课时训练（6）空间向量及其运算和空间位置关系（Word练习）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

一、单选题 1．已知直线l的一个方向向量为m＝(x，2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1，2)，若l∥α，则x等于(　　) A．－6 B．6 C．－4 D．4 D　解析：若l∥α，则m⊥n，从而m·n＝0，即3x－2－10＝0，解得x＝4. 2．如图，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，且BM＝2MC′，则下列向量中与相等的向量是(　　) A．－＋＋ B．－＋＋ C．＋＋ D．－＋ C　解析：因为BM＝2MC′，所以＝，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，＝＋＝＋＝＋(＋)＝(－)＋(＋)＝＋＋. 3．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，设AD＝1，则BD1·等于(　　) A．1 B．2 C．3 D． A　解析：由长方体的性质可知AD⊥AB，AD⊥BB1，AD∥BC，AD＝BC＝1，BD1＝＋＋BB1，所以BD1·＝(＋＋BB1)·＝·＋·＋BB1·＝0＋2＋0＝1. 4．已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(1，1，n)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． A　解析：由题意，a·b＝1＋0＋n＝3，解得n＝2，又|a|＝＝，|b|＝＝，所以cos 〈a，b〉＝＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为. 5．如图，在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝，AC＝1，BD＝2，则CD的长为(　　) A．2 B．3 C．2 D．4 B　解析：∵＝＋＋，∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·.∵⊥，⊥，∴·＝0，·＝0，·＝||||·cos (180°－120°)＝×1×2＝1.∴2＝1＋2＋4＋2×1＝9，∴||＝3. 6．(2025·西安模拟)已知点P在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1的表面上运动，则·的最大值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 C　解析：取AB的中点O，连接PO，如图，则·＝(＋)·(＋)＝2－2＝2－1，当P在正方体表面上运动时，则当其运动到D1或C1处时，PO最大，所以＝D1D2＋2＋2＝9，所以·的最大值为8. 二、多选题 7．已知空间向量a＝(2，－2，1)，b＝(3，0，4)，则下列说法正确的是(　　) A．向量c＝(－8，5，6)与a，b垂直 B．向量d＝(1，－4，－2)与a，b共面 C．若a与b分别是异面直线l1与l2的方向向量，则其所成角的余弦值为 D．向量a在向量b上的投影向量为(6，0，8) BC　解析：对于A，a·c＝－16－10＋6≠0，b·c＝－24＋24＝0，故a，c不垂直，故A错误；对于B，设d＝ma＋nb，则m(2，－2，1)＋n(3，0，4)＝(1，－4，－2)，所以解得即2a－b＝d，故B正确；对于C，因为cos 〈a，b〉＝＝＝，所以异面直线l1与l2所成角的余弦值为，故C正确；对于D，向量a在向量b上的投影向量为|a|cos 〈a，b〉·＝3×××(3，0，4)＝(，0，)，故D错误． 8．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，G为正方形A1B1C1D1的中心，E，F分别为AB，BB1的中点，下列结论正确的是(　　) A．C1D∥平面EFG B．＝＋ C．·＝0 D．A1C⊥平面EFG AC　解析：建立如图所示的空间直角坐标系，因为E是棱AB的中点，F是棱BB1的中点，G是正方形A1B1C1D1的中心，设正方体的棱长为1， 可得A(0，0，0)，A1(0，0，1)，D(0，1，0)，C(1，1，0)，C1(1，1，1)，E(，0，0)，F(1，0，)，G(，，1)，D1(0，1，1)，B1(1，0，1). 设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z)，＝(0，，1)，＝(，0，)，则令x＝1，∴n＝(1，2，－1).∵＝(－1，0，－1)，·n＝(－1)×1＋0×2＋(－1)×(－1)＝0，C1D⊄平面EFG，∴C1D∥平面EFG，故A选项正确；∵D1B1＝(1，－1，0)，＝(0，0，－1)，＝(，－，－)，D1B1＋A1A＝(1，－1，－1)，∴≠＋，故B选项错误；∵＝(，－，－)，＝(－，0，－)，∴·＝×(－)＋(－)×0＋(－)×(－)＝0，故C选项正确；∵＝(1，1，－1)，与n不平行，∴A1C不与平面EFG垂直，故D选项错误． 三、填空题 9．在斜三棱柱A1B1C1­ABC中，BC的中点为M，＝a，＝b，＝c，则可用a，b，c表示为________． 答案：－a＋b＋c　解析：＝＋＝＋ ＝＋( －)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c. 10．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝，则VA与平面PMN的位置关系是________． 答案： VA∥平面PMN　解析：如图，设＝a，＝b，＝c， 则＝a＋c－b，由题意知＝b－c，＝－＝a－b＋c.因此＝＋，∴，，共面．又VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN. 四、解答题 11．已知向量a＝(－2，－1，2)，b＝(－1，1，2)，c＝(x，2，2). (1)当|c|＝2时，若向量ka＋b与c垂直，求实数x和k的值； (2)当x＝－时，求证：向量c与向量a，b共面． (1)解：因为|c|＝2，所以＝2，解得x＝0. 