课时训练（30）古典概型及概率的基本性质（Word练习）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

一、单选题 1．从1～9这9个数中随机选择一个数，则这个数平方的个位数字大于5的概率为(　　) A． B． C． D． B　解析：由题意知从1～9这9个数中随机选择一个数，共有9种选法，其中这个数平方的个位数字大于5的数字是3，4，6，7，故这个数平方的个位数字大于5的概率为. 2．(2025·青海模拟)从五棱锥的6个顶点中随机选取4个，则这4个顶点在同一个平面内的概率是(　　) A． B． C． D． C　解析：从五棱锥的6个顶点中随机选取4个的不同选取方法有C＝15种，其中选取的4个顶点在同一个平面内的不同选取方法有C＝5种，则所求概率P＝＝. 3．(2025·河南开学考试)随着暑假的来临，中国各地旅游市场也迎来旺季．小明和小王都计划在南京、北京、西安、厦门、杭州这5个城市中选2个城市去旅游，则小明和小王不会去相同城市的概率为(　　) A． B． C． D． B　解析：两人从5个城市中各选2个城市去旅游共有CC＝100种选法，若两人不去相同城市，则有CC＝30种选法，所以小明和小王不会去相同城市的概率为＝. 4．(2025·广州开学考试)某校高三年级有班号为1～9的9个班，从这9个班中任抽5个班级参加一项活动，则抽出班级的班号的中位数是5的概率等于(　　) A． B． C． D． C　解析：某校高三年级有班号为1～9的9个班，从这9个班中任抽5个班级参加一项活动，基本事件总数n＝C＝126，抽出班级的班号的中位数是5包含的基本事件个数m＝CC＝36，∴抽出班级的班号的中位数是5的概率p＝＝＝. 5．(2025·保定模拟)某火锅店在每周的周一、周三、周五、周日会安排员工跳舞蹈，已知某人在一周的七天中，随机选择两天到该店吃火锅，则该人能欣赏到舞蹈的概率为(　　) A． B． C． D． B　解析：该人不能欣赏到舞蹈的概率P＝＝＝，则该人能欣赏到舞蹈的概率P＝1－＝. 6．(2025·上海开学考试)已知事件A与事件B是互斥事件，则(　　) A．P(∩)＝1 B．P(A∩B)＝P(A)P(B) C．P(A)＝1－P(B) D．P(∪)＝1 D　解析：若随机试验为抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A＝{1，3}，B＝{2，4}，则事件A与事件B是互斥事件，此时∩＝{5，6}，A∩B＝∅，P(A)＝P(B)＝，所以P(∩)＝，A错误；P(A∩B)＝0，P(A)P(B)＝，P(A∩B)≠P(A)P(B)，B错误；P(A)≠1－P(B)，C错误；因为事件A与事件B是互斥事件，所以A∩B＝∅，所以∩为必然事件，所以P(∪)＝1，D正确． 二、多选题 7．袋中有红、黄两种颜色的球各一个，这两个球除颜色外完全相同，每次从中任取一个，有放回地抽取3次，记事件A表示“3次抽到的球全是红球”，事件B表示“3次抽到的球颜色全相同”，事件C表示“3次抽到的球颜色不全相同”，则下列结论正确的是(　　) A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件C是对立事件 C．P(C)＝ D．P(A∪C)＝ CD　解析：对于A，因为3次抽到的球全是红球为3次抽到的球颜色全相同的一种情况，所以事件A与事件B不互斥，故A错误；对于B，事件A与事件C不可能同时发生，是互斥事件，但一次试验中还可能3次抽到的球全是黄球，所以事件A与事件C不是对立事件，故B错误；对于C，P(C)＝1－＝＝，故C正确；对于D，因为事件A与事件C互斥，P(A)＝，所以P(A∪C)＝P(A)＋P(C)＝＋＝，故D正确． 8．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(单位：分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示： 所需时间/分钟 30 40 50 60 线路一 0.5 0.2 0.2 0.1 线路二 0.3 0.5 0.1 0.1 则下列说法正确的是(　　) A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件 B．线路一所需的平均时间比线路二少 C．如果要求用不超过40分钟的时间从家赶到公司，小张应该走线路一 D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04 BD　解析：“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以A错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(分钟)，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(分钟)，所以线路一所需的平均时间比线路二少，所以B正确；线路一所需时间不超过40分钟的概率为0.7，线路二所需时间不超过40分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以C错误；所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50，60)，(60，50)和(60，60)三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，所以D正确． 三、填空题 9．(2025·重庆诊断)饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好．现锅中煮有白菜馅饺子4个，韭菜馅饺子3个，这两种饺子的外形完全相同．从中任意舀取3个饺子，则每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为________． 答案：　解析：分为两类，舀取到的饺子有1个白菜馅，2个韭菜馅，或是2个白菜馅，1个韭菜馅，所以所求概率p＝＝. 10．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________． 答案：　解析：从正方体的8个顶点中任选4个，取法有C＝70(种).其中4个点共面有以下两种情况： ①所取的4个点为正方体同一个面上的4个顶点，如图1，有6种取法；②所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点，如图2，也有6种取法． 所取的4个点在同一个平面的概率P＝＝. 