精品解析：2025年河南省南阳市内乡县中考三模数学试题

内乡县2025年九年级三模考试 数学试题 （满分：120分 时间：100分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的数互为相反数，进行作答即可． 【详解】解：2025的相反数是， 故选：A 2. 央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢度农历新年．下面是取自主标识中的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、图案是中心对称图形，不符合题意； B、图案不是中心对称图形，符合题意； C、图案不是中心对称图形，不符合题意； D、图案不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．根据三视图进行判断即可． 【详解】解：主视图是长方形，俯视图是三角形，故不符合题意； 主视图是三角形，俯视图是圆及圆心，主视图与俯视图不同，故不符合题意； 主视图和俯视图均是正方形，符合题意； 主视图是长方形，俯视图是圆形，故不符合题意； 故选C． 4. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，求一个数的立方根，同底数幂的除法，积的乘方运算，根据各自的运算法则一一计算并判断即可得出答案． 【详解】解：．，计算正确，故该选项不符合题意； ．，计算正确，故该选项不符合题意； ． ，原计算错误，故该选项符合题意； ． ，计算正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，在正方形中，点是上一动点（不与，重合），对角线，相交于点，过点分别作，的垂线，分别交，于点与点，交，于点与点，若正方形的边长是2，则四边形的周长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查出正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，四边形的周长，先根据四边形的性质得，，，进而得和是等腰直角三角形，，，即可计算四边形的周长． 【详解】解：方形的边长是2， ，，， 又，， 和是等腰直角三角形， ，， 四边形的周长， ， ， ． 故选：B． 6. 目前，中国国产GPU的运算性能在国际上已经具备较强的竞争力．某型号国产GPU的运算能力高达320 TFlops，TFlops是衡量计算机性能的一个重要单位，．将这种型号国产GPU的运算能力表示为，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法，根据可得，再写成的形式即可，其中． 【详解】解：， 故选B． 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 即， 解得：． 故选：B． 8. 近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 镜片焦距x的值越大，近视眼镜的度数y的值越小 B. 图中曲线是反比例函数的图象（其中一支） C. 当焦距x为时，近视眼镜的度数y约为300度 D. 对于每一个镜片焦距x，都有唯一的近视度数y与它对应 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可以判断． 【详解】解：∵近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）为反比例函数关系， ∴当x的值增大时，y的值随之减小，故A正确，不符合题意； 图中曲线是反比例函数的图象（其中一支），故B正确，不符合题意； 当焦距x为时，近视眼镜的度数y约为333度，故C不正确，符合题意； 当焦距x为时，不存在近视度数y与它对应，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确利用反比例函数的性质是解题关键． 9. 如图所示，一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理得到，求出，再根据平行线的性质得到结论即可． 【详解】解：如图，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行， ， ， 摩擦力的方向与斜面平行， ， ． 故选：C． 10. 左老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点在轨道槽上运动，点既能在以为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的； ④当，时，可得到形状唯一确定的； 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】分别在以上四种情况下以为圆心，的长度为半径画弧，观察弧与直线的交点即为点，作出后可得答案． 【详解】解：如图，当，时，以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现两个位置的都符合题意，故不唯一，故①错误，不符合题意， ； 如图，当，时，以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现左边位置的不符合题意，故唯一，故②正确，符合题意， ； 如图，当，时，以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现两个位置的都符合题意，但是此时两个三角形全等，故形状相同，故唯一，故③正确，符合题意， ； 如图，当，时，以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现左边位置的不符合题意，故唯一，故④正确，符合题意， ； 综上所述，结论正确的是②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查圆的基本性质，关键是确定以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线的交点个数． