课时训练（18）证明问题（Word练习）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

1．(2025·石家庄模拟)已知焦距为2的椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点为A，过点F作直线l与椭圆C交于B、D两点(异于点A)，当BD⊥x轴时，|BD|＝1. (1)求椭圆C的方程； (2)证明：∠BAD是钝角． (1)解：由题意：⇒ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)证明：如图， 因为B，D两点异于点A，故直线l斜率不为0. 设直线l：x＝ty＋， 由⇒(t2＋4)y2＋2ty－1＝0. 设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－. 所以·＝(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝(ty1＋－2)(ty2＋－2)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋(－2)t(y1＋y2)＋(－2)2＝－－＋(－2)2＝<0， 所以∠BAD为钝角或平角(舍去). 故∠BAD为钝角． 2．(2025·昆明模拟)已知双曲线：－＝1(1<m<5)的一个焦点与抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点重合． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l：x＝ty＋8交抛物线C于A，B两点，O为原点，求证：以AB为直径的圆经过原点O. (1)解：由双曲线方程－＝1(1<m<5)知其焦点在x轴上且焦点坐标为F1(－2，0)，F2(2，0)， 所以F2(2，0)为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，得＝2，所以p＝4， 所以抛物线C的方程为y2＝8x. (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立⇒y2－8ty－64＝0，Δ＝64t2＋4×64>0， 由根与系数的关系得y1＋y2＝8t，y1y2＝－64， 所以·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋8)(ty2＋8)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋8t(y1＋y2)＋64＝(t2＋1)·(－64)＋8t(8t)＋64＝0， 所以⊥， 所以以AB为直径的圆经过原点O，得证． 3．(2025·乌鲁木齐模拟)已知抛物线x2＝4y，△ABC的三边AB，AC，BC所在直线分别与抛物线相切于点M，N，D，点A(2，－). (1)求直线MN的方程； (2)证明：＝； (3)证明：△ABC的垂心H在定直线上． (1)解：因为x2＝4y，即y＝x2，所以y′＝x， 设抛物线x2＝4y过点A的切线的切点坐标为(x0，y0)， 则切线方程为y－x＝x0(x－x0)， 因为A(2，－)在切线上，所以－－x＝x0(2－x0)， 解得x0＝5或x0＝－1， 不妨设M的横坐标小于N的横坐标， 则M(－1，)，N(5，)， 所以直线MN的方程为4x－4y＋5＝0. (2)证明：由(1)得直线AM的方程为y＝－x－， 直线AN的方程为y＝x－， 设D(x3，y3)，所以直线BC的方程为y＝x3x－x， 联立方程可得x＝， 即点B的横坐标xB＝， 联立可得x＝， 即点C的横坐标为xC＝，可得点C的纵坐标为yC＝x3， 所以＋1＝＝＝， ＋1＝＝＝， 所以＝. (3)证明：因为kBC＝x3， 边BC上的高所在直线方程为2x＝－x3y－x3＋4， 同理，边AB上的高所在直线方程为2x＝y－x3＋5， 联立得y＝－1， 所以△ABC的垂心H在定直线y＝－1上． 4．已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝. (1)解：由题意，知椭圆的半焦距c＝且e＝＝，所以a＝， 又b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)证明：由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)， 当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝±1，不符合题意； 当直线MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2). 必要性：若M，N，F三点共线，可设直线MN：y＝k(x－)，即kx－y－k＝0， 由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，解得k＝±1， 联立 可得4x2－6x＋3＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|MN|＝·＝， 所以必要性成立； 充分性：设直线MN：y＝kx＋m(km<0)，即kx－y＋m＝0， 由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，所以m2＝k2＋1， 联立可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以|MN|＝·＝·＝·＝， 化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1， 所以或 所以直线MN：y＝x－或y＝－x＋， 所以直线MN过点F(，0)，即M，N，F三点共线，充分性成立． 所以M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$