四、解答题 11．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． (1)写出甲、乙抽到牌的所有情况； (2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？ (3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？ 解：(1)分别用2，3，4，4′表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，则甲、乙抽到牌的所有情况为(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同的情况． (2)甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，因此乙抽到牌的数字比3大的概率是. (3)甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况，因此甲胜的概率为，乙胜的概率为. 因为＜，所以此游戏不公平． 12．保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是(　　) A． B． C． D． C　解析：密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列的结果有(1，3，5，7)，(1，3，5，9)，(1，3，7，9)，(1，5，7，9)，(3，5，7，9)，共5个，它们等可能，最多输入2次就能开锁的事件A，它是输入1次能开锁的事件A1，第2次输入才能开锁的事件A2的和，它们互斥，P(A1)＝，P(A2)＝×＝，则P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝，最多输入2次就能开锁的概率是. 13．(2025·淮安模拟)在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是(　　) A．恰有1件一等品 B．至少有一件一等品 C．至多有一件一等品 D．都不是一等品 C　解析：将3件一等品编号为1，2，3；2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).其中恰含有1件一等品的取法有(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，恰有1件一等品的概率为P1＝；恰有2件一等品的取法有(1，2)，(1，3)，(2，3)，故恰有2件一等品的概率为P2＝，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1－＝. 14.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33名成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一名成员，则他至少参加2个小组的概率为________，他至多参加2个小组的概率为________． 答案：　　解析：记“恰好参加2个小组”为事件A，“恰好参加3个小组”为事件B，随机选取一名成员，恰好参加2个小组的概率P(A)＝＋＋＝，恰好参加3个小组的概率P(B)＝＝，则至少参加2个小组的概率为P(A)＋P(B)＝＋＝，至多参加2个小组的概率为1－P(B)＝1－＝. 15．某市甲、乙两所中学的学生组队参加辩论赛，甲中学推荐了3名男生、2名女生，乙中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队． (1)求甲中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生不少于2人的概率． 解：(1)由题意得，参加集训的男、女生各有6名，入选代表队的学生全从乙中学抽取(等价于甲中学没有学生入选代表队)的概率为＝，因此甲中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝. (2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，“参赛女生有2人”为事件B，“参赛女生有3人”为事件C，则P(B)＝＝，P(C)＝＝.易知事件B与事件C互斥，则由互斥事件的概率加法公式，得P(A)＝P(B)＋P(C)＝＋＝，故所求事件的概率为. 16．(2025·上海宝山模拟)黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一．为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分(满分100分)，根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求x的值； (2)估计这100名游客对景区满意度评分的众数、平均数(结果均精确到0.1)； (3)景区的工作人员采用按比例分层随机抽样的方法从评分在[50，60)、[60，70)的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在[50，60)和[60，70)内各1人的概率． 解：(1)由频率分布直方图知：10×(0.005＋0.010＋0.015＋x＋0.040)＝1，可得x＝0.030. (2)根据频率分布直方图中矩形最高组的组中值，即为众数，故众数为＝95.0， 平均数为＝55×0.05＋65×0.10＋75×0.15＋85×0.3＋95×0.4＝84.0. (3)因为评分在[50，60)、[60，70)的频率分别为0.05，0.1，则在[50，60)中抽取×6＝2(人)，设为a，b. 在[60，70)中抽取×6＝4(人)，设为C，D，E，F. 从这6人中随机抽取2人，则有{a，b}，{a，C}，{a，D}，{a，E}，{a，F}，{b，C}，{b，D}，{b，E}，{b，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}， 共有15个基本事件． 设选取的2人评分分别在[50，60)和[60，70)内各1人为事件A，则有{a，C}，{a，D}，{a，E}，{a，F}，{b，C}，{b，D}，{b，E}，{b，F}，共8个基本事件，所以P(A)＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$