课时训练（21）定值问题（Word练习）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

1．(2025·西安开学考试)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且|PF|＝3，|PE|＝. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是线段MN的中点，O是原点，直线MN，OQ的斜率分别为k1，k2，证明：k1·k2为定值． (1)解：不妨设双曲线C的半焦距为c(c>0)， ∵|PF|＝3，|PE|＝， ∴＝3，＝c＝，解得b＝2，c＝， 则a2＝c2－b2＝5－4＝1， 故双曲线C的标准方程为x2－＝1. (2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1≠x2，x1＋x2≠0， 则Q(，)， ∵M，N为双曲线C上的两点，∴ 两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝， 整理得＝， 则k1·k2＝·＝·＝4， 故k1·k2为定值，定值为4. 2．(2025·重庆模拟)已知抛物线C1：y2＝2px(p>0)与双曲线C2：y＝－相交于点R(x0，y0). (1)若y0＝－2，求抛物线C1的准线方程； (2)记直线l：y＝kx＋b与C1，C2分别切于点M，N，当p变化时，求证：△RMN的面积为定值，并求出该定值． (1)解：由y0＝－＝－2，得x0＝， 将其代入y2＝2px，得p＝4， 所以抛物线C1的方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2. (2)证明：由得k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0， 由直线l与C1相切，得Δ1＝4(kb－p)2－4k2b2＝0， 解得2kb＝p，切点M(，2b)， 由得kx2＋bx＋1＝0， 由直线l与C2相切，得Δ2＝b2－4k＝0，解得4k＝b2，切点N(－，)， 于是b＝，k＝，令t＝>0， 则直线l的方程为y＝x＋t， 点M(，2t)，N(－，)，由得R(，－t)， 所以|MN|＝＝＝， 点R到直线l的距离为h＝＝， 所以S△RMN＝|MN|·h＝··＝， 所以△RMN的面积为定值，该定值为. 3．(2025·济南模拟)如图所示，抛物线y2＝2px(p>0)的准线过点(－2，3)， (1)求抛物线的标准方程； (2)若角α为锐角，以角α为倾斜角的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，作线段AB的垂直平分线l交x轴于点P.证明：|FP|－|FP|cos 2α为定值，并求此定值． (1)解：由题意得－＝－2，∴p＝4， ∴抛物线的方程为y2＝8x. (2)证明：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，直线AB的斜率为k＝tan α， 则直线方程为y＝k(x－2)， 将此式代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0， 故xA＋xB＝， 设直线l与AB的交点为E(xE，yE)， 则xE＝＝， yE＝k(xE－2)＝， 故直线l的方程为y－＝－(x－)， 令y＝0得点P的横坐标为xP＝＋4， 故|FP|＝xP－2＝＝， ∴|FP|－|FP|cos 2α＝(1－cos2α)＝＝8， ∴|FP|－|FP|cos2α为定值8. 4．(2025·商丘模拟)已知中心在坐标原点O，以坐标轴为对称轴的双曲线E经过点P(，)，且其渐近线的斜率为±. (1)求E的方程． (2)若动直线l与E交于A，B两点，且∠AOB＝. 证明：为定值． (1)解：由题可设双曲线E的方程为4y2－3x2＝λ(λ≠0). 因为E经过点P(，)， 所以4×7－3×＝λ，解得λ＝12， 故E的方程为－＝1. (2)证明：若直线l的斜率存在，设l：y＝kx＋m， 由消去y得(4k2－3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 则Δ＝64k2m2－4(4k2－3)(4m2－12)>0， 即m2＋4k2－3>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝， 因为∠AOB＝，所以·＝0， 即x1x2＋y1y2＝0， 所以x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0， 整理得12(1＋k2)＝m2，满足Δ>0， 设点O到直线l的距离为d， 则由等面积法得|OA|·|OB|＝|AB|·d， 所以＝d， 又d＝＝＝＝2， 所以＝2； 若直线l的斜率不存在，则直线OA的斜率为±1， 不妨设直线OA的斜率为1，则x1＝y1， 将点A的坐标代入方程－＝1，得x＝12， 所以|OA|＝|OB|＝2，|AB|＝4，所以＝2. 综上可知，为定值2. 学科网（北京）股份有限公司 $$