课时训练（17）直线与圆锥曲线的位置关系（Word练习）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

一、单选题 1．直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆＋y2＝1截得的最大弦长是(　　) A．2 B． C．4 D．不能确定 B　解析：直线恒过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，则弦长为＝＝(－1≤y≤1)，当y＝－时，弦长最大为. 2．已知直线l的方程为y＝kx－1，双曲线C的方程为x2－y2＝1.若直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是(　　) A．(－，) B．[1，) C．[－，] D．(1，) D　解析：联立整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，因为直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1的右支交于不同的两点，所以解得1<k<，所以实数k的取值范围为(1，). 3．直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于(　　) A． B． C．1 D．2 C　解析：由抛物线的对称性知，要使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则AB必须垂直于x轴，故A，B两点坐标为(，±1)，代入抛物线方程可解得p＝1. 4．(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(　　) A． B． C．－ D．－ C　解析：由题意，F1(－，0)，F2(，0)，△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即＝2×，解得m＝－或m＝－3. 联立消去y得 4x2＋6mx＋3m2－3＝0，则Δ＝36m2－16(3m2－3)>0，得m2<4.所以m＝－. 5．直线x＋4y＋m＝0交椭圆＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 A　解析：∵x＋4y＋m＝0，∴y＝－x－. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减得＝－＝－，∵AB中点的横坐标为1，则纵坐标为，将(1，)代入直线y＝－x－，解得m＝－2. 6．(2025·南昌开学考试)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，直线l的斜率为－，且过点M(a，b)，直线l与x轴交于点C，点D在E的右支上，且满足＝λ，则λ＝(　　) A． B． C． D． D　解析：由题意知e＝＝，∴a＝2b，∴M(2b，b)，故直线l的方程为y－b＝－(x－2b).令y＝0，得x＝4b，所以C(4b，0).又＝λ，所以D((2λ＋2)b，(1－λ)b)，代入－＝1，化简得4(λ＋1)2·()2－(1－λ)2＝1，解得λ＝. 二、多选题 7．(2024·保定二模)若直线y＝(a－1)x＋1与抛物线C：y2＝2ax(a≠0)只有1个公共点，则C的焦点F的坐标可能是(　　) A．(，0) B．(，0) C．(1，0) D．(2，0) BC　解析： 当a＝1时，直线y＝1与C：y2＝2x只有一个公共点，满足题意，此时F的坐标为(，0)；当a≠1时，联立方程组整理得(a－1)2x2－2x＋1＝0，由Δ＝(－2)2－4(a－1)2＝0，解得a＝2或a＝0(舍去)，此时对应的F的坐标为(1，0). 8．设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．则下列结论正确的是(　　) A．直线AB与OM垂直 B．若点M坐标为(1，1)，则直线方程为2x＋y－3＝0 C．若直线方程为y＝x＋1，则点M的坐标为(，) D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝ BD　解析：对于A，设M(x0，y0)，根据椭圆的中点弦的性质知kAB·kOM＝－·＝－＝－2≠－1，A错误；对于B，根据kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，B正确；对于C，若直线方程为y＝x＋1，点M(，)，则kAB·kOM＝1·4＝4≠－2，C错误；对于D，若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程＋＝1联立，整理得3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－，所以|AB|＝|－－0|＝，D正确． 三、填空题 9．(2025·昆明模拟)写出一条过点A(1，2)且与抛物线C：y2＝4x仅有一个公共点的直线方程为________. 答案：y＝2(或x－y＋1＝0，答案不唯一)　解析：当l平行于x轴时，l与C只有一个公共点，此时方程为y＝2；当l与抛物线相切时，l与C只有一个公共点，设直线l的方程为x－1＝m(y－2)，联立方程得y2－4my＋8m－4＝0，由Δ＝(－4m)2－4(8m－4)＝0⇒m＝1，此时直线l的方程为x－y＋1＝0. 10．