课时训练（14）椭圆（Word练习）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

一、单选题 1．已知动点M(x，y)满足＋＝4，则动点M的轨迹是(　　) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 D　解析：设点F1(－2，0)，F2(2，0)，由题意知动点M满足|MF1|＋|MF2|＝4＝|F1F2|，故动点M的轨迹是线段F1F2. 2．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　　) A． B． C． D． A　解析：方法一(直接求解法)　由已知得e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝×，解得a＝. 方法二(选项代入验证法)　若a＝，则e1＝＝＝，又e2＝，所以e2＝e1，所以a＝符合题意． 3．(2025·阜阳模拟)已知椭圆长轴、短轴的一个端点分别为A，B，F为椭圆的一个焦点，若△ABF为直角三角形，则该椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． C　解析：如图，|AF|＝a＋c，|BF|＝a，|AB|＝，由已知得2a2＋b2＝(a＋c)2，且b2＝a2－c2，e＝>0，得c2＋ac－a2＝0，e2＋e－1＝0，解得e＝. 4．(2025·厦门模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(4，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 C　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有＋＝1①，＋＝1②，两式作差可得＝，即·＝－，又y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，故kAB·＝－，kAB＝＝，所以＝，由解得b2＝8，a2＝24，所以E的标准方程为＋＝1. 5．(2025·惠州模拟)已知椭圆的方程为＋＝1，过椭圆中心的直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长的最小值为(　　) A．8 B．6＋2 C．10 D．8＋2 C　解析：椭圆的方程为＋＝1，则a＝3，b＝2，c＝＝，连接AF1，BF1， 则由椭圆的中心对称性可知|OA|＝|OB|，|OF1|＝|OF2|，可知四边形AF1BF2为平行四边形，则|BF1|＝|AF2|，可得△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝|AF1|＋|AF2|＋|AB|＝2a＋|AB|，当A，B位于短轴的端点时，|AB|取最小值，最小值为2b＝4，所以周长为2a＋|AB|≥6＋4＝10.即△ABF2周长的最小值为10. 6．(2025·烟台开学考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，上顶点为B，离心率为.若·＝－1，则a2＋b2＝(　　) A．5 B．7 C．21 D．25 B　解析：因为离心率e＝＝＝，解得b2＝a2，因为A1，A2分别为C的左、右顶点，B为上顶点，则A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b).所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，因为·＝－1，所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入解得a2＝4，b2＝3.即a2＋b2＝7. 7．著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳处在椭圆的一个焦点上．记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球与太阳的最远距离与最近距离之比为λ，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． C　解析：设椭圆C的焦距为2c，长轴长为2a，根据题意可得地球与太阳的最远距离为a＋c，最近距离为a－c，则＝λ，解得＝，即C的离心率为. 8．(2025·济南模拟)已知椭圆＋＝1(a>1)的左顶点为A，左焦点为F，P为该椭圆上一点且在第一象限，若射线AF上存在一点Q，使得|AQ|＝|FP|－|FA|，线段PQ的垂直平分线与射线AF交于点H，则|FH|＝(　　) A．1 B．2 C．a D．2a B　解析：设该椭圆的右焦点为E，连接EP，则|FP|＋|EP|＝2a，设|EP|＝x(x>0)，则|FP|＝2a－x，易得F(－1，0)，A(－a，0)，所以|FA|＝a－1，所以|AQ|＝|FP|－|FA|＝2a－x－a＋1＝a－x＋1，又A(－a，0)，所以Q(1－x，0)，所以|QE|＝1－1＋x＝x＝|EP|，则对任意的点P，线段PQ的垂直平分线必过点E，所以点E与点H重合，所以|FH|＝|FE|＝2. 二、多选题 9．若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个说法正确的是(　　) A．若1<t<3，则C为椭圆 B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则2<t<3 C．曲线C可能是圆 D．若C为双曲线，则t<1 BC　解析：当t＝2时，曲线C表示圆，故A错误，C正确；当曲线C为焦点在y轴上的椭圆时，则t－1>3－t>0，解得2<t<3，故B正确；当曲线C为双曲线时，则(3－t)(t－1)<0，解得t<1或t>3，故D错误． 10．