课时训练（19）最值、范围问题（Word练习）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

1．(2025·吉林模拟)在平面内，动点M(x，y)与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：x＝的距离之比是常数2. (1)求动点M的轨迹方程； (2)若直线m与动点M的轨迹交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求|OP|2＋|OQ|2的最小值． 解：(1)由已知可得＝2， 整理化简可得3x2－y2＝3，即x2－＝1， 所以动点M的轨迹方程为x2－＝1. (2)由OP⊥OQ可设直线OP的方程为y＝kx，直线OQ的方程为y＝－x， 由可得 所以|OP|2＝x2＋y2＝，同理可得|OQ|2＝， 又由|OP|2>0且|OQ|2>0，可得<k2<3， 所以＋＝＝， 所以|OP|2＋|OQ|2＝(|OP|2＋|OQ|2)(＋) ＝(2＋＋)≥×(2＋2)＝6， 当且仅当|OP|＝|OQ|＝时，等号成立， 所以|OP|2＋|OQ|2的最小值为6. 2．(2025·桂林模拟)点A，B分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的上顶点和左顶点，P是椭圆上一动点(不与右端点重合)，P的横坐标非负，BP的中点是M，当P位于下顶点时△APM的面积为1，椭圆离心率为. (1)求椭圆方程； (2)记△POM的面积为S1，△AOM的面积为S2，求的最小值． 解：(1)由题意得e＝＝，××a×2b＝1⇒ab＝2，a2＝b2＋c2， 联立解得a＝2，b＝1，c＝，所以椭圆方程为＋y2＝1. (2)＝＝＝＝＝， 其中N是下顶点，M(xM，yM)，P(xP，yP)， 注意到＋y＝1，设t＝(t>0)， 所以t2＝＝＝＝－1，xP∈[0，2). 由复合函数单调性可知，当xP＝0时，t2有最小值1，注意到t>0，所以t的最小值为1，即的最小值为1. 3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)过点(2，1)，渐近线方程为y＝±x，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值． 解：(1)由题设可知解得 则双曲线C的方程为－y2＝1. (2)设点M的横坐标为xM＞0， 当直线l的斜率不存在时，则直线l：x＝2， 易知点M到y轴的距离为xM＝2； 当直线l的斜率存在时， 设l：y＝kx＋m(k≠±)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0， Δ＝64k2m2－16(4k2－1)(m2＋1)＝0，4k2－1≠0， 整理得4k2＝m2＋1， 则x1＋x2＝－＝－＝－， 则xM＝＝－＞0，即km＜0， 则x＝＝4＋＞4，即xM＞2， 此时点M到y轴的距离大于2. 综上所述，点M到y轴的最小距离为2. 4．如图，已知抛物线C1：x2＝y在点A处的切线l与椭圆C2：＋y2＝1相交，过点A作l的垂线交抛物线C1于另一点B，直线OB(O为坐标原点)与l相交于点D，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>0. (1)求x1－x2的最小值； (2)求的取值范围． 解：(1)对函数y＝x2求导得y′＝2x， 所以抛物线C1在点A处的切线方程为y－y1＝2x1(x－x1)， 即y＝2x1x－x. 联立得(1＋8x)x2－8xx＋2x－2＝0， 所以Δ＝64x－4(1＋8x)(2x－2)>0， 解得0<x<4＋， 所以直线AB的方程为y＝－x＋x＋， 联立得2x1x2＋x－2x－x1＝0， 所以x1＋x2＝－， 所以x1－x2＝2x1＋≥2＝2， 当且仅当x1＝时，等号成立，所以x1－x2的最小值为2. (2)记点O，B到直线l的距离分别为d1，d2， 所以d1＝，d2＝|2x1＋|＝()， 所以＝＝＝， 因为0<x<4＋，所以＋4>， 所以＝∈(0，)， 所以的取值范围为(0，). 学科网（北京）股份有限公司 $$