课时训练（33）二项分布、超几何分布与正态分布（Word练习）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

一、单选题 1．(2025·武汉期末)某人射击一次击中目标的概率是0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为(　　) A． B． C． D． A　解析：由题意可得，此人至少有两次击中目标的概率为C()2×(1－)＋C()3＝. 2．(2025·成都模拟)如图，我国古代珠算算具——算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠．若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则P(X≥1)＝(　　) A． B． C． D． A　解析：方法一　由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，则P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝. 方法二　由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，则P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝. 3．(2025·重庆模拟)随机变量ξ～ N(2，4)，η～B(3，)，则(　　) A．D(ξ)＝D(η) B．E(ξ)＝E(η) C．P(ξ≤2)＝ D．P(η＝1)＝ C　解析：对于A，B，E(ξ)＝2，E(η)＝3×＝，故E(ξ)≠E(η)，D(ξ)＝4，D(η)＝3××＝，故D(ξ)≠D(η)，故A，B错误；对于C，根据正态分布的对称性可得P(ξ≤2)＝，故C正确；对于D，P(η＝1)＝C××()2＝，故D错误． 4．(2025·青岛期中)从装有6个白球，2个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球．若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分．按照规则从容器中任意抽取2个球，所得分数的期望为(　　) A． B．3 C． D． A　解析：设得分为X，根据题意X可以取4，3，2，则P(X＝4)＝＝，P(X＝3)＝＝＝，P(X＝2)＝＝，则X的分布列为 X 4 3 2 P 所以得分期望为E(X)＝4×＋3×＋2×＝. 5．(2025·湖北联考)设随机变量X～B(n，p)，当正整数n很大，p很小，np不大时，X的分布接近泊松分布，即P(X＝i)≈(i∈N).现需100个正品元件，该元件的次品率为0.01，若要有95%及其以上的概率购得100个正品，则至少需购买的元件个数为(＝0.367 879…)(　　) A．100 B．101 C．102 D．103 D　解析：记随机变量X为购买a个元件中的次品数，由题意，此时可认为X服从泊松分布，则P(X≤a－100)≥0.95，记t＝a－100，则≥0.95.由于t很小，故大致有≥0.95，分别代入t＝0，1，2，3，左边依次约等于0.37，0.74，0.92，0.98，故t≥3，即a≥103. 二、多选题 6．(2025·重庆开学考试)在实际生产中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则，若X在[μ－3σ，μ＋3σ]外，可以认为生产线是不正常的，已知P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.某生产线上生产的零件长度X服从正态分布N(1，0.000 1)(单位：厘米)，则(　　) A．P(X＝1)＝ B．P(X<0.99)＝P(X≥1.01) C．若抽检的10个样本的长度均在[0.99，1.02]内，可以认为生产线正常 D．若抽检的10个样本中有一个零件的长度为0.95，应对生产线进行检修 BCD　解析：由题意可得μ＝1，σ＝0.01，对于A，因为正态分布求的是随机变量X在某一区域内的概率(在某一处的概率约为0)，所以P(X＝1)接近于0，或P(X≤1)＝或P(X≥1)＝，故A错误；对于B，因为X服从正态分布N(1，0.000 1)，所以关于μ＝1对称，所以P(X<0.99)＝P(X≥2－0.99)＝P(X≥1.01)，故B正确；对于C，因为μ－3σ＝0.97，μ＋3σ＝1.03，即零件长度在[0.97，1.03]内的是正常的，否则就不是正常零件，故C正确；对于D，由C的分析，可知0.95∉[0.97，1.03]，所以需要对生产线进行检修，所以D正确． 7．(2025·重庆模拟)已知某地区十二月份的昼夜温差X～N(μ，σ2)，P(X≥8)＝，该地区某班级十二月份感冒的学生有10人，其中有6位男生，4位女生，则下列结论正确的是(　　) A．E(X)＝8 B．若P(7<X<8)＝，则P(X>9)＝ C．从这10人中随机抽取2人，其中至少抽到一位女生的概率为 D．从这10人中随机抽取2人，其中女生人数ξ的期望为 ABD　解析：对于A，因为X～N(μ，σ2)，P(X≥8)＝，所以E(X)＝μ＝8，故A正确；对于B，∵P(7<X<8)＝，∴P(X>9)＝×(1－2×)＝，故B正确；对于C，P＝1－＝1－＝，故C错误；对于D，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝2，所以E(ξ)＝＝＝，故D正确． 三、填空题 8．在工业生产中轴承的直径服从N(3.0，0.002 5)，购买者要求直径为3.0±ε，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在4.55%之内，则ε至少为________．(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<2σ)＝0.954 5) 答案：0.1　解析：若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<2σ)＝0.954 5.因为工业生产中轴承的直径服从N(3.0，0.002 5)，所以μ＝3.0，σ2＝0.002 5，则σ＝0.05，由P(|X－3.0|<0.1)＝0.954 5，得P(|X－3.0|≥0.1)＝1－0.954 5＝0.045 5，则要使拒绝的概率控制在4.55%之内，则ε至少为0.1. 9．一袋中有除颜色不同，其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任意取出3个球，有黄球的概率是________，若ξ表示取到黄球的个数，则E(ξ)＝________. 答案：　　解析：从中任意取出3个球，样本点总数n＝C＝10，其中有黄球包含的样本点个数m＝CC＋CC＝9，所以有黄球的概率是P＝＝.ξ表示取到黄球的个数，则ξ的所有可能取值为0，1，2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 四、解答题 10．