课时训练（13）直线与圆、圆与圆的位置关系（Word练习）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

一、单选题 1．(2025·河南开学考试)以点(1，1)为圆心的圆C截直线y＝x＋2所得的弦长为2，则圆C的半径为(　　) A．1 B． C．2 D． D　解析：由题意可知，圆心(1，1)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝，所以圆C的半径为r＝＝. 2．已知圆O1：(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆O2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝16，则这两个圆的位置关系为(　　) A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 C　解析：根据题意得圆O1的圆心为O1(1，－2)，半径为3，圆O2的圆心为O2(－2，－1)，半径为4，圆心距|O1O2|＝，因为4－3＜＜4＋3，所以两圆相交． 3．(2025·成都开学考试)在同一平面直角坐标系中，直线mx－y＋1＝0(m∈R)与圆x2＋y2＝2的位置不可能为(　　) C　解析：圆x2＋y2＝2的圆心坐标为(0，0)，半径为，直线mx－y＋1＝0(m∈R)过圆内定点(0，1)，斜率可正可负可为0，A，B，D选项都有可能，C选项不可能． 4．(2025·泰安模拟)已知点M(1，)在圆C：x2＋y2＝m上，过M作圆C的切线l，则l的倾斜角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° D　解析：圆心为(0，0)，所以kCM＝，所以过M的切线l的斜率为－＝－，设倾斜角为θ，则tan θ＝－，由于θ∈[0，π)，故θ＝. 5．(2025·长沙阶段练习)已知过点A(1，0)的直线l与圆C：(x＋2)2＋y2＝4相交于M，N两点，若|MN|＝2，则l的斜率为(　　) A．± B．± C．± D．± A　解析：圆C：(x＋2)2＋y2＝4的圆心C(－2，0)，半径r＝2，易知直线斜率存在，设l的方程为y＝k(x－1)，则圆心C(－2，0)到l的距离d＝，则|MN|＝2＝2＝2，解得k＝±，所以l的斜率为±. 6．圆C：x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0距离为的点有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 B　解析：因为x2＋y2＋2x＋4y－3＝0化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，所以圆心C(－1，－2)，圆的半径r＝2，又因为圆心C到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，所以r－d＝，所以过圆心且平行于直线x＋y＋1＝0的直线与圆有2个交点，另一条与直线x＋y＋1＝0的距离为的平行线与圆相切，只有1个交点，如图所示， 所以圆C上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有3个． 二、多选题 7．(2025·南京调研)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，则下列说法正确的是(　　) A．若圆C与两坐标轴均相切，则a＝b B．若a＝b，则圆C不可能过点(0，2) C．若点(3，4)在圆C上，则圆心C到原点O的距离的最小值为4 D．若圆C上有两点到原点的距离为1，则0<a2＋b2<4 BCD　解析：对于A，若圆C与两坐标轴均相切，则|a|＝|b|＝1，A错误；对于B，若a＝b，将(0，2)代入圆的方程得a2＋(2－a)2＝1，得2a2－4a＋3＝0，Δ＝(－4)2－24＝－8<0，方程无解，B正确；对于C，由于(a－3)2＋(b－4)2＝1，则C(a，b)到原点O的距离的最小值为－1＝4，C正确；对于D，由题意知，圆x2＋y2＝1与圆C总有两个交点，圆心距d＝，所以1－1<<1＋1，即0<a2＋b2<4，D正确． 8．已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　) A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 C．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 D．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 ACD　解析：选项A中，若点A在圆C上，则a2＋b2＝r2，而圆心到直线l的距离d＝＝|r|，所以直线与圆相切，即A正确；选项B中，若点A在圆C外，则a2＋b2＞r2，而圆心到直线l的距离d＝＜|r|，所以直线l与圆相交，所以B错误；选项C中，若点A在直线l上，则a2＋b2＝r2，而圆心到直线l的距离d＝＝|r|，所以直线l与圆相切，所以C正确；选项D中，若点A在圆C内，则a2＋b2＜r2，而圆心到直线l的距离d＝＞|r|，所以直线l与圆相离，所以D正确． 三、填空题 9．已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径为r.若直线2x－y＋3＝0与圆相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________． 