课时训练（26）分类加法计数原理与分步乘法计数原理（Word练习）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

一、单选题 1．某商店共有A，B，C三个品牌的水杯，若甲、乙、丙每人买了一个水杯，且甲买的不是A品牌，乙买的不是C品牌，则这三人买水杯的情况共有(　　) A．3种 B．7种 C．12种 D．24种 C　解析：由分步乘法计数原理可得这三人买水杯的情况共有2×2×3＝12(种). 2．有5本不同的语文书，4本不同的数学书，3本不同的英语书，从中任取一本，不同的取法有 (　　) A．3种 B．12种 C．60种 D．以上答案均不正确 B　解析：分3类：取一本语文书有5种方法，取一本数学书有4种方法，取一本英语书有3种方法．由分类加法计数原理得，不同的取法有5＋4＋3＝12(种). 3．(2024·太原模拟)现有拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成的币值有(　　) A．3种 B．6种 C．7种 D．8种 C　解析：由题意得，三种币值取一张，共有3种取法，币值分别为拾圆、贰拾圆、伍拾圆；三种币值取两张，共有3种取法，币值分别为叁拾圆、陆拾圆、柒拾圆；三种币值全取，共有1种取法，币值为捌拾圆．一共可以组成的币值有3＋3＋1＝7(种). 4．如图，只闭合两个开关将一条电路从A处到B处接通，可构成线路的条数为(　　) A．8 B．4 C．5 D．3 B　解析：根据题意，根据分步乘法计数原理，一条电路从A处到B处接通，A处并联电路开关闭合一个，有2种方法，B处并联电路开关闭合一个，只能闭合下面两个中的一个，有2种方法，共有2×2＝4种方法． 5．(2025·徐州开学考试)甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有(　　) A．18种 B．48种 C．108种 D．192种 D　解析：因为甲不去北京，所以应该分步完成：第一步，甲在上海、西安、长沙三个城市中任选一个，有3种选法；第二步，乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个，有4×4×4＝64种选法；由分步乘法计数原理，可得不同选法有3×64＝192(种). 6．(2025·海南模拟)将“1，2，2，3，4，5”这6个数字填入如图所示的表格区域中，每个区域填一个数字，1不在A区域且三列中只有中间一列区域的数字之和为7，若中间一列填2和5，则不同的填法有(　　) A B C D E F A．20种 B．24种 C．36种 D．48种 B　解析：求不同填法需要4步，填中间一列有2种方法，再填1有3种方法，与1同列的只能是3或4，有2种方法，最后两个区域，填两个数字有2种方法，所以不同填法种数是2×3×2×2＝24. 二、多选题 7．现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是(　　) A．共有43种不同的安排方法 B．若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C．若A同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种 D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 ABD　解析：对于A，A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每个学生有4种选法，则三个学生共有4×4×4＝43种选法，故A正确；对于B，三人到4个工厂，有43＝64种情况，其中甲工厂没有人去，即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有33＝27(种)，则甲工厂必须有同学去的安排方法有64－27＝37(种)，故B正确；对于C，若A同学必须去甲工厂，剩下2名同学安排到4个工厂即可，有42＝16种安排方法，故C错误；对于D，若三名同学所选工厂各不相同，有4×3×2＝24种安排方法，故D正确． 8．(2025·潍坊模拟)现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是(　　) A．选1人为负责人的选法种数为30 B．每组选1名组长的选法种数为3 024 C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335 D．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种 ABC　解析：对于A，选1人为负责人的选法种数：6＋7＋8＋9＝30，故A正确；对于B，每组选1名组长的选法种数：6×7×8×9＝3 024，故B正确；对于C，2人需来自不同的小组的选法种数：6×7＋6×8＋6×9＋7×8＋7×9＋8×9＝335，故C正确；对于D，依题意：若不考虑限制，每个人有4种选择，共有43种选择．若第一组没有人选，每个人有3种选择，共有33种选择，所以不同的选法有43－33＝37，故D错误． 三、填空题 9．乘积(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3＋b4)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后的项数为________． 答案：60　解析：从第一个括号中选一个字母有3种方法，从第二个括号中选一个字母有4种方法，从第三个括号中选一个字母有5种方法，故根据分步乘法计数原理可知共有N＝3×4×5＝60(项). 10．已知直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这六个数中每次取两个不同的数分别作为A，B的值，则Ax＋By＝0可表示________条不同的直线． 答案：22　解析：当A＝0时，可表示1条直线；当B＝0时，可表示1条直线；当AB≠0时，A有5种选法，B有4种选法，可表示5×4＝20条不同的直线．由分类加法计数原理知，共可表示1＋1＋20＝22条不同的直线． 11．(2025·青岛调研)甲与其他四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是9，0，2，1，5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为________． 答案：80　解析：5日至9日，日期尾数分别为5，6，7，8，9，有3天是奇数日，2天是偶数日． 第一步，安排偶数日出行，每天都有2种选择，共有2×2＝4种用车方案；第二步，安排奇数日出行，分两类． 第一类，选1天安排甲的车，另外2天安排其他车，有3×2×2＝12种用车方案；第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有23＝8种用车方案，共计12＋8＝20种用车方案．根据分步乘法计数原理可知，不同的用车方案种数为4×20＝80. 12．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(　　) A．144个 B．120个 C．96个 D．72个 B　解析：由题意可知，符合条件的五位数的万位数字是4或5.当万位数字为4时，个位数字从0，2中任选一个，共有偶数2×4×3×2＝48(个)；当万位数字为5时，个位数字从0，2，4中任选一个，共有偶数3×4×3×2＝72(个).故符合条件的偶数共有48＋72＝120(个). 13．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为________． 答案：240　解析：若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个).若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个)，所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个). 14．若一个三位数同时满足：①各数位的数字互不相同；②任意两个数位的数字之和不等于9，则这样的三位数共有________个．(结果用数字作答) 答案：432　解析：从百位开始讨论：(1)百位数字为1，十位数字有0，2，3，4，5，6，7，9(除1，8外所有数字)；当十位数字为0时，个位数字为2，3，4，5，6，7(除1，0，8，9外所有数字)，所以对应的三位数有8×6＝48个；(2)百位数字为2，3，4，5，6，7，8，9，情况同(1)，故共有9×48＝432个满足题意的三位数． 学科网（北京）股份有限公司 $$