课时训练（16）抛物线（Word练习）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

一、单选题 1．(2025·南昌开学考试)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(3，0)，P(2，t)是抛物线C上一点，则|PF|＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 B　解析：由焦点坐标可知＝3，由抛物线定义可知|PF|＝2＋＝5. 2．(2025·南宁模拟)已知A(m，1)为抛物线C：x2＝2py(p>0)上的一点，点A到抛物线C焦点的距离为2，则p＝(　　) A．2 B．1 C． D．4 A　解析：因为A(m，1)到抛物线C焦点的距离为2，所以由抛物线定义知，2＝1＋，解得p＝2. 3．(2025·福州质检)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P的轨迹方程为(　　) A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝－4x D．y2＝－8x D　解析：由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2，0)的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2，0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x. 4．(2025·广州开学考试)设点P为圆(x－3)2＋y2＝1上的一动点，点Q为抛物线y2＝4x上的一动点，则|PQ|的最小值为(　　) A．1－ B．2－1 C． D．－2 B　解析：如图所示， 设Q(，y)，则|PQ|≥|QC|－1，|QC|2＝(－3)2＋y2＝(－1)2＋8≥8，当且仅当y2＝4时，等号成立，此时Q(1，±2)，∴|QC|≥2，因此|PQ|≥|QC|－1≥2－1. 5．(2023·邯郸一模)抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，一条平行于x轴的光线，经过点A(3，1)，射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若|AB|＋|BF|＝5，则抛物线C的准线方程是(　　) A．x＝－4 B．x＝－2 C．x＝－1 D．x＝－ B　解析：由抛物线的定义可得|AB|＋|BF|＝3＋＝5，解得p＝4，则抛物线C的准线方程是x＝－＝－2. 6．(2025·广州阶段练习)记抛物线E：y2＝4x的焦点为F，点A在E上，B(2，1)，则|AF|＋|AB|的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 B　解析：过点A作x＝－1的垂线，垂足为D，则|AF|＝|AD|，则|AF|＋|AB|＝|AD|＋|AB|≥3，如图所示．所以|AF|＋|AB|的最小值为3. 二、多选题 7．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m，2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　) A．p＝4 B．抛物线方程为y2＝16x C．直线l的方程为y＝2x－4 D．|AB|＝10 ACD　解析：由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；则抛物线的方程为y2＝8x，焦点F(2，0)，故B错误；则y＝8x1，y＝8x2，若M(m，2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，∴y－y＝8x1－8x2，即＝＝＝2，∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10.故D正确． 8．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则(　　) A．|BF|＝3 B．△ABF是等边三角形 C．点F到准线的距离为3 D．抛物线C的方程为y2＝6x BCD　解析：根据题意，作出图形如图所示．因为以|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以|FA|＝|FB|＝|AB|，所以△ABF为等边三角形，B正确；因为∠ABD＝90°，所以AB∥x轴，所以∠BFO＝60°，所以|BF|＝2p，S△ABF＝|BF|2＝·4p2＝9，解得p＝3，所以|BF|＝6，所以A错误；焦点到准线的距离为p＝3，所以C正确；抛物线C的方程为y2＝6x，所以D正确． 三、填空题 9．(2024·上海卷)已知抛物线y2＝4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为________． 答案：4　解析：设P(x0，y0)，因为点P到准线x＝－1的距离为9，所以x0＋1＝9，则x0＝8，y＝4x0＝32，则y0＝±4，即点P到x轴的距离为4. 10．A，B是抛物线x2＝2y上的两点，O为坐标原点．若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为12，则∠AOB＝________． 答案：60°　解析：如图， ∵|OA|＝|OB|，∴A，B两点关于y轴对称，设A(－a，)，B(a，)， ∴S△AOB＝×2a×＝12，解得a＝2，∴B(2，6)，∴tan θ＝＝， ∴θ＝30°，∴∠AOB＝2θ＝60°. 四、解答题 11．过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2. (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程． 解：(1)抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，焦点为F(0，). 