课时训练（24）用样本估计总体（Word练习）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

一、单选题 1．从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82，85，88，90，92，92，92，96，96，98(单位：分)，则这10名同学数学成绩的众数、第25百分位数分别为(　　) A．92，85 B．92，88 C．95，88 D．96，85 B　解析：数据92出现了3次，出现的次数最多，所以众数是92；这组数据已经按照由小到大的顺序排列，计算10×25%＝2.5，取第三个数，所以第25百分位数是88. 2．(2025·贵阳模拟)为了了解某班学生数学成绩，利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本，统计如下： 学生数 平均分 方差 男生 6 80 7 女生 4 75 2 则可估计全班学生数学成绩的平均分和方差分别为(　　) A．77.5，5 B．77.5，11 C．78，5 D．78，11 D　解析：可估计全班学生数学成绩的平均分为80×＋75×＝78，方差为×[7＋(80－78)2]＋×[2＋(75－78)2]＝11. 3．(2025·武汉调研)已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为2，方差为，则另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数、方差分别为(　　) A．2， B．2，1 C．4， D．4， D　解析：因为一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为2，方差为，所以另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数为3×2－2＝4，方差为32×＝. 4．(2025·华中师大附中模拟)一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8(其中x≠7)，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的方差和60%分位数分别是(　　) A．，5 B．5，5 C．，6 D．5，6 C　解析：由题意知，中位数为，众数为4，则＝4×，解得x＝6，所以该组数据的平均数x＝×(1＋4＋4＋6＋7＋8)＝5，该组数据的方差s2＝×[(1－5)2＋(4－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(7－5)2＋(8－5)2]＝.因为6×60%＝3.6，所以该组数据的60%分位数是6. 5．某同学掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据5次的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是(　　) A．中位数是3，众数是2 B．平均数是3，中位数是2 C．方差是2.4，平均数是2 D．平均数是3，众数是2 C　解析：对于A，当掷骰子出现的结果为2，2，3，5，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故选项A不正确；对于B，当掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故选项B不正确；对于C，若平均数为2，且出现点数6，则方差s2>×(6－2)2＝3.2>2.4，所以当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6，故选项C正确；对于D，当掷骰子出现结果为2，2，2，3，6时，满足平均数为3，众数为2，可以出现点数6，故选项D不正确． 6．(2025·杭州开学考试)身体质量指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．该指标是通过体重(kg)除以身高(m)的平方计算得来．这个公式所得比值在一定程度可以反映人体密度．一般情况下，我国成年人的身体质量指数在18.5～23.9内属正常范围．已知A，B，C三人的体质指数的平均值为20，方差为3，D，E两人的体质指数分别为18和22.则这5人的体质指数的方差为(　　) A． B． C． D． A　解析：由于A，B，C三人的体质指数的平均值为20，方差为3，故＝3，则(A－20)2＋(B－20)2＋(C－20)2＝9，由于＝＝20，故5个人的体质指数的平均数为20，故＝＝，故方差为. 二、多选题 7．下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的是(　　) A．样本x1，x2，…，xn的标准差 B．样本x1，x2，…，xn的中位数 C．样本x1，x2，…，xn的极差 D．样本x1，x2，…，xn的平均数 AC　解析：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势． 8．(2025·武汉模拟)某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，则关于这组数据的结论正确的是(　　) A．极差是4 B．众数小于平均数 C．方差是1.8 D．80%分位数为4 AC　解析：数据从小到大排列为1，1，2，3，3，3，3，4，5，5.对于A，该组数据的极差为5－1＝4，故A正确；对于B，众数为3，平均数为＝3，两者相等，故B错误；对于C，方差为×[(1－3)2×2＋(2－3)2＋(3－3)2×4＋(4－3)2＋(5－3)2×2]＝1.8，故C正确；对于D，∵10×80%＝8，∴这组数据的80%分位数为第8个数和第9个数的平均数4.5，故D错误． 三、填空题 9．(2025·贵阳开学考试)已知一组样本数据1，2，m，6的极差为6，若m>0，则m＝________，这组数据的方差为________． 答案：7　　解析：因为一组样本数据1，2，m，6的极差为6，且m>0，所以m－1＝6，解得m＝7，则x＝＝4，所以方差为s2＝×[(1－4)2＋(2－4)2＋(6－4)2＋(7－4)2]＝×(9＋4＋4＋9)＝. 10．某射击运动员连续射击5次，命中的环数(环数为整数)形成一组数据，这组数据的中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为________． 答案：7.8　解析：依题意，这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列，8的前面有2个数，后面也有2个数．