课时训练（32）离散型随机变量的分布列、均值与方差（Word练习）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

一、单选题 1．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝)＝ak(k＝1，2，3，4，5)，则P(<ξ<)＝(　　) A． B． C． D． D　解析：∵随机变量ξ的分布列为P(ξ＝)＝ak(k＝1，2，3，4，5)，∴a(1＋2＋3＋4＋5)＝1，解得a＝，∴P(<ξ<)＝P(ξ＝)＋P(ξ＝)＝＋＝. 2．(2025·泸州模拟)一次考试选择题每题5分，设某学生答对的选择题数为随机变量X，选择题得分为随机变量Y，已知P(Y≥30)＝0.6，则P(X<6)的值为(　　) A．0.6 B．0.5 C．0.3 D．0.4 D　解析：根据题意知，Y＝5X，所以X<6⇔5X<30⇔Y<30.因为P(Y≥30)＝0.6，所以P(Y<30)＝0.4，所以P(X<6)＝0.4. 3．(2025·杭州开学考试)已知随机变量X的分布列如下表所示，则E(2X＋1)＝(　　) X 1 2 3 P a A． B． C． D． C　解析：由分布列可得＋a＋＝1，解得a＝，则E(X)＝1×＋2×＋3×＝，所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝. 4．已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为 甲产业收益分布列 收益X/亿元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 乙产业收益分布列 收益Y/亿元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 则下列说法正确的是(　　) A．甲产业收益的期望大，风险高 B．甲产业收益的期望小，风险小 C．乙产业收益的期望大，风险小 D．乙产业收益的期望小，风险高 A　解析：由题意可得E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29；E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，故E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)，即甲产业收益的期望大，风险高． 5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，每人各局取胜的概率均为，现采用五局三胜制，胜3局者赢得全部奖金800元．若前两局比赛均为甲胜，此时因某种原因比赛中止，为使奖金分配合理，则乙应得奖金(　　) A．700元 B．600元 C．200元 D．100元 D　解析：设甲应得奖金为X，X的可能取值为800，0，甲赢得比赛有3种情况：①胜第3局，甲赢的概率为；②输第3局，胜第4局，甲赢的概率为×＝；③输第3，4局，胜第5局，甲赢的概率为××＝，∴甲赢的概率为＋＋＝，∴E(X)＝800×＋0×＝700，则乙应得奖金为800－700＝100(元). 6．(2025·桂林模拟)设0<a<1.随机变量X的分布列为 X 0 a 1 P 当a在(0，1)上增大时，则(　　) A．E(X)不变 B．E(X)减小 C．D(X)先增大后减小 D．D(X)先减小后增大 D　解析：E(X)＝0×＋a×＋1×＝，∴当a在(0，1)上增大时，E(X)增大，D(X)＝()2×＋(a－)2×＋(1－)2×＝[(a＋1)2＋(2a－1)2＋(2－a)2]＝(a2－a＋1)＝(a－)2＋，∴当a在(0，1)上增大时，D(X)先减小后增大． 二、多选题 7．(2025·哈尔滨质检)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是(　　) A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X＋2)＝4 C．D(3X＋2)＝4 D．D(X)＝ AB　解析：随机变量X服从两点分布，由P(X＝0)＝，得P(X＝1)＝，E(X)＝0×＋1×＝，D(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＝.在A中，P(X＝1)＝E(X)，故A正确；在B中，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×＋2＝4，故B正确；在C中，D(3X＋2)＝9D(X)＝9×＝2，故C错误；在D中，D(X)＝，故D错误． 8．袋中有10个除颜色外完全相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是(　　) A．P(|Z－6|≤1)＝ B．E(X)＞E(Y) C．D(X)＝D(Y) D．E(Z)＝ ACD　解析：由题意知X，Y均服从超几何分布，且X＋Y＝4，Z＝2X＋Y，故P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，4)；从而P(|Z－6|≤1)＝1－P(Z＝8)－P(Z＝4)＝1－P(X＝4)－P(X＝0)＝，故A正确；E(X)＝4×＝，E(Y)＝4－E(X)＝，D(X)＝D(4－Y)＝D(Y)，故B错误，C正确；E(Z)＝2×E(X)＋E(Y)＝，故D正确． 