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则x的取值范围为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式有意义，则要求分式分母不为0，即可求得答案． 【详解】解：要使分式有意义，则x的取值范围为， 即， 故答案为：． 12. 不等式组的正整数解的个数是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，判断解集内正整数的个数．本题考查求不等式的整数解，解答过程和解不等式是完全相同的过程，最后只需分析解集中的整数解即可 【详解】解：∵ ∴解不等式得：， ∴解不等式得：， ∴， ∴正整数解有 1，2，3，4共4个． 故答案为：4 13. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理得到，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 有人说，“一部三国史，半部在河南”．小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的特种邮票中国古典文学名著《三国演义》，上面分别绘有“夜袭乌巢”，“三顾茅庐”，“单骑救主”和“大闹板桥”的图案．这四个历史事件分别发生河南延津、河南南阳、河南当阳县和河南当阳长板桥头．这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．初中毕业之际，小明想把心爱的邮票送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，小亮抽到的邮票正好是“三顾茅庐”和“大闹板桥”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，准确画图或列表是关键．画出树状图，所有可能出现的结果数为12，符合条件的结果数为2，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：设“夜袭乌巢”，“三顾茅庐”，“单骑救主”和“大闹板桥”的图案分别表示为A，B，C，D，画树状图如下： 由树状图可知：所有可能出现的结果数为12，符合条件的结果数为2， ∴小亮抽到的邮票正好是“三顾茅庐”和“大闹板桥”的概率是． 15. 如图，已知两条平行线，A是上的定点，于点B，点C，D分别是上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，连接，则的数量关系为___________；当最大时，的值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，根据题意先证明，得出，根据，得出，说明点H在以为直径的圆上运动，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆，则点H在上运动，说明当与O相切时最大，得出，根据利用，即可求出结果． 【详解】解：由条件可知点B为定点，的长度为定值， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点H在以为直径的圆上运动， 如图，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆， 则点H在上运动， ∴当与相切时最大， ∴， 由条件可知， ∵， ∴； 故答案为：，． 三、解答题（共8题，75分） 16. 化简或计算： （1）． （2）小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的AI软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的分析． 豆包给出分析： 这个解答从第______步开始出现错误； 虽然最终答案是，但过程存在逻辑错误． 正确解答为：，其中 解：原式＝ 先化简，再求值：，其中 解：原式① ② 当时，原式③ 编辑 我的解答正确吗？ 【答案】（1） （2）①；，， 解：这个解答从第①步开始出现错误； 正确解答为： 解：原式 ， 当时，原式， 故答案为：①． 【解析】 【分析】（）根据负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值及绝对值的性质分别运算，再合并即可； （）根据分式的性质和运算法则化简求值即可； 本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，掌握实数和分式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 （）略 17. 2025年央视春晚中出现了许多“河南面孔”，如“确山铁花”“豫剧《花木兰》”“少林功夫”等非物质文化遗产．某校为了解七、八年级学生对非物质文化遗产的了解程度，组织了一次非物质文化遗产知识测试（百分制），从七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，分成四组：A．，B．，C．，D．）， 部分信息如下： 信息一：七年级10名学生的成绩是：80，82，86，89，92，96，96，98，99，100． 信息二：八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，93，93． 信息三：八年级抽取的学生成绩扇形统计图如图所示． 信息四：七、八年级抽取的学生测试成绩各统计量如下表． 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 91.8 m n 46.96 八年级 91.8 93 98 41.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：___________，___________，___________ （2）学校准备从成绩较稳定的年级中选择若干名学生参加下一阶段的活动，请判断学校会从哪个年级中选择，并说明理由． （3）已知七、八年级共有600名学生参加了此次非物质文化遗产知识测试，估计该校参加此次测试成绩为优秀（）的学生总人数． 