课时训练（7）向量法求空间角（Word练习）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

1．(2025·苏州开学考试)如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝3AB＝3，点E，F分别在棱BB1，CC1上，BE＝C1F＝BB1. (1)判断BD与平面AEF的位置关系并证明； (2)求平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值． 解：(1)BD∥平面AEF.理由如下， 以点D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B(1，1，0)，E(1，1，1)，F(0，1，2)，所以＝(0，－1，－1)，＝(－1，0，1). 由＋＝(0，－1，－1)＋(－1，0，1)＝(－1，－1，0)，＝(－1，－1，0)， 所以＝＋，所以，，是共面向量． 因为EA，EF⊂平面AEF，BD⊄平面AEF，故BD∥平面AEF. (2)设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则，不妨令x＝1，得y＝－1，z＝1， 则平面AEF的一个法向量为n＝(1，－1，1). 又平面ABCD的一个法向量为m＝(0，0，1)，所以cos 〈n，m〉＝＝， 所以平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值为. 2．(2025·常德模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝2，BC＝1，PD⊥平面PAB． (1)求证：AB⊥平面PAD； (2)求PC的长； (3)若PD＝1，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值． (1)证明：由PD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，得PD⊥AB， 又AB⊥AD，且PD⊂平面APD，AD⊂平面APD，PD∩AD＝D， 所以AB⊥平面APD． (2)解：取AD中点O，连接PO，CO，由BC∥AO，且BC＝AO， 所以四边形ABCO为平行四边形，所以OC∥AB， 由(1)知AB⊥平面APD得OC⊥平面APD， 由OP⊂平面APD，所以OC⊥PO， 由PD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，得PD⊥AP，所以OP＝AD＝1， 又OC＝AB＝2，所以PC＝＝. (3)解：以O为坐标原点，，分别为x，y轴的正方向，以过点O且与平面ABCD垂直向上的方向为z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 由PD＝1，得△POD为正三角形，所以P(0，，)， 又A(0，－1，0)，C(2，0，0)，D(0，1，0)，所以＝(－2，1，0)，＝(0，，－)， 设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即 取z＝2，得到平面PCD的一个法向量为n＝(，2，2). 又＝(0，－，－)，设直线PA与平面PCD所成角的大小为θ， 则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝， 所以直线PA与平面PCD所成角的正弦值为. 3．(2025·南昌模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝AB，现将△ADC沿AC翻至△APC，使二面角P­AC­B为直二面角． (1)证明：CB⊥PA； (2)若AB＝4，二面角B­PA­C的余弦值为，求异面直线PC与AB所成角的余弦值． (1)证明：取AB的中点E，连接CE(图略)， ∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝AB，AE∥DC，AE＝DC， ∴四边形ADCE是平行四边形，CE＝AD，CE＝AE＝EB， ∴∠ACB＝90°，即CB⊥CA， ∵二面角P­AC­B为直二面角，∴平面PAC⊥平面ACB， 又平面PAC∩平面ACB＝AC，CB⊂平面ABC， ∴CB⊥平面PAC， 又PA⊂平面PAC，∴CB⊥PA． (2)解：由AB＝4知PA＝PC＝2，取AC的中点O，则OE∥CB． ∴OE⊥AC，且OP⊥AC，OC，OE，OP两两互相垂直．以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 设OC＝a(a>0)，则C(a，0，0)，P(0，0，)，A(－a，0，0)，B(a，2，0)， ＝(2a，2，0)，＝(a，0，)， 易得平面PAC的一个法向量为 n1＝(0，1，0)，设平面PAB的一个法向量为n2＝(x，y，z)， 由取x＝，得y＝－a，z＝－a，故n2＝(，－a，－a)， 由|cos 〈n1，n2〉|＝＝＝，得a＝， 则＝(，0，－1)，＝(2，2，0).设异面直线PC与AB所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝，所以异面直线PC与AB所成角的余弦值为. 4．(2025·天津蓟州开学考试)如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ＝2AB＝2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点． (1)求证：EF∥平面CPM； (2)求二面角Q­PM­C的正弦值； (3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求点N到平面CPM的距离． (1)证明：连接EM，因为AB∥CD，PQ∥CD，所以AB∥PQ，又因为AB＝PQ，所以四边形PABQ为平行四边形． 由点E和M分别为AP和BQ的中点，可得EM∥AB且EM＝AB， 因为AB∥CD，CD＝2AB，F为CD的中点，所以CF∥AB且CF＝AB， 可得EM∥CF且EM＝CF，即四边形EFCM为平行四边形， 所以EF∥MC，又EF⊄平面MPC，CM⊂平面MPC，所以EF∥平面MPC． (2)解：因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，可以建立以D为原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，如图所示． 依题意可得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，Q(0，1，2)，M(1，1，1). ＝(1，1，－1)，＝(0，1，0)，＝(1，－1，1)，＝(0，2，－2)，设n1＝(x，y，z)为平面PMQ的一个法向量， 则即不妨设z＝1，可得n1＝(1，0，1)， 设n2＝(x1，y1，z1)为平面MPC的一个法向量，则即不妨设z1＝1，可得n2＝(0，1，1)， cos 〈n1，n2〉＝＝，于是sin 〈n2，n1〉＝. 所以二面角Q­PM­C的正弦值为. (3)解：设＝λ(0≤λ≤1)，即＝λ＝(0，λ，－2λ)，则N(0，λ＋1，2－2λ). 从而＝(0，λ＋1，2－2λ). 由(2)知平面PMQ的一个法向量为n1＝(1，0，1)， 由题意，sin ＝|cos 〈，n1〉|＝， 即＝， 整理得3λ2－10λ＋3＝0，解得λ＝或λ＝3. 因为0≤λ≤1，所以λ＝，所以＝，即＝＝(0，1，－2). 则点N到平面CPM的距离d＝＝×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$