三、填空题 9．(2025·上海开学考试)已知随机变量X的方差D(X)＝1，则随机变量Y＝3X＋2的方差D(Y)＝________． 答案：9　解析：因为随机变量X的方差D(X)＝1，随机变量Y＝3X＋2，所以D(Y)＝D(3X＋2)＝32D(X)＝9. 10．(2025·宜宾模拟)小青准备用9万元投资A，B两种股票，已知两种股票的收益相互独立，且这两种股票的买入都是每股1万元，每股收益的分布列如下表所示，若投资A种股票a万元，则小青两种股票的收益期望和为________万元． 股票A的每股收益分布列 收益X/万元 －1 0 3 概率 0.3 0.2 0.5 股票B的每股收益分布列 收益Y/万元 －3 4 概率 0.4 0.6 答案：10.8　解析：由题中两种股票每股收益的分布列可知：E(X)＝－1×0.3＋0×0.2＋3×0.5＝1.2，E(Y)＝－3×0.4＋4×0.6＝1.2，所以两种股票的收益期望和为aE(X)＋(9－a)E(Y)＝1.2a＋(9－a)×1.2＝1.2×9＝10.8. 四、解答题 11．(2024·北京卷)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1 000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 索赔次数 0 1 2 3 4 保单份数 800 100 60 30 10 假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元． 假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率． (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差． (i)记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望E(X)； (ii)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(i)中E(X)估计值的大小．(结论不要求证明) 解：(1)方法一(正面计算)　记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件A， 由索赔次数不少于2，知索赔次数为2，3，4， 所以P(A)＝＝＝. 方法二(反面计算)　记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件A， 由索赔次数不少于2，知可利用间接法计算， 则P(A)＝1－＝. (2)(i)由题知X的所有可能取值为0.4，－0.4，－1.2，－2.0，－2.6， 则P(X＝0.4)＝＝0.8， P(X＝－0.4)＝＝0.1， P(X＝－1.2)＝＝0.06， P(X＝－2.0)＝＝0.03， P(X＝－2.6)＝＝0.01， 故E(X)＝0.4×0.8－0.4×0.1－1.2×0.06－2.0×0.03－2.6×0.01＝0.122. (ii)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值比(i)中E(X)估计值大． 证明如下： 设调整保费后一份保单的毛利润(单位：万元)为Y，则 对于索赔次数为0的保单，Y＝0.4×(1－4%)＝0.384， 对于索赔次数为1的保单，Y＝0.4×(1＋20%)－0.8＝－0.32， 对于索赔次数为2的保单，Y＝－0.32－0.8＝－1.12， 对于索赔次数为3的保单，Y＝－1.12－0.8＝－1.92， 对于索赔次数为4的保单，Y＝－1.92－0.6＝－2.52， 故E(Y)＝0.384×0.8－0.32×0.1－1.12×0.06－1.92×0.03－2.52×0.01＝0.125 2. 所以E(X)<E(Y). 12．(2025·秦皇岛联考)已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P a 2b a 则D(bX)的最大值为 (　　) A． B． C． D． D　解析：由题可知2a＋2b＝1，即a＋b＝，所以E(X)＝a＋4b＋3a＝4(a＋b)＝2，D(X)＝(1－2)2a＋(3－2)2a＝2a，则D(bX)＝b2D(X)＝2ab2＝－2b3＋b2.令f(b)＝－2b3＋b2(0<b<)，则f′(b)＝－6b2＋2b＝－2b(3b－1)，则f(b)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减，所以f(b)max＝f()＝，则D(bX)的最大值为. 13．已知离散型随机变量X的取值为有限个，E(X)＝，D(X)＝，则E(X2)＝________． 答案：　解析：因为E(X)＝，D(X)＝，由D(X)＝E(X2)－[E(X)]2，得E(X2)＝D(X)＋[E(X)]2＝＋()2＝. 14．某单位有10 000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10 000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．按照这种化验方法，平均每个人需要化验________次．