【答案】（1），， （2） 八年级，理由如下： 因为八年级的方差41.4小于七年级的方差46.96，方差越小，数据越稳定， 所以学校会从八年级中选择． （3）人 【解析】 【分析】本题考查扇形图，求中位数，众数，利用方差作决策，利用样本估计总体： （1）求出组占比，利用360度乘以占比，求出，根据中位数和众数的确定方法求出的值； （2）利用方差作决策即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：八年级成绩在组的占比为， ． 七年级10名学生成绩从小到大排列为80，82，86，89，92，96，96，98，99，100， ∴中位数，众数． 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 七年级成绩优秀（）的有6人，八年级成绩优秀（）的有人，七、八年级抽取的20名学生中成绩优秀的有人， 所以估计该校参加此次测试成绩为优秀的学生总人数为人． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，其中点的横坐标为． （1）求的值； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）过点作轴于点，连接，求的面积． 【答案】（1）； （2）或； （3）12． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）先求出，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再结合函数图象即可得解； （3）利用三角形面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 解：（1）点的横坐标为，且点在直线上， ， ， 点在反比例函数的图象上， ； 【小问2详解】 解：解方程组可得，或 ， 由函数图象可得：不等式的解集或； 【小问3详解】 解：∵，， ， 的面积． 19. 背景介绍：筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图①，其工作原理为：筒车水轮直立于河边水中，轮周斜装若干竹木制小筒，利用水流推动主轮，轮周小筒依次入水舀满，至顶倾出，接以木槽，导入渠田． 提出问题：某数学小组成员想得到筒车出水点的高度． 收集数据：如图②，经了解，此筒车（）的半径为，筒车上的竹筒离开水面后，把水引至A处，水沿射线方向泄至水槽．小组成员观察到：筒车与相切．当涨潮期水面涨到与平齐的处时，此时A，O，C三点恰好在一条直线上，盛水筒浮出水面（C点）后到A点需要（筒车匀速旋转）． 解决问题： （1）如图②，求证：； （2）如图③，当退潮期水面降至处时，再观察发现盛水筒浮出水面（Q点）36秒后，能将水流从点A处泄出（筒车的旋转速度不变），此时测量得到宽为，请求出点A距离水槽的高度为多少？（精确到，参考数据：） 【答案】（1） 证明：三点共线， 为的直径， ， ， 为的切线，为的直径， ， ， ； （2）2.5m． 【解析】 【分析】题目主要考查切线的性质及圆周角定理，解三角形等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据圆周角定理得出，再由切线的性质及各角之间的等量代换即可证明； （2）过点O作的垂线交于点F，交于点M，交的上方于点G，连接．得出，，再由题意确定所对的圆心角度数为，过点A作于点H，利用解三角形求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如解图，过点O作的垂线交于点F，交于点M，交的上方于点G，连接． ， ， ． ∵如题图②，盛水筒浮出水面（C点）后到A点需要， ∴盛水筒旋转一周的时间为， ∵盛水筒浮出水面（Q点）36秒后，能将水流从点A处泄出， ∴此时所对的圆心角度数为， ， ． 过点A作于点H， ， ， 同理， ∴点A距离水槽的高度为． 20. 某物理探究小组利用实验器材模拟室内光线反射，研究光线反射规律．如图1，为水平放置的平面镜，为光屏，一束光从点A射入，光线经过平面镜反射到光屏上形成光斑．由光的反射定理可知：．已知光屏与水平面的夹角为，点A与的距离分米，若光线与平面镜的夹角时，光线在光屏上形成的光斑为点C． （1）求点A与光斑点C的距离（结果保留根号）； （2）如图2，若光线与平面镜的夹角时，此时光线经过平面镜反射到光屏上形成光斑为点G，求光斑点C与光斑点G之间的距离（结果保留根号）． 【答案】（1）分米 （2）分米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得分米．再由直角三角形的性质即可得解． （2）过点A作，垂足为点P．解直角三角形得出分米．分米，由等腰直角三角形的性质可得分米，即可得解． 【小问1详解】 解：在中，， ，分米， 分米． 根据题意，得，， 在中，， ∵分米，， 分米． 答：点A与光斑点C的距离为分米． 【小问2详解】 解：如图，过点A作，垂足为点P． 在中，． ，分米， 分米． 根据题意，得，， 在中，． ，分米， 分米． 在中，． ，分米， 分米． 分米． 答：光斑点C与光斑点G之间的距离为分米． 21. 初中生正处于生长发育的重要时期，每天要保证摄入足够的能量．某学校食堂中午提供A，B两种套餐，每种套餐的热量及一些营养成分如下表所示： 套餐 热量 （千卡） 蛋白质 （克） 脂肪 （克） 碳水化合物 （克） 钠 （毫克） A 1150 53 147 586 B 800 140 111 247 （1）小涵同学发现9份A套餐和11份B套餐中的蛋白质含量相同，每份A套餐比B套餐蛋白质含量多6克，求每份A，B套餐中各含有蛋白质多少克． （2）依据中国营养学会推荐，建议中学生午餐蛋白质摄入总量每周不低于150克．为符合该标准，小涵同学在一周内可以选择A，B两种套餐各几天？写出所有的方案（说明：一周按5天计算） 【答案】（1）每份A，B套餐中各含有蛋白质克，克 （2）方案一：A种套餐天，B种套餐天； 方案二：A种套餐天，B种套餐天； 方案三：A种套餐天 【解析】 【分析】题主要考查二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题中的等量关系． （1）设每份A，B套餐中各含有蛋白质克，克，由题意可列二元一次方程组进行求解； （2）设该校一周里有a天选择A套餐，则有天选择B套餐，然后根据题意可列不等式进行求解． 【小问1详解】 解：每份A，B套餐中各含有蛋白质克，克， ，解得， 答：每份A，B套餐中各含有蛋白质克，克． 