当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2， ∴1＋＝2，解得p＝2， ∴抛物线C的方程为x2＝4y. (2)∵点M(－2，y0)在抛物线C上， ∴y0＝＝1，M坐标为(－2，1). 又直线l过点F(0，1)，∴设直线l的方程为y＝kx＋1. 由得x2－4kx－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4， ＝(x1＋2，y1－1)，＝(x2＋2，y2－1). ∵MA⊥MB，∴·＝0， ∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，∴－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2或k＝0. 当k＝0时，l过点M，不符合题意，舍去，∴k＝2， ∴直线l的方程为y＝2x＋1. 12．(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B．则(　　) A．l与⊙A相切 B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝ C．当|PB|＝2时，PA⊥AB D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个 ABD　解析：对于A选项，易知l：x＝－1，故l与⊙A相切，A正确； 对于B选项，A(0，4)，⊙A的半径r＝1，当P，A，B三点共线时，P(4，4)，所以|PA|＝4，|PQ|＝＝＝，故B正确； 对于C选项，当|PB|＝2时，P(1，2)，B(－1，2)或P(1，－2)，B(－1，－2)，易知PA与AB不垂直，故C错误； 对于D选项，记抛物线C的焦点为F，连接AF，PF，易知F(1，0)，由抛物线定义可知|PF|＝|PB|，因为|PA|＝|PB|，所以|PA|＝|PF|，所以点P在线段AF的中垂线上，线段AF的中垂线方程为y＝x＋，即x＝4y－，代入y2＝4x可得y2－16y＋30＝0，解得y＝8±，易知满足条件的点P有且仅有两个，故D正确． 13．(2024·天津卷)圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为________． 答案：　解析：由题意知圆(x－1)2＋y2＝25的圆心坐标为(1，0)，则F(1，0)，故＝1，即p＝2，由抛物线的定义得|AF|＝xA＋1＝5，得xA＝4.由对称性不妨设A(4，4)，则直线AF的方程为y＝(x－1)，即4x－3y－4＝0，所以原点到直线AF的距离是＝. 14．已知P为抛物线C：y2＝4x上的一个动点，准线l：x＝－1，Q为圆M：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上的动点，则点P到直线l的距离与|PQ|之和的最小值为________． 答案：4　解析：如图，因为圆M：(x＋3)2＋(y－3)2＝1，所以M(－3，3)，半径r＝1，抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线为直线l：x＝－1，则点P到直线l的距离d＝|PF|，所以点P到直线l的距离与|PQ|之和为|PF|＋|PQ|，所以当M，Q，P，F四点共线且P，Q在线段MF上时，|PF|＋|PQ|取得最小值，其最小值为|FM|－1＝－1＝4. 15．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程； (2)若＝3，求|AB|. 解：设直线l的方程为y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2). (1)由题设得F(，0)，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋＝4. 所以x1＋x2＝. 由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0， 其中Δ＝144(1－2t)>0，解得t<，则x1＋x2＝－， 从而－＝，得t＝－(满足Δ>0)， 所以直线l的方程为y＝x－. (2)由＝3，可得y1＝－3y2. 由可得y2－2y＋2t＝0，其中Δ＝4－8t>0， 所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2， 故y2＝－1，y1＝3. 代入C的方程得x1＝3，x2＝. 所以A(3，3)，B(，－1)，故|AB|＝. 16．已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点． (1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ； (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB的中点的轨迹方程． (1)证明：由题意知F(，0).设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且A(，a)，B(，b)，P(－，a)，Q(－，b)，R(－，). 记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0. 由于点F在线段AB上，故1＋ab＝0. 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2， 则k1＝＝＝＝＝－b＝k2. 所以AR∥FQ. (2)解：设l与x轴的交点为D(x1，0)， 则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a||x1－|，S△PQF＝. 由题设可得2×|b－a||x1－|＝， 所以x1＝0(舍去)或x1＝1. 设满足条件的AB的中点为E(x，y). 当AB与x轴不垂直时， 由kAB＝kDE可得＝(x≠1). 而＝y，所以y2＝x－1(x≠1). 当AB与x轴垂直时，E与D重合． 所以所求轨迹方程为y2＝x－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$