(2024·北京卷)若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为________. 答案：(答案不唯一)　解析：由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝k(x－3)过定点(3，0).因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝±. 四、解答题 11．(2025·上海模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>0)的右焦点为F，直线l：x＋y－4＝0. (1)若F到直线l的距离为2，求a； (2)若直线l与椭圆C交于A，B两点，且△ABO的面积为，求a. 解：(1)因为C：＋＝1(a>0)，所以右焦点为F(a，0)， 又l：x＋y－4＝0，所以F到直线l的距离d＝＝2，解得a＝8. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得7x2－32x＋64－12a2＝0， 所以Δ＝322－28(64－12a2)>0， 即a2>，且 所以|AB|＝·＝·＝·， 又O到直线l的距离为h＝＝2， 所以△ABO的面积为S△ABO＝|AB|·h＝×2×·＝·＝， 解得a＝2满足a2>，所以a＝2. 12．双曲线有一个几何性质：从一个焦点射出的光线射到双曲线上一点M，经双曲线在点M处的切线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，从F1射出的光线投射到双曲线上一点M，经双曲线在点M处的切线l：y＝x＋1反射后，反射光线的反向延长线经过点F2，则a＝(　　) A．3 B． C．5 D． D　解析：联立得(b2－a2)x2－2a2x－a2－a2b2＝0，则Δ＝4a4＋4(b2－a2)(a2＋a2b2)＝0，即a2＋(b2－a2)(1＋b2)＝0，又b2＝9－a2，所以a2＋(9－2a2)(10－a2)＝0，即a4－14a2＋45＝0，解得a＝或a＝3(舍去). 13．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为直线x＝－1，焦点为F，直线l1：x－my－＝0与C交于P，Q两点(点P在x轴上方)，与直线x＝－1交于点R，若|QF|＝3，则＝(　　) A． B． C． D． C　解析：由题可得抛物线方程为y2＝4x，所以F(1，0)，如图所示，则|QF|＝3＝xQ＋1，解得xQ＝2， 联立方程消去y得x2－(4m2＋2)x＋5＝0.可知2xP＝5，解得xP＝，所以＝＝＝＝. 14．(2025·鞍山模拟)已知椭圆M：＋y2＝1，直线l：y＝k(x＋2)(k>0)，直线l与椭圆M交于A，B两点，与y轴交于点C，若＝2，则k＝________． 答案：　解析：易知椭圆左顶点为(－2，0)，且直线l：y＝k(x＋2)(k>0)过左顶点，如图所示，所以A(－2，0)，不妨设B(x0，y0)，C(0，t)，t>0，由＝2，可得解得将B(x0，y0)代入椭圆方程可得＋＝1，解得t＝，所以k＝kAC＝＝. 15．(2025·韶关模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点与椭圆＋y2＝1的焦点重合，其渐近线方程为y＝±x. (1)求双曲线C的方程； (2)若A，B为双曲线C上的两点且不关于原点对称，直线l：y＝x过AB的中点，求直线AB的斜率． 解：(1)椭圆＋y2＝1的焦点为(±2，0)，故a2＋b2＝4， 由双曲线的渐近线为y＝±x，得＝， 故b＝1，a＝，故双曲线方程为－y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M， 因为M在直线l：y＝x上，故yM＝xM， 而－y＝1，－y＝1，故－(y1－y2)·(y1＋y2)＝0，故－(y1－y2)yM＝0， 由题设可知AB的中点不为原点，故xM·yM≠0， 所以＝＝1，故直线AB的斜率为1. 此时AB：y＝x－xM＋xM＝x－xM， 由可得x2－3(x－xM)2＝3，整理得到2x2－4xMx＋x＋3＝0，当Δ＝16x－8(x＋3)＝x－24>0，即xM<－或xM>时，直线AB存在且斜率为1. 16．(2025·青岛开学考试)已知O为坐标原点，A(1，0)，B(－1，0)，直线AM，BM的斜率之积为4，记动点M的轨迹为E. (1)求E的方程； (2)直线l经过点(0，－3)，与E交于P，Q两点，线段PQ的中点D在第一象限，且纵坐标为，求△OPQ的面积． 解：(1)设点M的坐标为(x，y)， 因为kAM＝，kBM＝，x≠±1，所以kAM·kBM＝＝4， 化简得x2－＝1，所以E的方程为x2－＝1(x≠±1). (2)当直线PQ的斜率不存在时，显然不符合题意． 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为y＝kx－3， y＝kx－3与x2－＝1联立得(4－k2)x2＋6kx－13＝0， 由Δ＝36k2＋52(4－k2)>0且4－k2≠0，解得k2<13且k2≠4，由根与系数的关系得 因为线段PQ的中点D在第一象限，且纵坐标为， 所以 解得k＝2或k＝－2(舍去)， 所以直线PQ为y＝2x－3， 所以 所以|PQ|＝·|x1－x2|＝·＝， 点O到直线PQ的距离d＝＝， 所以S＝××＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$