【小问2详解】 解：设选择A种套餐天， 则， 解得：， 又∵，且a为整数， ∴可取值为3，4，5，共三种方案， 方案一：A种套餐天，B种套餐天； 方案二：A种套餐天，B种套餐天； 方案三：A种套餐天． 22. 某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条抛物线．经测量，处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为，水柱距水平线的高度是． （1）求与之间的函数表达式； （2）若斜坡的坡比为，即图中，斜坡上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为； （2）解：不能，理由如下： 如图，过点作于， 由题意得点的横坐标5，即，斜坡的坡比为， ， ， ， ， 当时，， ， 处喷出的水柱不能越过这棵树的树顶． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用喷水问题，解直角三角形斜坡问题，熟练掌握二次函数待定系数法求解析式、读懂题意、把实际问题转化为数学问题和熟记二次函数的顶点式是解题的关键． （1）根据抛物线解析式为，为抛物线的顶点，得到抛物线顶点式，由是抛物线与y轴交点，将P点代入解析式，求解出待定系数即可； （2）连接，过点E作，根据题意点E、C、H点横坐标5，得，由斜坡的坡比为，即可求出，从而得到，然后把代入（1）中求解出的解析式中，得到y，比较y与即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为， 由题可知，其图象顶点坐标为， 抛物线解析式为． 又抛物线过点， ． ． 抛物线解析式为． 【小问2详解】 略 23. 【问题提出】 （）如图①，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接，，，．若恰好垂直于于点，则的长为______； 【问题解决】 （）如图②，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且． ①求的度数； ②为提高绿化面积，想让步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的？若存在，求面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（）；（）①；②存在，的面积存在最小值为 【解析】 【分析】（）先证明垂直平分线，即得，，进而得，得到，再根据折叠的性质可得，，，即得，，可得，即得到，即可求解； （）①过点作于，过点作于，可得，可证，可得，即得，进而根据即可求解；②过点作于，设，则，，利用勾股定理可得，即得，当最小时，面积最小， 可知当时，的面积最小，求出的最小值即可求解． 【详解】解：（）∵四边形是正方形， ∴，， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， 由折叠可得，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）①如图②，过点作于，过点作于， ∵， ∴， ∵在菱形中，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②存在，理由如下： 过点作于， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当最小时，面积最小， ∴当时，的面积最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内乡县2025年九年级三模考试 数学试题 （满分：120分 时间：100分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 2. 央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢度农历新年．下面是取自主标识中的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方形中，点是上一动点（不与，重合），对角线，相交于点，过点分别作，的垂线，分别交，于点与点，交，于点与点，若正方形的边长是2，则四边形的周长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 目前，中国国产GPU的运算性能在国际上已经具备较强的竞争力．某型号国产GPU的运算能力高达320 TFlops，TFlops是衡量计算机性能的一个重要单位，．将这种型号国产GPU的运算能力表示为，则m的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A. B. C. D. 8. 近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 镜片焦距x的值越大，近视眼镜的度数y的值越小 B. 图中曲线是反比例函数的图象（其中一支） C. 当焦距x为时，近视眼镜的度数y约为300度 D. 对于每一个镜片焦距x，都有唯一的近视度数y与它对应 9. 如图所示，一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 左老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点在轨道槽上运动，点既能在以为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的； ④当，时，可得到形状唯一确定的； 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则x的取值范围为__． 12. 不等式组的正整数解的个数是__________． 13. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则的长为_____． 14. 有人说，“一部三国史，半部在河南”．小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的特种邮票中国古典文学名著《三国演义》，上面分别绘有“夜袭乌巢”，“三顾茅庐”，“单骑救主”和“大闹板桥”的图案．这四个历史事件分别发生河南延津、河南南阳、河南当阳县和河南当阳长板桥头．