答案：－2　　解析：由题可知kAC＝－，得直线AC：y＋1＝－(x＋2)，把(0，m)代入得m＝－2，此时r＝|AC|＝＝. 10．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程为______________． 答案：(x－2)2＋(y－2)2＝2　解析：曲线方程化为(x－6)2＋(y－6)2＝18， 其圆心到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝5.所求的最小圆的圆心在直线y＝x上，其到直线的距离为，圆心坐标为(2，2)，标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2. 四、解答题 11．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求： (1)m取何值时两圆外切； (2)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 解：两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)， 则圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为，. (1)当两圆外切时，＝＋，解得m＝25＋10. (2)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0. 所以公共弦的长为2×＝2. 12．(2025·合肥一模)已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|＋|≥||，则实数k的取值范围是(　　) A．(，) B．[，) C．[，2) D．[，2) C　解析：设AB的中点为C，则OC⊥AB，∵|＋|≥||，∴|2|≥||，∴||≤||，∵||2＋||2＝4⇒||2≥4，即||2≥3，又直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，∴||2<4，故4>||2≥3，则4>()2≥3，∵k>0，∴≤k<2. 13．若圆C1：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)上存在点P，且点P关于y轴的对称点Q在圆C2：(x＋2)2＋(y－2)2＝1上，则r的取值范围是________． 答案：[－1，＋1]　解析：设圆C1关于y轴的对称圆为圆C3，其方程为(x＋1)2＋y2＝r2，根据题意，圆C3与圆C2有交点，又圆C3与圆C2的圆心距为＝，要满足题意，只需|r－1|≤≤r＋1，解得r∈[－1，＋1]. 14．已知圆O：x2＋y2＝1与直线l：x＝－1，写出一个半径为1，且与圆O及直线l都相切的圆的方程为________. 答案：x2＋(y－2)2＝1(答案不唯一)　解析：设圆心为C(x0，y0)，由已知圆C与直线l：x＝－1相切，圆C与圆O：x2＋y2＝1相切，可得解得或或且已知半径为1，所以圆的方程可以为x2＋(y－2)2＝1或x2＋(y＋2)2＝1或(x＋2)2＋y2＝1. 15．已知圆C的方程为x2＋y2＝1. (1)求过点P(1，2)且与圆C相切的直线l的方程； (2)直线m过点P(1，2)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝，求直线m的方程． 解：(1)根据题意得，点P在圆C外，分两种情况讨论， 当直线l的斜率不存在时，过点P(1，2)的直线方程是x＝1，与圆C：x2＋y2＝1相切，满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0. 因为直线l与圆C相切，所以圆心(0，0)到直线l的距离为＝1，解得k＝， 此时，直线l的方程为3x－4y＋5＝0. 所以满足条件的直线l的方程是x＝1或3x－4y＋5＝0. (2)根据题意，若|AB|＝， 则圆心到直线m的距离d＝＝， 结合(1)知直线m的斜率一定存在． 设直线m的方程为y－2＝n(x－1)，即nx－y－n＋2＝0， 则d＝＝，解得n＝1或n＝7. 所以满足条件的直线m的方程是x－y＋1＝0或7x－y－5＝0. 16．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方． (1)求圆C的方程； (2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)设圆心为C(a，0)(a>－)，则＝2⇒a＝0或a＝－5(舍去). 所以圆C的方程为x2＋y2＝4. (2)当直线AB的斜率不存在时，x轴平分∠ANB． 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0， 经检验，Δ>0，所以x1＋x2＝，x1x2＝. 若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒＋＝0⇒＋＝0，即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒－＋2t＝0，解得t＝4，则N(4，0)， 所以当点N的坐标为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总是成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$