(2025·黔东南开学考试)已知M>0，椭圆C1：＋y2＝1，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e1＝e2，则M的值可能为(　　) A． B． C． D． AB　解析：若M>1，则e＝，e＝，则＝，解得M＝.若<M<1，则e＝，e＝1－M，则＝3－3M，解得M＝或M＝(舍去).若0<M<，则e＝1－3M，e＝1－M，1－3M＝3－3M，方程无解． 11．已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则下列结论正确的是(　　) A．C的焦距为 B．C的离心率为 C．圆D在C的内部 D．|PQ|的最小值为 BC　解析：∵＋y2＝1，∴a＝，b＝1，∴c＝＝＝，则C的焦距为2，离心率e＝＝＝.设P(x，y)(－≤x≤)，则|PD|2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－＝(x＋)2＋≥＞，∴圆D在C的内部，且|PQ|的最小值为－＝. 三、填空题 12．(2025·绵阳开学考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为B，A为C上一动点(不与左、右顶点重合).设△AF1F2的周长为m，|BF2|＝n，若＝4，则C的离心率为________． 答案：　解析：依题意，则a＝n，c＝n，所以离心率e＝＝. 13．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，D为C上一动点，若|DF|的最大值是最小值的3倍，写出一个符合要求的C的方程为________． 答案：＋＝1(答案不唯一)　解析：由椭圆的几何性质得|DF|max＝a＋c，|DF|min＝a－c，由题意得a＋c＝3(a－c)，则e＝＝，令a＝2，则b2＝3，即满足题意的一个C的方程为＋＝1(答案不唯一). 14．过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是________． 答案：(0，]　解析：由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c，0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.又圆与直线l有公共点，所以≤，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0＜e＜1，所以0＜e≤. 15．(2025·郑州适应性测试)如图，椭圆E：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1，F2分别作弦AB，CD．若AB∥CD，则|AF1|＋|CF2|的取值范围为(　　) A．[2，] B．[2，) C．[，2) D．[，2] C　解析：由椭圆的对称性可知|CF2|＝|BF1|，所以|AF1|＋|CF2|＝|AF1|＋|BF1|＝|AB|.因为弦AB，CD分别过椭圆E的左、右焦点，且AB∥CD，所以|AB|∈[，2a)，又a＝，b2＝4，所以|AB|∈[，2). 16．我们把离心率为的椭圆称为“最美椭圆”．已知椭圆C为“最美椭圆”，焦点在x轴上，且以椭圆C上一点P和椭圆两焦点F1和F2为顶点的三角形的面积最大值为4，则椭圆C的方程为(　　) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 D　解析：由已知e＝＝，得c＝a，故b＝＝a.∵＝|F1F2||yP|＝×2c|yP|≤bc，即()max＝bc＝4，∴a×a＝4，得a2＝8，故b2＝a2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1. 17．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，焦距为2，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若点P为C上的任意一点，则＋的最小值为________． 答案：1　解析：根据题意得b＝1，c＝，故a＝2，则|PF1|＋|PF2|＝2a＝4. 方法一　＋＝(＋)·(|PF1|＋|PF2|)＝(2＋＋)≥1，当且仅当|PF1|＝|PF2|，即P为椭圆的短轴端点时，等号成立，∴＋的最小值为1. 方法二　设|PF1|＝t，则|PF2|＝4－t，∴＋＝＝＝.令f(t)＝，∵a－c≤|PF1|≤a＋c，∴2－≤|PF1|≤2＋，即2－≤t≤2＋，∴1≤－(t－2)2＋4≤4，∴1≤≤4，∴＋的最小值为1. 18．甲、乙两名探险家在某山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲、乙两人分别站在洞内如图所示的A，B两点处，甲站在A处唱歌时，乙在与A处有一定距离的B处听得很清晰，原因在于甲、乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点．现已知椭圆C：＋＝1上一点M，过点M作切线l，A，B分别为椭圆C的左、右焦点，cos ∠AMB＝－，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为________． 答案：　解析：如图，过点M作切线l的垂线交AB于点N，过点A，O，B分别作l的垂线，交l于点A1，O1，B1，由光学性质可知MN平分∠AMB，∠B1MB＝∠A1MA，则∠A1AM＝∠AMN＝∠BMN＝∠B1BM. 因为cos ∠AMB＝－，故cos (π－∠AMB)＝cos 2∠AMA1＝1－2sin2∠AMA1＝，所以sin∠AMA1＝，|OO1|＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AM|sin ∠AMA1＋|BM|sin ∠BMB1)＝×20×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$