因为ka＋b＝(－2k－1，1－k，2k＋2)，向量ka＋b与c垂直，所以(ka＋b)·c＝0， 又c＝(0，2，2)，所以2－2k＋4k＋4＝2k＋6＝0，所以k＝－3， 所以实数x和k的值分别为0和－3. (2)证明：当x＝－时，c＝(－，2，2)，设c＝λa＋μb(λ，μ∈R)， 则(－，2，2)＝λ(－2，－1，2)＋μ(－1，1，2)， 所以，解得，即c＝－a＋b， 所以向量c与向量a，b共面． 12．(多选)(2025·十堰模拟)《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫作堑堵，在如图所示的堑堵中，AB⊥AC，＝2，则(　　) A．＝＋＋ B．＝＋＋ C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影向量为 BD　解析：＝＋＋＝＋＋ ＝＋＋，故A不正确，B正确．如图所示，过点D作DU垂直于BC，垂足为U，过U作UV垂直于AB，UW垂直于AC，垂足分别为V，W，故向量在向量上的投影向量为，向量在向量上的投影向量为，由题意易得＝，＝，则＝，＝，故C不正确，D正确． 13．(多选)(2025·梅州模拟)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点).若D1M⊥MN，则下列命题正确的是(　　) A．MN⊥A1M B．MN⊥平面D1MC C．线段BN长度的最大值为 D．三棱锥C1­A1D1M的体积不变 ACD　解析： 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 则A1(3，0，3)，D1(0，0，3)，C(0，3，0)，B(3，3，0)，设M(3，y，0)，N(3，3，z)，y，z∈(0，3)，＝(3，y，－3)，＝(0，3－y，z)，而D1M⊥MN，则·＝y(3－y)－3z＝0，即z＝y(3－y).对于A，连接A1M，＝(0，y，－3)，则·＝y(3－y)－3z＝0，则⊥，MN⊥A1M，故A正确；对于B，＝(3，y－3，0)，·＝(y－3)·(3－y)＝－(3－y)2<0，即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，故B错误；对于C，＝(0，0，z)，则线段BN的长度||＝z＝[－(y－)2＋]≤，当且仅当y＝时，等号成立，故C正确；对于D，连接A1C1，MC1，不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而V三棱锥＝×3·S△A1D1C1＝，所以三棱锥C1­A1D1M的体积为定值，故D正确． 14．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是棱D1D上一点，N是A1B1的中点，则当＝________时，ON⊥AM. 答案：　解析：以A为坐标原点，以，，AA1分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，O(，，0)，N(，0，1).设M(0，1，a)(0≤a≤1)，则·＝(0，1，a)·(0，－，1)＝－＋a＝0，解得a＝.故当＝时，ON⊥AM. 15．如图，已知在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1. (1)求证：BC1⊥AB1； (2)求证：BC1∥平面CA1D． 证明：(1)以C1为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 若设AC＝BC＝BB1＝2， 则A(2，0，2)，B(0，2，2)，C(0，0，2)，A1(2，0，0)，B1(0，2，0)，C1(0，0，0)，D(1，1，2). 连接AB1， ∵＝(0，－2，－2)，＝(－2，2，－2)， ∴·＝0－4＋4＝0， ∴⊥，即BC1⊥AB1. (2)取A1C的中点E，连接DE， ∵E(1，0，1)，∴＝(0，1，1)， 又BC1＝(0，－2，－2)，∴＝－， 且ED和BC1不重合，则ED∥BC1. 又ED⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D， ∴BC1∥平面CA1D． 16．如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC＝2EF，AE＝AF，点G是EF的中点． (1)证明：AG⊥平面ABCD． (2)线段AC上是否存在一点M，使MG∥平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (1)证明：因为AE＝AF，点G是EF的中点，所以AG⊥EF， 又EF∥AD，所以AG⊥AD． 因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AG⊂平面ADEF，所以AG⊥平面ABCD． (2)解：由(1)得AG⊥平面ABCD，因为AD，AB⊂平面ABCD，所以AG⊥AD，AG⊥AB， 又四边形ABCD是边长为4的正方形，所以AG，AD，AB两两垂直． 以A为原点，AB、AD、AG所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图， 所以A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，4，0). 假设线段AC上存在一点M，使MG∥平面ABF，设＝λ，则＝λ， 因为＝(4，4，0)，所以＝(4λ，4λ，0)，设AG＝t(t>0)，则＝(0，0，t)， 所以＝－＝(－4λ，－4λ，t)，F(0，－1，t)，＝(0，－1，t)，＝(4，0，0). 设平面ABF的一个法向量为m＝(x，y，z)，则取m＝(0，t，1). 因为MG∥平面ABF，所以·m＝0，即－4λt＋t＝0，解得λ＝，所以＝，此时＝， 即在线段AC上存在一点M，使MG∥平面ABF，此时＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$