课时训练（20）定点、定直线问题（Word练习）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

1．(2025·娄底模拟)若抛物线C的方程为y2＝4x，焦点为F，设P，Q是抛物线C上两个不同的动点． (1)若|PF|＝3，求直线PF的斜率； (2)设PQ的中点为R，若直线PQ的斜率为，证明：R在一条定直线上． (1)解：由题意可知F(1，0)，|PF|＝xp＋1＝3，xp＝2， 将x＝2代入y2＝4x得，y＝±2， ∴P(2，±2)， ∴kPF＝＝±2. (2)证明：方法一　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ：y＝x＋t， 即x＝y－t， 代入y2＝4x，得y2－4y＋4t＝0， 由根与系数的关系，有y1＋y2＝4，故yR＝＝2， 所以R在定直线y＝2上． 方法二　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由题意，＝＝＝， 故y1＋y2＝4，故yR＝＝2，R在定直线y＝2上． 2．(2025·九江模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点P(3，4)在C上． (1)求双曲线C的方程； (2)直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若直线PA，PB的斜率互为倒数，证明：直线l过定点． (1)解：由已知得e＝＝，c2＝a2＋b2，所以b＝2a， 又点P(3，4)在C上，故－＝1， 解得a2＝5，b2＝20， 所以双曲线C的方程为－＝1. (2)证明：当l斜率不存在时，显然不满足条件． 当l斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，与方程C联立，消去y得(4－k2)x2－2kmx－m2－20＝0， 由已知得k2≠4，且Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋20)＝16(m2－5k2＋20)>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－， 直线PA，PB的斜率分别为 k1＝＝，k2＝， 由已知k1k2＝1，故(kx1＋m－4)(kx2＋m－4)＝(x1－3)(x2－3)， 即(k2－1)x1x2＋(km－4k＋3)(x1＋x2)＋m2－8m＋7＝0， 所以－(k2－1)(m2＋20)＋2km(km－4k＋3)＋(4－k2)(m2－8m＋7)＝0， 化简得(m＋3k－4)(5m－9k－12)＝0， 又已知l不过点P(3，4)，故m＋3k－4≠0， 所以5m－9k－12＝0，即m＝k＋， 故直线l的方程为y＝k(x＋)＋， 所以直线l过定点(－，). 3．(2025·泰安模拟)平面内点P到点F(3，0)与到直线l1：x＝的距离之比为3. (1)求点P的轨迹E的方程； (2)A1，A2为E的左右顶点，过F的直线l与E交于M，N (异于A1，A2)两点，MA1与NA2交点为R，求证：点R在定直线上． (1)解：设P(x，y)是所求轨迹E上的任意一点， 因为点P到点F(3，0)与到直线l1：x＝的距离之比为3，可得＝3， 整理得，x2－＝1，所以轨迹E的方程为x2－＝1. (2)证明：由(1)知A1(－1，0)，A2(1，0)， 设直线l：x＝my＋3，且M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立方程组 整理得(8m2－1)y2＋48my＋64＝0， 则8m2－1≠0，可得m≠±， 所以Δ＝(48m)2－256(8m2－1)＝256(m2＋1)>0， 且y1＋y2＝，y1y2＝　①， 又由lMA1：y＝(x＋1)和 lNA2：y＝(x－1)， 两式相除得＝＝＝　②， 由①式可得my1y2＝－(y1＋y2)， 代入②式＝＝－， 解得x＝，所以点R在定直线x＝上． 4．(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B(，－1)两点． (1)求E的方程； (2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点． (1)解：设椭圆E的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，过A(0，－2)，B(，－1)，则解得m＝，n＝， 所以椭圆E的方程为＋＝1. (2)证明：由A(0，－2)，B(，－1)，可得直线AB的方程为y＋2＝x， ①若过点P(1，－2)的直线斜率不存在，直线x＝1，代入＋＝1，可得M(1，)，N(1，－)， 代入直线AB的方程y＝x－2，可得T(＋3，)， 由＝得到H(2＋5，). 求得直线HN的方程y＝(2－)x－2，过定点(0，－2). ②若过点P(1，－2)的直线斜率存在，设kx－y－(k＋2)＝0，M(x1，y1)，N(x2，y2). 联立 得(3k2＋4)x2－6k(2＋k)x＋3k(k＋4)＝0， 可得 且x1y2＋x2y1＝(*) 联立可得T(＋3，y1)，H(3y1＋6－x1，y1).可求得此时HN：y－y2＝(x－x2)， 将(0，－2)代入，整理得2(x1＋x2)－6(y1＋y2)＋x1y2＋x2y1－3y1y2－12＝0， 将(*)代入，得24k＋12k2＋96＋48k－24k－48－48k＋24k2－36k2－48＝0，显然成立， 综上所述，直线HN过定点(0，－2). 学科网（北京）股份有限公司 $$