课时训练（28）二项式定理（Word练习）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

一、单选题 1．(2025·丽水模拟)二项式(x2＋)6的展开式中的常数项为(　　) A．480 B．240 C．120 D．15 B　解析：因为Tr＋1＝C(x2)6－r()r＝C2rx12－3r，若为常数项，则r＝4.C24＝15×16＝240. 2．(2025·白城模拟)(3＋2x)n展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 C　解析：因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故＋1＝4，得n＝6. 3．(2025·长沙模拟)的展开式中的常数项为(　　) A．45 B．55 C．105 D．75 C　解析：由二项式定理可得(x－1)7展开式中含x3的项为C(－1)4x3，所以的展开式中的常数项为3C(－1)4＝105. 4．若(1＋3x)2＋(1＋2x)3＋(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4等于(　　) A．49 B．56 C．59 D．64 C　解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋3)2＋(1＋2)3＋(1＋1)4＝59. 5．已知m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 B　解析：由题意可知，a＝C，b＝C.∵13a＝7b，∴13·＝7·，即＝，解得m＝6. 6．(2025·黄山模拟)已知(1＋2x)n的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中的x4项的系数为(　　) A．5 B．16 C．40 D．80 D　解析：因为(1＋2x)n的展开式中各项系数的和为243，则令x＝1，代入可得(1＋2)n＝243＝35，解得n＝5，所以二项式为(1＋2x)5，则该二项式展开式的通项为Tr＋1＝C(1)5－r·(2x)r＝2r·Cxr，r∈{0，1，2，3，4，5}，令r＝4得，该展开式中的x4项的系数为24·C＝16×5＝80. 7．已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|等于(　　) A．1 B．243 C．121 D．122 B　解析：令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，① 令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，② ①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122，所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243. 8．(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是(　　) A．120 B．－120 C．60 D．30 A　解析：方法一　由题意知(x＋y－2z)5＝[(x＋y)－2z]5，展开式的第k＋1项为C(x＋y)5－k·(－2z)k，令k＝2，可得第3项为(－2)2C(x＋y)3z2，(x＋y)3的展开式的第m＋1项为Cx3－mym，令m＝2，可得第3项为Cxy2，所以(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是(－2)2CC＝120. 方法二　(x＋y－2z)5相当于5个(x＋y－2z)相乘，含xy2z2的项则是其中1个(x＋y－2z)中取x，2个(x＋y－2z)中取y，2个(x＋y－2z)中取z，故系数为CCC(－2)2＝120. 二、多选题 9．已知二项式(3x－1)n的展开式中各项系数的和为128，则下列结论中正确的有 (　　) A．展开式共有7项 B．展开式中各二项式系数的和为128 C．展开式中只有第4项的二项式系数最大 D．展开式中的常数项为－1 BD　解析：由题意知，当x＝1时，2n＝128，所以n＝7.二项式(3x－1)7的展开式共有8项，故A错误；展开式中各二项式系数的和为27＝128，故B正确；展开式中第4项和第5项的二项式系数最大，故C错误；展开式中的常数项为(－1)7＝－1，故D正确． 10．已知(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则(　　) A．a0的值为2 B．a5的值为16 C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5 D．a1＋a3＋a5的值为120 ABC　解析：令x＝0，得a0＝2，A正确．(1－2x)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(－2x)r＝(－2)rCxr，所以a5＝2×(－2)5C＋(－2)4C＝16，B正确．令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－3.①　又a0＝2，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－3－2＝－5，C正确．令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝243.②　由得，a1＋a3＋a5＝－123，D错误． 11．对于(x2－)6的展开式，下列说法正确的是(　　) A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为64 C．常数项为1 215 D．二项式系数最大的项为第3项 ABC　解析：(x2－)6的展开式中所有项的二项式系数和为26＝64，选项A正确；在(x2－)6中，令x＝1，得(1－3)6＝64，选项B正确；(x2－)6展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)6－k·(－)k＝(－3)k·Cx12－3k，k≤6，k∈N，令12－3k＝0，得k＝4，所以常数项为(－3)4×C＝1 215，选项C正确；当k＝3时，二项式系数最大，则二项式系数最大的项为第4项，选项D错误． 三、填空题 12．(2024·上海卷)在(x＋1)n的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中x2的系数为________． 答案：10　解析：令x＝1，则(1＋1)n＝32，即2n＝32，解得n＝5，所以(1＋x)5的展开式通项公式为Tr＋1＝C·x5－r.令5－r＝2，则r＝3，所以展开式中x2的系数为C＝10. 13．(2025·上海开学考试)设x∈R，若(3＋x)5＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋a3(1＋x)3＋a4(1＋x)4＋a5(1＋x)5，则a1－a2＋a3－a4＋a5＝________． 答案：31　解析：令x＝－2，得到1＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.令x＝－1，得到a0＝32，则1＝32－a1＋a2－a3＋a4－a5，所以a1－a2＋a3－a4＋a5＝31. 14．(2025·安康开学考试)(x2＋x＋)(x－3)8的展开式中x9的系数为________．(用数字作答) 答案：－23　解析：第二个括号的通项为Tr＋1＝Cx8－r(－3)r，所以当前面括号出x2时，后面为Cx7(－3)＝－24x7，当前面括号出x时，后面出Cx8＝x8，当前面括号出时，后面没有可出项，所以x9的系数为－24＋1＝－23. 15．若(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的展开式中的各项系数和为243，则a1＋2a2＋…＋nan等于(　　) A．405 B．810 C．243 D．64 B　解析：(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，两边求导得2n(2x＋1)n－1＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1.令x＝1，则2n·3n－1＝a1＋2a2＋…＋nan.又(2x＋1)n的展开式中各项系数和为243，令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5，所以a1＋2a2＋…＋nan＝2×5×34＝810. 16．在(mx＋)7的展开式中，项的系数与项的系数之比为1∶2，则项的系数为(　　) A．84 B．63 C．42 D．21 A　解析：(mx＋)7展开式的通项为Tr＋1＝C·(mx)7－r·()r＝2r·m7－r·C·，所以项的系数为23·m4·C，项的系数为24·m3·C，则由题意知＝，解得m＝1，所以项的系数为22·C＝84. 17．(2025·焦作开学考试)320被10除的余数为________． 答案：1　解析：由题320＝910＝(10－1)10＝C1010－C109＋C108－…－C10＋C＝C1010－C109＋C108－…－C10＋1，因为C1010－C109＋C108－…－C10可以被10整除，所以320被10除的余数为1. 18．课本中，在形如(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn的展开式中，我们把C(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数，类似地在(1＋x＋x2)n＝D＋Dx＋Dx2＋…＋Dx2n－1＋Dx2n的展开式中，我们把D(k＝0，1，2，…，2n)叫做三项式系数，则DC－DC＋DC－…＋(－1)kDC＋…＋DC的值为________． 答案：0　解析：因为(1＋x＋x2)2 024·(x－1)2 024＝(D＋Dx＋Dx2＋…＋Dxk＋…＋Dx4 048－1＋Dx4 048)·(Cx2 024－Cx2 023＋Cx2 022－Cx2 021＋…－Cx＋C)，其中x2 024的系数为DC－DC＋DC－…＋(－1)kDC＋…＋DC.因为(1＋x＋x2)2 024·(x－1)2 024＝(x3－1)2 024，而二项式(x3－1)2 024的通项公式Tk＋1＝(－1)kC·(x3)2 024－k.因为2 024不是3的倍数，所以(x3－1)2 024的展开式中没有x2 024项，由代数式恒成立可得DC－DC＋DC－…＋(－1)kDC＋…＋DC＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$