又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9.又极差为3，所以最小数字为6，所以这组数据为6，7，8，9，9，所以平均数为＝7.8. 四、解答题 11．(2025·孝感模拟)文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)已知落在[50，60)内的平均成绩是56，方差是7，落在[60，70)内的平均成绩是65，方差是4，求两组成绩的总平均数z和总方差s2. 解：(1)因为每组小矩形的面积之和为1， 所以(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)×10＝1， 可得a＝0.030. (2)成绩落在[40，80)内的频率为(0.005＋0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.65， 落在[40，90)内的频率为(0.005＋0.010＋0.020＋0.030＋0.025)×10＝0.9， 设第75百分位数为m，由0.65＋(m－80)×0.025＝0.75， 得m＝84，故第75百分位数为84. (3)由频率分布直方图知， 成绩在[50，60)内的市民人数为100×0.1＝10， 成绩在[60，70)内的市民人数为100×0.2＝20， 所以z＝＝62； 由样本方差计算总体方差公式，得总方差为s2＝{10×[7＋(56－62)2]＋20×[4＋(65－62)2]}＝23. 12．(多选)(2025·海南模拟)环境监测部门统计了甲、乙两个城市去年每天的AQI(空气质量指数)，数据按照(0，50]，(50，100]，…，(200，250]进行分组得到下面的频率分布直方图，已知0＜AQI≤50时空气质量等级为优，则(　　) A．甲、乙两城市AQI的中位数的估计值相等 B．甲、乙两城市AQI的平均数的估计值相等 C．甲城市AQI的方差比乙城市AQI的方差小 D．甲城市空气质量为优的天数比乙城市空气质量为优的天数多 ABD　解析：选项A中，根据两个频率分布直方图，甲、乙两个城市去年每天的AQI的中位数均为125，A正确；选项B中，设甲、乙两频率分布直方图中小矩形的高度数值如图所示， 则a×50×2＋b×50＋c×50×2＝1，即50(2a＋b＋2c)＝1，同理，50(2x＋z＋2y)＝1，甲城市的AQI的平均数为50c×25＋50a×75＋50b×125＋50a×175＋50c×225＝50×(250c＋250a＋125b)＝50×125×(2c＋2a＋b)＝125，乙城市的AQI的平均数为50x×25＋50y×75＋50z×125＋50y×175＋50x×225＝50×(250x＋250y＋125z)＝50×125×(2x＋2y＋z)＝125，所以甲、乙两城市AQI的平均数的估计值相等，B正确；选项C中，由图可知，乙城市AQI的数据更集中，即方差更小，C错误；选项D中，由图可知甲城市AQI在(0，50]内的频率大于乙城市AQI在(0，50]内的频率，甲城市空气质量为优的天数比乙城市空气质量为优的天数多，故D正确． 13．军训中某人对目标靶进行8次射击，已知前7次射击分别命中7环、9环、7环、10环、8环、9环、6环．若第8次射击结果不低于这8次射击环数的平均数且不高于这8次射击环数的75%分位数，则此人第8次射击的结果可能是________环．(写出一个符合题意的值即可) 答案：8(答案不唯一)　解析：设第8次射击的结果是x环，依题意，x≥×(7＋9＋7＋10＋8＋x＋9＋6)，解得x≥8.当8≤x≤9时，8次射击的结果由小到大排列为6，7，7，8，x，9，9，10，由8×75%＝6，得8次射击环数的75%分位数为9，显然符合题意，即8≤x≤9；当9<x≤10时，8次射击的结果由小到大排列为6，7，7，8，9，9，x，10，8次射击环数的75%分位数为，由x≤，解得x≤9，无解，所以8≤x≤9，此人第8次射击的结果可能是8环或9环． 14．(2025·陕西开学考试)某校高一年级有男生200人，女生100人．为了解该校全体高一年级学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为30的样本，并观测样本的指标(单位：cm)，计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据， 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 155 158 156 157 160 161 159 162 169 163 记抽取的第i个女生的身高为xi (i＝1，2，3，…，10)，样本平均数＝160，方差s2＝15. 参考数据：≈3.9，1592＝25 281，1692＝28 561. (1)若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一年级女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一年级女生身高在[160，165]范围内的人数； (2)用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一年级学生总体身高的平均数μ和标准差σ，求μ，σ的值； (3)如果女生样本数据在(－2s，＋2s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差． 解：(1)因为在女生样本中，身高在[160，165]范围内的占比为＝， 故该校高一年级女生身高在[160，165]范围内的人数估计为100×＝40. (2)记总样本的平均数为，标准差为S， 由题意，设男生样本(20人)的身高平均数为＝169， 方差为s＝39， 女生样本(10人)的身高平均数为＝160， 方差s2＝15，则＝＝166， S2＝×[39＋(169－166)2]＋×[15＋(160－166)2]＝×48＋×51＝49， 故μ＝166，σ＝＝7. (3)因为＝160，s＝，则(－2s，＋2s)， 即(160－2，160＋2). 由样本数据知，169∉(160－2，160＋2)，为离群值， 剔除169后，女生样本(9人)的身高平均数为 ＝(160×10－169)＝159； 由s＝－102＝－256 000＝15可得，＝256 150， 则剔除169后，女生样本(9人)的身高的方差为 s′2＝(－1692－92)＝×(256 150－28 561－9×25 281)＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$