课时训练（34）概率与统计的综合问题（Word练习）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

1．(2025·宜昌模拟)某学校有A，B两家餐厅，王同学开学第1天(9月1日)午餐时去A餐厅用餐的概率是.如果第1天去A餐厅，那么第2天继续去A餐厅的概率为；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为，如此往复． (1)计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率； (2)记王同学第n天去A餐厅用餐的概率为Pn，求Pn. 解：(1)设A1表示第1天去A餐厅，A2表示第2天去A餐厅，则表示第1天去B餐厅， 根据题意得P(A1)＝，P()＝，P(A2|A1)＝，P(A2|)＝， 所以P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P()P(A2|)＝×＋×＝. (2)设An表示第n天去A餐厅用餐， 则Pn＝P(An)，P()＝1－Pn， 根据题意得P(An＋1∣An)＝，P(An＋1|)＝， 由全概率公式得，P(An＋1)＝P(An)P(An＋1|An)＋P()P(An＋1|)＝Pn＋(1－Pn)＝－Pn＋， 即Pn＋1＝－Pn＋， 整理得，Pn＋1－＝－(Pn－).又P1－＝≠0， 所以{Pn－}是以为首项，－为公比的等比数列， 可得Pn＝＋×(－)n－1. 2．(2025·南京期中)某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%. (1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列和数学期望； (2)设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p的值． 解：(1)由题可知X的所有取值为1，2，3，4，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，P(X＝4)＝＝＝， 故X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. (2)记“输入的问题没有语法错误”为事件A，记“输入的问题有语法错误”为事件B，记“回答被采纳”为事件C， 由已知得，P(C)＝0.7，P(C|A)＝0.8，P(C|B)＝0.4，P(B)＝p，P(A)＝1－p， 所以由全概率公式得 P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝0.8×(1－p)＋0.4p＝0.7， 解得p＝0.25. 3．(2025·重庆沙坪坝模拟)某企业生产的产品的质量指标值为M(M∈[70，100])，其质量指标等级划分如下表： 质量指标值M [70，75) [75，90) [90，100] 质量指标等级 废品 合格 废品 为了解该产品的经济效益，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了1 000件．将其质量指标值M的数据作为样本，绘制如图的频率分布直方图： (1)若样本数据中质量指标值的中位数和平均值分别为87.5和87，求a，b，c的值； (2)若每件产品的质量指标值M与利润y(单位：万元)的关系如下表(0<x<)： 质量指标值M [70，75) [75，80) [80，85) [85，90) [90，100] 利润y (万元) － 2x － 以频率作为概率，期望作为决策依据，若c＝0.01，对任意的x∈(0，)，生产该产品一定能盈利，求a的取值范围． 解：(1)由中位数为87.5， 得5(c＋0.02＋a)＋2.5b＝2.5b＋5×(0.04＋0.02)＝0.5， 则 由平均值为87，得5c×72.5＋0.1×77.5＋5a×82.5＋5b×87.5＋0.2×92.5＋0.1×97.5＝87， 则72.5c＋82.5a＝3.2，联立解得c＝0.01，a＝0.03， 所以a＝0.03，b＝0.08，c＝0.01. (2)以频率作为概率，每件产品的质量指标值M与利润y(单位：万元)及对应概率关系为 质量指标值M [70，75) [75，80) [80，85) [85，90) [90，100] 利润y (万元) － 2x － P 0.05 0.1 5a 5b 0.3 依题意，5a＋5b＝1－0.05－0.1－0.3，即b＝0.11－a， 每件产品的利润y＝－＋＋10ax＋bx－＝＋(9a＋0.11)x，x∈(0，). 由对任意的x∈(0，)，生产该产品一定能盈利， 得∀x∈(0，)，y>0恒成立， 此时y>0⇔cos x－1＋(9a＋0.11)x2>0. 令f(x)＝cos x－1＋(9a＋0.11)x2，x∈(0，)， 求导得f′(x)＝－sin x＋2(9a＋0.11)x. 令g(x)＝－sin x＋2(9a＋0.11)x，x∈(0，)， 求导得g′(x)＝－cos x＋2(9a＋0.11)， 而0<cos x<1，a≥0， 当2(9a＋0.11)≥1，即a≥时，g′(x)>0，函数f′(x)在(0，)上单调递增， f′(x)>f′(0)＝0，函数f(x)在(0，)上单调递增，f(x)>f(0)＝0，符合题意； 当0<2(9a＋0.11)<1时，存在x0∈(0，)，使得g′(x0)＝0， 由g′(x)在(0，)上单调递增，得当x∈(0，x0)时，g′(x)<0，函数f′(x)在(0，x0)上单调递减， 当x∈(0，x0)时，f ′(x)<f ′(0)＝0，函数f(x)在(0，x0)上单调递减，f(x)<f(0)＝0，不符合题意， 由b＝0.11－a，及b≥0，得a≤0.11，因此≤a≤， 所以a的取值范围是≤a≤. 4．某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站(从k到k＋1)；若掷出反面，棋子向前跳两站(从k到k＋2)，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时，该游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为Pn. (1)求P0，P1，P2的值； (2)求证：Pn－Pn－1＝－(Pn－1－Pn－2)，其中n∈N，2≤n≤99； (3)求玩该游戏获胜的概率及失败的概率． (1)解：根据题意，分析可得棋子开始在第0站，则P0＝1， 若棋子跳到1站，必有硬币掷出正面，则P1＝， 若棋子跳到2站，有2种情况，即2次硬币掷出正面或1次掷出反面，则P2＝×＋＝. (2)证明：根据题意，棋子跳到第n站(2≤n≤99)有两种可能： ①棋子先到第(n－2)站，又掷出反面，此时有概率为Pn－2， ②棋子先到第(n－1)站，又掷出正面，此时有概率为Pn－1，则有Pn＝Pn－1＋Pn－2， 变形可得：Pn－Pn－1＝－(Pn－1－Pn－2)， 其中n∈N，2≤n≤99，即得证． (3)解：根据题意，P3＝··＋2··＝，由此易知，P1－P0符合(2)中结论，所以数列{Pn－Pn－1}是以P1－P0＝－1＝－为首项，公比为－的等比数列， 则有Pn－Pn－1＝－×(－)n－1＝(－)n， 则有P99＝P0＋(P1－P0)＋(P2－P1)＋(P3－P2)＋…＋(P99－P98)＝1＋[－＋(－)2＋…＋(－)99]＝[1－()100]， 即该游戏获胜的概率为P99＝[1－()100]， 则该游戏失败的概率为1－[1－()100]＝[1＋()99]. 学科网（北京）股份有限公司 $$