求；当，时，，可得点坐标与的值，此时有，满足要求；当，时，，可得点坐标与的值，此时有，满足要求；当在右侧且时，，可得点坐标与的值，当在的左侧且时，，可得点坐标与的值，此时有，满足要求． 【小问1详解】 解：由的点坐标可知为对角线的交点， ∴点到，的距离相等且为4；点到，的距离相等； 如图1，记与轴的交点为， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 设到的距离为， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴ d(点O ，) 的值为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图1，作于， ∵d（点 P， ）=4， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴点P坐标为． 【小问3详解】 解：①∵， ∴， 在坐标系中描点，依次连接如图2所示，即为图形， 延长交于，交于，延长，交于，由，，，可知， ∴， ∴，， 由题意知，， ∵，， ∴， 同理， ∴， ∴的值为． ②由的坐标可知，，，四边形是一个大小不变的平行四边形，且点沿着直线运动，如图2，作的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，与有交点，， 当，时，， ∴， ∴可知时，； 当，时，， ∴， ∴可知时，； 当在右侧且时，， ∴， 当在的左侧且时，， ∴， ∴可知时，； 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，两平行线间距离相等，新定义下的实数运算等知识．解题的关键在于理解题意，分情况求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $