课时训练（5）直线、平面垂直的判定与性质（Word练习）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

一、单选题 1．已知m，n是两条不重合的直线，β是一个平面且n⊂β，则“m⊥n”是“m⊥β”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：根据线面垂直的定义，m必须垂直平面β内的两条相交直线，才有m⊥β，即充分性不成立；若m⊥β，因为n⊂β，则m⊥n成立，即必要性成立，故“m⊥n”是“m⊥β”的必要不充分条件． 2．若P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC，PB⊥AC，则点P在△ABC所在平面内的射影O是△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 D　解析：如图所示， 因为PA⊥BC，PO⊥BC，且PA∩PO＝P，PA，PO⊂平面PAO，所以BC⊥平面PAO，又AO⊂平面PAO，则BC⊥OA，同理得OB⊥AC，所以O是△ABC的垂心． 3．(2024·天津卷)若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是(　　) A．若m∥α，n∥α，则m⊥n B．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m∥α，n⊥α，则m⊥n D．若m∥α，n⊥α，则m与n相交 C　解析：对于A，B，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故A，B错误；对于C，D，若m∥α，n⊥α，则m⊥n，且m与n可能相交，也可能异面，故C正确，D错误． 4．如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　) A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部 A　解析：连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC．∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上． 5．(2025·滨州模拟)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设直线BD1与直线AD所成的角为α，直线BD1与平面CDD1C1所成的角为β，则α＋β＝(　　) A． B． C． D． C　解析：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，因为AD∥BC，所以直线BD1与直线AD所成的角α＝∠D1BC．因为BC⊥平面CDD1C1，所以D1C为D1B在平面CDD1C1上的射影，所以直线BD1与平面CDD1C1所成的角β＝∠BD1C．又BC⊥平面CDD1C1，所以BC⊥D1C，所以∠D1BC＋∠BD1C＝，即α＋β＝. 6．在正三棱锥A­BCD中，二面角A­BC­D的平面角为60°，则AC与平面BCD所成角的正切值为(　　) A． B． C． D．1 C　解析：取BC的中点为E，△BCD的中心为G，连接AE，DE，CG，AG，因为AB＝AC，BD＝CD，则AE⊥BC，DE⊥BC，可得二面角A­BC­D的平面角为∠AED，即∠AED＝60°.因为三棱锥A­BCD为正三棱锥，则AG⊥平面BCD，且DE，CG⊂平面BCD，则AG⊥DE，AG⊥CG，可得AG＝EG，CG＝DG＝2EG，由AG⊥平面BCD，可知AC与平面BCD所成的角为∠ACG，所以tan ∠ACG＝＝＝. 二、多选题 7．如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　) BD　解析：对于A，显然AB与CE不垂直，则直线AB与平面CDE不垂直；对于B，因为AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ ED＝E，所以AB⊥平面CDE；对于C，显然AB与CE不垂直，所以直线AB与平面CDE不垂直；对于D，连接AC(图略)，因为ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理CE⊥AB，因为ED∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE. 8．如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于点S，AN⊥PB于点N，则下列结论正确的是(　　) A．平面ANS⊥平面PBC B．平面ANS⊥平面PAB C．平面PAB⊥平面PBC D．平面ABC⊥平面PAC ACD　解析： ∵PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又AC为圆O的直径，∴AB⊥BC，又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB．又AN⊂平面PAB，∴BC⊥AN，又AN⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，∴AN⊥平面PBC，∵AN⊂平面ANS，∴平面ANS⊥平面PBC，∴A，C，D正确． 三、填空题 9．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出下面四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．(用序号表示) 答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)　解析：若①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β成立，则m与α可能平行也可能相交，即④m⊥α不一定成立；若①m⊥n，②α⊥β，④m⊥α成立，则n与β可能平行也可能相交，即③n⊥β不一定成立；若①m⊥n，③n⊥β，④m⊥α成立，因为m⊥n，n⊥β，所以m∥β，又m⊥α，所以α⊥β，即①③④⇒②；若②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α成立，因为α⊥β，n⊥β，所以n∥α，又m⊥α，所以m⊥n，即②③④⇒①. 10．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 答案： DM⊥PC(或MB⊥PC) 解析：连接AC， 因为底面ABCD各边都相等，所以AC⊥BD，因为PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PA⊥BD，又AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC．所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，PC与平面MBD内两条相交直线垂直，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD． 四、解答题 11.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点． (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE. 证明：(1)因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD． 因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC． 又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC． (2)因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE. 因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD．所以AB⊥AE. 又AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB，所以AE⊥平面PAB． 因为AE⊂平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE. 12．(2025·沈阳模拟)在四面体ABCD中，△BCD为正三角形，AB与平面BCD不垂直，则(　　) A．AB与CD可能垂直 B．点A在平面BCD内的射影可能是B C．AB与CD不可能垂直 D．平面ABC与平面BCD不可能垂直 A　解析：对于A，C，当四面体ABCD为正四面体时，如图所示，点A在平面BCD上的射影为O， 即OA⊥平面BCD．由于CD⊂平面BCD，所以OA⊥CD．连接BO并延长交CD于点F，则CD⊥BF，由于AO∩BF＝O，AO，BF⊂平面ABO，所以CD⊥平面ABO.由于AB⊂平面ABO，所以AB⊥CD，故A正确，C错误．对于B，若点A在平面BCD内的射影是B，则AB与平面BCD垂直，与已知矛盾，故B错误．对于D，当点A在平面BCD内的射影在直线BC(除点B)上时，平面ABC与平面BCD垂直，故D错误． 13．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AC＝AB＝AA1＝1，设D，E分别是棱CC1上的两个动点，且满足DE＝1，则下列结论错误的是 (　　) A．平面ABC⊥平面B1DE B．A1A∥平面B1DE C．AB1⊥平面ADE D．三棱锥A­B1DE体积为定值 C　解析：A选项，过点A作AF⊥BC，垂足为点F，根据直三棱柱的性质可知BB1⊥平面ABC． 由于AF⊂平面ABC，所以BB1⊥AF，由于BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，所以AF⊥平面BCC1B1，即AF⊥平面B1DE，由于AF⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面B1DE，A选项正确；B选项，根据三棱柱的性质可知A1A∥CC1，即A1A∥DE，由于A1A⊄平面B1DE，DE⊂平面B1DE，所以A1A∥平面B1DE，B选项正确；C选项，若AB1⊥平面ADE，则AB1⊥平面AA1C1C，由于A1A⊂平面AA1C1C，所以AB1⊥A1A，这与已知AB1，A1A不垂直矛盾，C选项错误；D选项，VA­B1DE＝VB1­ADE，由于△ADE的面积为定值，点B1到平面AA1C1C的距离为定值，所以VA­B1DE＝VB1­ADE为定值，所以D选项正确． 14.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是底面ABCD(含边界)上一动点，且满足A1P⊥EF，则线段A1P的长度的取值范围是________． 答案：[，]　解析：如图所示，连接BC1，A1D，A1C，可得EF∥BC1，A1D⊥BC1，∴A1D⊥EF.又DC⊥EF，A1D∩DC＝D，A1D⊂平面A1DC，DC⊂平面A1DC，∴EF⊥平面A1DC，∴A1C⊥EF，∴当点P在线段CD上运动时，有A1P⊥EF.当P与D重合时，A1P有最小值，当P与C重合时，A1P有最大值，∴A1P的长度的取值范围是[，]. 15．如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，E分别在棱BB1，CC1上，棱AA1⊥底面ABC，且AB＝BC＝CA＝CE＝EC1＝2BD，记过点A，D，E的平面为α. (1)画出平面α与底面ABC的交线； (2)求证：平面α⊥平面ACC1A1. (1)解：如图所示，分别延长ED和CB相交于点F，连接AF，则AF即为所作交线． (2)证明：因为CE＝2BD，且CC1∥BB1，所以B是CF的中点，所以CB＝BF. 又CB＝AB，所以BC＝BF＝BA． 可知△FAC是直角三角形，∠FAC＝，即AF⊥AC． 而平面ACC1A1⊥平面ABC，且平面ACC1A1∩平面ABC＝AC， 所以AF⊥平面ACC1A1. 又AF⊂平面α，故平面α⊥平面ACC1A1. 16.如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，Q为AD的中点． (1)求证：DB⊥PQ； (2)在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB，若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由． (1)证明：在正三角形PAD中，Q为AD的中点，故PQ⊥AD． 因为侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，PQ⊂平面PAD， 所以PQ⊥底面ABCD． 又DB⊂底面ABCD，所以DB⊥PQ. (2)解：存在点N，当N为AB的中点时，平面PCN⊥平面PQB，证明如下， 由(1)知PQ⊥底面ABCD，又CN⊂底面ABCD，所以PQ⊥CN. 因为四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，N为AB的中点，所以BA＝CB，AQ＝BN， ∠QAB＝∠NBC＝90°，所以△QAB≌△NBC，所以∠AQB＝∠BNC． 因为∠AQB＋∠ABQ＝90°，所以∠CNB＋∠ABQ＝90°，所以CN⊥BQ， 而PQ∩BQ＝Q，PQ，BQ⊂平面PQB，所以CN⊥平面PQB． 又CN⊂平面PCN，所以平面PCN⊥平面PQB． 学科网（北京）股份有限公司 $$