这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．初中毕业之际，小明想把心爱的邮票送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，小亮抽到的邮票正好是“三顾茅庐”和“大闹板桥”的概率是______． 15. 如图，已知两条平行线，A是上的定点，于点B，点C，D分别是上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，连接，则的数量关系为___________；当最大时，的值为___________． 三、解答题（共8题，75分） 16. 化简或计算： （1）． （2）小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的AI软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的分析． 豆包给出分析： 这个解答从第______步开始出现错误； 虽然最终答案是，但过程存在逻辑错误． 正确解答为：，其中 解：原式＝ 先化简，再求值：，其中 解：原式① ② 当时，原式③ 编辑 我的解答正确吗？ 17. 2025年央视春晚中出现了许多“河南面孔”，如“确山铁花”“豫剧《花木兰》”“少林功夫”等非物质文化遗产．某校为了解七、八年级学生对非物质文化遗产的了解程度，组织了一次非物质文化遗产知识测试（百分制），从七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，分成四组：A．，B．，C．，D．）， 部分信息如下： 信息一：七年级10名学生的成绩是：80，82，86，89，92，96，96，98，99，100． 信息二：八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，93，93． 信息三：八年级抽取的学生成绩扇形统计图如图所示． 信息四：七、八年级抽取的学生测试成绩各统计量如下表． 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 91.8 m n 46.96 八年级 91.8 93 98 41.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：___________，___________，___________ （2）学校准备从成绩较稳定的年级中选择若干名学生参加下一阶段的活动，请判断学校会从哪个年级中选择，并说明理由． （3）已知七、八年级共有600名学生参加了此次非物质文化遗产知识测试，估计该校参加此次测试成绩为优秀（）的学生总人数． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，其中点的横坐标为． （1）求的值； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）过点作轴于点，连接，求的面积． 19. 背景介绍：筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图①，其工作原理为：筒车水轮直立于河边水中，轮周斜装若干竹木制小筒，利用水流推动主轮，轮周小筒依次入水舀满，至顶倾出，接以木槽，导入渠田． 提出问题：某数学小组成员想得到筒车出水点的高度． 收集数据：如图②，经了解，此筒车（）的半径为，筒车上的竹筒离开水面后，把水引至A处，水沿射线方向泄至水槽．小组成员观察到：筒车与相切．当涨潮期水面涨到与平齐的处时，此时A，O，C三点恰好在一条直线上，盛水筒浮出水面（C点）后到A点需要（筒车匀速旋转）． 解决问题： （1）如图②，求证：； （2）如图③，当退潮期水面降至处时，再观察发现盛水筒浮出水面（Q点）36秒后，能将水流从点A处泄出（筒车的旋转速度不变），此时测量得到宽为，请求出点A距离水槽的高度为多少？（精确到，参考数据：） 20. 某物理探究小组利用实验器材模拟室内光线反射，研究光线反射规律．如图1，为水平放置的平面镜，为光屏，一束光从点A射入，光线经过平面镜反射到光屏上形成光斑．由光的反射定理可知：．已知光屏与水平面的夹角为，点A与的距离分米，若光线与平面镜的夹角时，光线在光屏上形成的光斑为点C． （1）求点A与光斑点C的距离（结果保留根号）； （2）如图2，若光线与平面镜的夹角时，此时光线经过平面镜反射到光屏上形成光斑为点G，求光斑点C与光斑点G之间的距离（结果保留根号）． 21. 初中生正处于生长发育的重要时期，每天要保证摄入足够的能量．某学校食堂中午提供A，B两种套餐，每种套餐的热量及一些营养成分如下表所示： 套餐 热量 （千卡） 蛋白质 （克） 脂肪 （克） 碳水化合物 （克） 钠 （毫克） A 1150 53 147 586 B 800 140 111 247 （1）小涵同学发现9份A套餐和11份B套餐中的蛋白质含量相同，每份A套餐比B套餐蛋白质含量多6克，求每份A，B套餐中各含有蛋白质多少克． （2）依据中国营养学会推荐，建议中学生午餐蛋白质摄入总量每周不低于150克．为符合该标准，小涵同学在一周内可以选择A，B两种套餐各几天？写出所有的方案（说明：一周按5天计算） 22. 某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条抛物线．经测量，处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为，水柱距水平线的高度是． （1）求与之间的函数表达式； （2）若斜坡的坡比为，即图中，斜坡上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由． 23. 【问题提出】 （）如图①，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接，，，．若恰好垂直于于点，则的长为______； 【问题解决】 （）如图②，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且． ①求的度数； ②为提高绿化面积，想让步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的？若存在，求面积的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $