课时训练（15）双曲线（Word练习）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

一、单选题 1．已知曲线C的方程为＋＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是(　　) A．－1<k<5 B．k>5 C．k<－1 D．k≠－1或5 C　解析：若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则解得k<－1. 2．(2025·成都模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线相互垂直，焦距为12，则该双曲线的虚轴长为(　　) A．6 B．6 C．9 D．12 B　解析：根据题意可得解得a＝b＝3，所以该双曲线的虚轴长为2b＝6. 3．(2025·昆明模拟)设A，B两点的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AM与BM相交于点M，且它们的斜率之积为，则点M的轨迹方程为(　　) A．＋＝1(x≠±3) B．－＝1(x≠±3) C．＋＝1(x≠±3) D．－＝1(x≠±3) D　解析：设点M(x，y)，则AM的斜率为，BM的斜率为，故·＝(x≠±3)，所以－＝1(x≠±3)，故D正确． 4．(2025·大连调研)已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A(a，b)，若|OA|＝|FA|，则双曲线C的离心率为(　　) A．2 B． C． D． A　解析：由题知F(c，0).又A(a，b)，|OA|＝|FA|，所以a＝c，所以双曲线C的离心率e＝＝2. 5．(2025·济南模拟)已知双曲线C1过点A(－，1)，且与双曲线C2：x2－3y2＝1有相同的渐近线，则双曲线C1的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 A　解析：由双曲线C1与双曲线C2：x2－3y2＝1有相同的渐近线，故可设双曲线C1的方程为x2－3y2＝λ(λ≠1)，又C1过点A(－，1)，所以15－3＝λ，解得λ＝12，所以，双曲线C1的标准方程是－＝1. 6．(2025·湖南师大附中模拟)已知双曲线C：－＝1(b>0)，以C的焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　) A．(1，) B．(1，) C．(，) D．(1，) B　解析：由题意可知双曲线的其中一条渐近线为y＝x，即bx－2y＝0，又该圆的圆心为(c，0)，故圆心到渐近线的距离为，则由题意可得<3，即b2c2<9(b2＋4)，又b2＝c2－a2＝c2－4，则(c2－4)c2<9c2，解得c2<13，即c<，则e＝＝<，又e>1，故离心率的取值范围是(1，). 7．(2025·漳州模拟)已知双曲线C：x2－y2＝4，点M为C上一点，过M分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAMB (O为原点)的面积为(　　) A．1 B．2 C．4 D．6 B　解析：双曲线C：x2－y2＝4，即－＝1，为等轴双曲线，渐近线的夹角为90°，则四边形OAMB为矩形，设点M(m，n)，且m2－n2＝4，点M(m，n)到渐近线x－y＝0的距离为，点M(m，n)到渐近线x＋y＝0的距离为，则四边形的面积为·＝＝2. 8．设F1，F2是双曲线－y2＝1的左、右两个焦点，若双曲线的左支上存在一点P，使得(＋OF1)·F1P＝0(O为坐标原点)，设∠PF1F2＝α，则tan α的值为(　　) A．6＋ B．5＋2 C．6－ D．5－2 B　解析：由双曲线－y2＝1可得，a＝2，b＝1，c＝，设|PF2|＝n，|PF1|＝m，由双曲线的定义可得n－m＝2a＝4.由(＋OF1)·F1P＝0，即为(＋OF1)·(－OF1)＝0，可得2－OF＝0，即||＝|OF1|＝|OF2|，则∠F1PF2＝90°，可得m2＋n2＝4c2＝20，解得m＝－2，n＝＋2，则tan α＝＝＝5＋2. 二、多选题 9．(2025·烟台质检)已知双曲线C：－y2＝λ(λ＜0)，则(　　) A．双曲线C的实轴长为定值 B．双曲线C的焦点在y轴上 C．双曲线C的离心率为定值 D．双曲线C的渐近线方程为y＝±x BCD　解析：对于A，B，由双曲线C：－y2＝λ(λ＜0)，整理可得－＝1(λ＜0)，所以双曲线表示焦点在y轴上的双曲线，且a2＝－λ，b2＝－2λ(λ＜0)，实轴长不是定值，所以A错误，B正确；对于C，离心率e＝＝＝为定值，C正确；对于D，渐近线的方程为y＝±x＝±x，D正确． 10．(2024·襄阳模拟)某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数y＝的图象是双曲线，设其焦点为M，N，若P为其图象上任意一点，则(　　) A．y＝－x是它的一条对称轴 B．它的离心率为 C．点(2，2)是它的一个焦点 D．||PM|－|PN||＝2 ABD　解析：反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为，容易知道y＝x是实轴，y＝－x是虚轴，故A，B正确，坐标原点是对称中心，联立实轴方程y＝x与反比例函数表达式y＝得实轴顶点(1，1)，(－1，－1)，所以a＝，c＝2，其中一个焦点坐标应为(，)而不是(2，2)，故C错误，由双曲线定义可知||PM|－|PN||＝2a＝2，故D正确． 11．双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是(　　) A．双曲线C的离心率为 B．双曲线－＝1与双曲线C的渐近线相同 C．若PO⊥PF，则△PFO的面积为 D．|PF|的最小值为2 ABC　解析：因为a＝2，b＝，所以c＝＝，所以e＝＝，故A正确；双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故B正确；因为PO⊥PF，点F(，0)到渐近线x－2y＝0的距离d＝＝，所以|PF|＝，所以|PO|＝＝2，所以△PFO的面积为××2＝，故C正确；|PF|的最小值即为点F到渐近线的距离，即|PF|min＝，故D错误． 三、填空题 12．(2025·南通开学考试)过点P(2，3)的等轴双曲线的方程为__________． 答案：－＝1　解析：因为双曲线为等轴双曲线，所以设双曲线方程为x2－y2＝λ，λ≠0，将点P(2，3)代入得4－9＝λ，解得λ＝－5，所以双曲线方程为－＝1. 13．(2025·武汉模拟)设F1，F2为双曲线－＝1的两个焦点，点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为________． 答案：3　解析：如图，由－＝1可知，a＝，b＝，c＝3， 设|PF1|＝x，|PF2|＝y(x>y)，由定义知x－y＝2a＝2，∵∠F1PF2＝90°，∴x2＋y2＝(2c)2＝36，∴2xy＝x2＋y2－(x－y)2＝12，∴xy＝6，∴△F1PF2的面积为xy＝3. 14．(2025·哈尔滨模拟)设双曲线C：－＝1的左焦点和右焦点分别是F1，F2，点P是C右支上的一点，则|PF1|＋的最小值为________． 答案：8　解析：由已知可得a＝2，b＝，c＝5，|PF2|≥c－a＝3，|PF1|＝|PF2|＋2a＝|PF2|＋4，|PF1|＋＝|PF2|＋＋4，|PF2|≥3，设PF2为x，则函数y＝x＋＋4(x>0)在[3，＋∞)上单调递增，所以当且仅当x＝3时，|PF1|＋的最小值为8. 15．(2025·广州模拟)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P为其右支上一点，点A(0，－6)，则△APF周长的最小值为(　　) A．4＋6 B．4＋6 C．6＋6 D．6＋6 B　解析：设双曲线的右焦点为M，连接PM、AM由双曲线的方程可得a2＝4，b2＝5，则a＝2，b＝，c＝3，所以F(－3，0)，M(3，0)，且|PF|－|PM|＝2a＝4，所以|PF|＝|PM|＋4，△APF的周长为|PA|＋|PF|＋|AF|＝|PA|＋|PM|＋4＋|AF|＝|PA|＋|PM|＋4＋3≥|AM|＋4＋3＝4＋6，当且仅当M，P，A三点共线且P在线段AM上时，等号成立，则△APF周长的最小值为4＋6. 16．(2025·白银模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，B为双曲线C的虚轴的一个端点，直线FB与双曲线C交于点P.若＝，则双曲线C的离心率为________． 答案：　解析：设双曲线C的右焦点为F′(c，0)，O为坐标原点，由＝，得B是FP的中点，在△FF′P中，OB为中位线，则F′P∥OB，即F′P⊥x轴，不妨设点P在第一象限，由解得P(c，)，＝2b，＝2，所以e＝＝＝＝＝. 17．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率是，左、右焦点分别是F1，F2，过F2且与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，则其渐近线方程是________，∠AF1F2＝________． 答案：y＝±x　　解析：由题意，＝，得＝＝3，即＝，则双曲线的渐近线方程为y＝±x.不妨设点A在第一象限，由双曲线的通径可知，|F2A|＝，|F1F2|＝2c，所以tan ∠AF1F2＝＝＝＝·＝×2＝，所以∠AF1F2＝. 18．(2023·新课标Ⅰ卷改编)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－ ，求C的离心率． 解：方法一　由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0)，因为＝－，所以即 所以A(c，－y0). ＝(c，－y0)，＝(c，y0)，因为⊥，所以·＝0，即c2－y＝0，解得y＝4c2.因为点A(c，－y0)在双曲线C上，所以－＝1，又y＝4c2，所以－＝1，即－＝1，化简得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝. 方法二　由＝－，得＝，设||＝2t，||＝3t，由对称性可得||＝3t，则||＝2t＋2a，||＝5t，设∠F1AF2＝θ，则sin θ＝＝，所以cos θ＝＝，解得t＝a，所以||＝2t＋2a＝4a，||＝2a，在△AF1F2中，由余弦定理可得cos θ＝＝，即5c2＝9a2，则e＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$