(结果保留四位有效数字)(0.955≈0.773 8，0.956≈0.735 1，0.957≈0.698 3) 答案：0.426 2　解析：设一组中每个人需要化验的次数为X，若混合血样呈阴性，则X＝；若混合血样呈阳性，则X＝，因此P(X＝)＝0.955，P(X＝)＝1－0.955，则E(X)＝×[0.955＋6×(1－0.955)]≈×[0.773 8＋6×(1－0.773 8)]＝0.426 2，所以平均每个人需要化验0.426 2次． 15．随着五一的到来，各大旅游景点热闹非凡，为了解A，B两个旅游景点游客的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得关于A旅游景点的问卷100份，关于B旅游景点的问卷80份．问卷中，对景点的满意度等级划分为非常满意、满意、一般、不满意，对应分数分别为4分、3分、2分、1分，数据统计如下： 非常满意 满意 一般 不满意 A景点 50 30 5 15 B景点 35 30 7 8 假设用频率估计概率，且游客对A，B两个旅游景点的满意度评价相互独立． (1)从所有(人数足够多)在A旅游景点的游客中随机抽取2人，从所有(人数足够多)在B旅游景点的游客中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出“非常满意”的概率； (2)根据上述数据，你若旅游，你会选择A，B哪个旅游景点？说明理由． 解：(1)设“这4人中恰有2人给出‘非常满意’的评价”为事件C，由题表中数据可知，游客在A景点给出“非常满意”评价的概率为＝， 游客在B景点给出“非常满意”评价的概率为＝， 则P(C)＝()2×(1－)2＋C·×(1－)C·×(1－)＋(1－)2×()2＝. (2)设一位游客对A景点的满意度评分为X，一位游客对B景点的满意度评分为Y， 由题表中数据得X的分布列为 X 4 3 2 1 P Y的分布列为 Y 4 3 2 1 P 则E(X)＝4×＋3×＋2×＋1×＝3.15， D(X)＝0.852×＋(－0.15)2×＋(－1.15)2×＋(－2.15)2×＝1.127 5， E(Y)＝4×＋3×＋2×＋1×＝3.15， D(Y)＝0.852×＋(－0.15)2×＋(－1.15)2×＋(－2.15)2×＝0.902 5， 显然E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以选择B景点． 16．(2025·泰安模拟)某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励．规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额． (1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求： ①员工所获得的奖励金额为1 000元的概率； ②员工所获得的奖励金额的分布列及均值； (2)公司对奖励金额的预算是人均1 000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成．为了使员工得到的奖励金额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励金额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由． 解：(1)设员工所获得的奖励金额为X， ①P(X＝1 000)＝＝， ∴员工所获得的奖励金额为1 000元的概率为. ②X所有可能的取值为400，1 000， P(X＝400)＝＝， ∴X的分布列为 X 400 1 000 P ∴员工所获得的奖励金额的均值为 E(X)＝400×＋1 000×＝700. (2)根据公司预算，每个员工的平均奖励金额为1 000元， ∴先寻找均值为1 000元的可能方案， 对于面值由800元和200元组成的情况， 如果选择(200，200，200，800)的方案， ∵1 000元是面值之和的最大值， ∴均值不可能为1 000元， 如果选择(800，800，800，200)的方案， ∵1 000元是面值之和的最小值， ∴均值不可能为1 000元， 因此可能的方案是(800，800，200，200)，记为方案1； 同理，对于面值由600元和400元组成的情况， 排除(600，600，600，400)和(400，400，400，600)的方案， ∴可能的方案是(400，400，600，600)，记为方案2. 对于方案1，设员工所获得的奖励金额为X1，X1可取400，1 000，1 600， P(X1＝400)＝＝， P(X1＝1 000)＝＝， P(X1＝1 600)＝＝， ∴E(X1)＝400×＋1 000×＋1 600×＝1 000， D(X1)＝(400－1 000)2×＋(1 000－1 000)2×＋(1 600－1 000)2×＝120 000； 对于方案2，设员工所获得的奖励金额为X2，X2可取800，1 000，1 200， P(X2＝800)＝＝， P(X2＝1 000)＝＝， P(X2＝1 200)＝＝， ∴E(X2)＝800×＋1 000×＋1 200×＝1 000， D(X2)＝×(800－1 000)2＋×(1 000－1 000)2＋×(1 200－1 000)2＝， 由于两种方案的奖励金额都符合预算要求，但方案2的方差比方案1小， ∴应选择方案2. 学科网（北京）股份有限公司 $$