课时训练（3）空间点、直线、平面之间的位置关系（Word练习）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

一、单选题 1．(2025·烟台二中期末)在空间中，“直线AB与CD没有公共点”是“直线AB与CD异面”的(　　) A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：在空间中，若直线AB与CD没有公共点，则直线AB与CD平行或异面．故“直线AB与CD没有公共点”是“直线AB与CD异面”的必要不充分条件． 2．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则(　　) A．l⊂α B．l⊄α C．l∩α＝M D．l∩α＝N A　解析：∵M∈a，a⊂α，∴M∈α，又N∈b，b⊂α，∴N∈α.又M∈l，N∈l，则l⊂α.故A正确，B错误．l∩α＝l，C，D错误． 3．已知平面α∩平面β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且B∉l，又AC∩l＝M，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是(　　) A．直线CM B．直线BM C．直线AB D．直线BC B　解析：已知过A，B，C三点确定的平面为γ，则AC⊂γ.又AC∩l＝M，则M∈γ，又平面α∩平面β＝l，则l⊂α，l⊂β，又AC∩l＝M，所以M∈β，因为B∈β，B∈γ，所以β∩γ＝BM. 4．(2025·广州模拟)已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，且a∩b＝O，则下列结论正确的是(　　) A．直线b与直线c可能是异面直线 B．直线a与直线c可能平行 C．直线a，b，c必然交于一点(即三线共点) D．直线c与平面α可能平行 C　解析：因为α∩β＝a，α∩γ＝b，a∩b＝O， 所以O∈α，O∈β，O∈γ.因为β∩γ＝c，所以O∈c，所以直线a，b，c必然交于一点(即三线共点)，故A，B错误，C正确；假设直线c与平面α平行，由O∈c，可知O∉α，这与O∈α矛盾，故假设不成立，D错误． 5.(2024·临沂模拟)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° C　解析：如图，连接DB，A1B，A1D，则B1C∥A1D．∵E，F分别是AB，AD的中点，∴DB∥EF，∴∠A1DB是异面直线B1C与EF所成的角，且△A1DB是等边三角形，∴∠A1DB＝60°. 6．(2025·金华模拟)已知直线l，平面α满足l⊄α，则下列命题一定正确的是(　　) A．存在直线m⊂α，使l∥m B．存在直线m⊂α，使l⊥m C．存在直线m⊂α，使l，m相交 D．存在直线m⊂α，使l，m所成角为 B　解析：对于A，若直线l与α相交，则α内的直线与l相交或异面，因此若l与α相交，则不存在直线m⊂α，使l∥m，故A错误；对于B，由于l⊄α，所以l与α相交或平行，不论是相交还是平行，均可在α内找到与l垂直的直线m，故B正确；对于C，当l∥α时，α内的直线与l平行或异面，所以不存在m⊂α，使l，m相交，故C错误；对于D，当直线l⊥α时，直线l与α内的所有直线均垂直，故不存在直线m⊂α，使l，m所成角为，故D错误． 7．四边形ABCD是矩形，AB＝3AD，点E，F分别是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕EF旋转至与四边形BEFC重合，则直线ED，BF所成角α在旋转过程中(　　) A．逐步变大 B．逐步变小 C．先变小后变大 D．先变大后变小 D　解析：由题可知初始时刻ED与BF所成的角为0，如图1，故B，C错误； 图1 在四边形AEFD绕EF旋转的过程中，EF⊥DF，EF⊥FC，DF∩FC＝F，DF，FC⊂平面DFC，所以EF⊥平面DFC，EF⊂平面EFCB，所以平面DFC⊥平面EFCB，故点D在平面BCFE内的投影P一直落在直线CF上，如图2. 图2 所以一定存在某一时刻EP⊥BF，而DP⊥平面EFCB，DP⊥BF，又DP∩PE＝P，DP，PE⊂平面DPE，所以BF⊥平面DPE，此时DE与BF所成的角为，然后α开始变小，故直线ED，BF所成角α在旋转过程中先变大后变小，故A错误，D正确． 8．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面的形状为 (　　) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 B　解析：如图，连接AD1，BC1，D1F，因为E，F分别为BC，CC1的中点，所以EF∥BC1，又在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AD1∥BC1，所以EF∥AD1，则A，D1，F，E四点共面，则平面AEF截正方体所得的截面多边形的形状为四边形． 二、多选题 9．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　) A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1共面 C．A，M，C，O共面 D．B，B1，O，M共面 ABC　解析：∵M∈A1C，A1C⊂平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面．∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面． 10.木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块ABCD­A1B1C1D1时，为了经过木料表面CDD1C1内一点P和棱AA1将木料平整锯开，需要在木料表面CDD1C1过点P画直线l.则下列结论正确的是(　　) A．l∥DD1 B．l∥BB1 C．l与直线AA1相交 D．l与直线CC1相交 CD　解析：延长A1A，B1B交于点M，则C1C，D1D的延长线也过点M，如图所示， 因为M∈AA1，则M∈平面PAA1，则直线PM即为所求作的直线l，所以直线l与直线AA1，直线BB1，直线CC1，直线DD1都相交． 11.(2025·济宁模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，则在这个正四面体中，下列命题正确的是(　　) A．GH与EF平行 B．BD与MN为异面直线 C．GH与MN成60°角 D．DE与MN垂直 BCD　解析：把平面展开图还原成正四面体A­DEF，如图所示， 其中H与N重合，A，B，C三点重合，易知GH与EF异面，BD与MN异面，连接GM.∵△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角．由图易得DE⊥AF，又MN∥AF，∴MN⊥DE，因此正确的选项是BCD． 三、填空题 12．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________． 答案：4　解析：因为AB∥CD，由题图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面，与上下底面，前后侧面相交． 13．已知a，b，c是不同的直线，α是平面．①若a∥b，b∩c＝A，则直线a与直线c的位置关系是________；②若a⊥b，b⊥α，则直线a与平面α的位置关系是________． 答案：①相交或异面　②a∥α或a⊂α　解析：①∵a∥b，b∩c＝A，∴直线a与直线c的位置关系是相交或异面．②∵a⊥b，b⊥α，∴直线a与平面α的位置关系是a∥α或a⊂α. 14．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，过O点作一条直线l与A1D平行，设直线l与直线OC1的夹角为θ，则cos θ＝________． 答案： 　解析：如图所示，设正方体的表面ABB1A1的中心为点P，容易证明OP∥A1D，所以直线l即为直线OP，∠POC1＝θ或π－θ. 设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则OP＝A1D＝，OC1＝，PC1＝，则cos θ＝|cos ∠POC1|＝||＝＝. 15．(2025·珠海二模)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点，则在空间中与直线A1D1，EF，DC都相交的直线(　　) A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有且仅有三条 D．有无数条 D　解析：如图，在EF上任意取一点M，直线A1D1与点M确定一个平面，这个平面与DC有且仅有1个交点N，当点M取不同的位置就确定不同的平面，从而与DC有不同的交点N，而直线MN与直线A1D1，EF，DC都有交点，故在空间中与三条直线A1D1，EF，DC都相交的直线有无数条． 16．已知正四面体ABCD的棱长为1，过点B作截面α分别交棱AC，AD于E，F两点，且四面体ABEF的体积为四面体ABCD体积的，则EF的最小值为(　　) A． B． C． D． D　解析：由题意知VB­AEF＝VB­ACD，则S△AEF＝S△ACD＝××1×1×sin 60°＝.∴AE·AF＝＝.在△AEF中，由余弦定理得EF2＝AE2＋AF2－2AE·AF·cos ∠EAF＝AE2＋AF2－AE·AF≥2AE·AF－AE·AF＝，当且仅当AE＝AF＝时，等号成立，∴EF的最小值为. 17．如图，AB和CD是异面直线，AB＝CD＝3，E，F分别为线段AD，BC上的点，且＝＝，EF＝，则AB与CD所成角的大小为________． 答案：60°　解析：在平面ABD中，过E作EG∥AB，交DB于点G，连接GF，如图， ∵＝，∴＝，又＝，∴＝，则GF∥CD，∴∠EGF(或其补角)即为AB与CD所成的角．在△EGF中，EG＝AB＝2，GF＝CD＝1，EF＝，∴cos ∠EGF＝＝－，∴∠EGF＝120°，∴AB与CD所成角的大小为60°. 18．已知在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则A1P＋PC的最小值为________． 答案：　解析：如图1，连接A1B，由已知数据可得BC1＝2，A1B＝2，则A1C＋BC＝A1B2，∴∠A1C1B＝90°.将△BCC1沿BC1展平在平面A1BC1内，连接A1C，如图2，则A1P＋PC的最小值为线段A1C的长．在△A1C1C中，A1C1＝2，CC1＝，易知∠A1C1C＝135°，由余弦定理，得A1C2＝A1C＋CC－2A1C1·CC1·cos ∠A1C1C＝22＋()2－2×2××cos 135°＝4＋2＋4＝10，∴A1C＝，即A1P＋PC的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$