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率均为，每位选手每次编程都互不影响． (1)求乙闯关成功的概率； (2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和均值，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大． 解：(1)乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A， 则P(A)＝C()2×＋()3＝. (2)由题意知，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 所以甲闯关成功的概率为＋＝. 因为<，所以甲闯关成功的可能性更大． 11．(2025·长沙模拟)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，通过统计相关数据后，发现坐公交车用时X和骑自行车用时Y都近似服从正态分布．绘制了概率分布密度曲线，如图所示，则下列哪种情况下，应选择骑自行车(　　) A．有26 min可用 B．有30 min可用 C．有34 min可用 D．有38 min可用 D　解析：由题意，应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具．根据X和Y的分布密度曲线图可知， P(X≤26)>P(Y≤26)，P(X≤30)>P(Y≤30)，P(X≤34)>P(Y≤34)，P(X≤38)<P(Y≤38)，所以如果有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车． 12．(2025·长沙模拟)若X～B(100，)，则当k＝0，1，2，…，100时(　　) A．P(X＝k)≤P(X＝50) B．P(X＝k)≤P(X＝32) C．P(X＝k)≤P(X＝33) D．P(X＝k)≤P(X＝49) C　解析：由题意得即化简得≤k≤.又k为整数，可得k＝33，所以P(X＝k)≤P(X＝33). 13．(2025·泉州模拟)中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量ξ～B(n，p)，则当np>5且n(1－p)≥5时，ξ可以由服从正态分布的随机变量η近似替代，且ξ的期望与方差分别与η的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2 500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1 300的概率为(　　) 附：若η～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<η<μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<η<μ＋2σ)≈0.954 5 ，P(μ－3σ<η<μ＋3σ)≈0.997 3. A．0.002 7 B．0.5 C．0.841 4 D．0.977 3 D　解析：骰子向上的点数为偶数的概率p＝，故ξ～B(2 500，)，显然np＝n(1－p)＝2 500×>5，其中np＝1 250，np(1－p)＝625，故η～N(1 250，252)，则μ＋2σ＝1 250＋50＝1 300.由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1 300的概率为0.5＋×0.954 5≈0.977 3. 14．(2025·重庆模拟)某校机器人社团为了解市民对历年“数博会”科技成果的关注情况，在市内随机抽取了1 000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩ξ近似服从正态分布N(77，σ2)，且P(77≤ξ≤80)＝0.3. (1)估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数； (2)若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从市内随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望． 解：(1)由问卷调查的成绩ξ近似服从正态分布N(77，σ2)，且P(77≤ξ≤80)＝0.3， 则P(ξ>80)＝P(ξ≥77)－P(77≤ξ≤80)＝0.5－0.3＝0.2，于是1 000×0.2＝200， 所以抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数约为200. (2)由(1)知，对“数博会”的关注度较高事件的概率为p＝， X的可能取值为0，1，2，3，X～B(3，)， 则P(X＝0)＝C()0(1－)3＝，P(X＝1)＝C()1(1－)2＝， P(X＝2)＝C()2(1－)1＝，P(X＝3)＝C()3·(1－)0＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的数学期望为E(X)＝3×＝. 15．(2025·济南模拟)为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格． 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩xi(分) 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，s2，经计算(xi－)2＝1 690，＝33 050. (1)求； (2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N(μ，σ2)，用，s2的值分别作为μ，σ2的近似值．若监测中心计划从全市抽查10 000名高中生进行体质测试，记这10 000名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的人数为Y，求Y的数学期望E(Y). 附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3. 解：(1)＝×(38＋41＋44＋51＋54＋56＋58＋64＋74＋80)＝56. (2)因为体质测试不合格的学生有3名， 所以X的可能取值为0，1，2，3. 因为P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P (3)因为＝56，s2＝(xi－)2＝×1 690＝169，所以μ＝56，σ＝13. 因为P(30≤X≤82)＝P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5， 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的概率约为0.954 5，故Y～B(10 000，0.954 5)， 所以E(Y)＝10 000×0.954 5＝9 545. 学科网（北京）股份有限公司 $$