第1章 一元二次方程 单元测试卷 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

第 1页（共 4页） 第 1 章 一元二次方程 单元测试卷 （考试时间为 100 分钟，满分为 120 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的。） 1．用配方法解方程 x2﹣8x﹣1＝0时，配方后得到的方程为（ ） A．（x﹣4）2＝15 B．（x+4）2＝17 C．（x﹣4）2＝17 D．（x﹣8）2＝65 2．若关于 x 的一元二次方程 2x2+mx﹣3m＝0的一个根是 1，则 m 的值为（ ） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 3．若α，β（α≠β）是一元二次方程 x2﹣3x﹣10＝0的两个根，则α+β的值为（ ） A．﹣3 B．3 C．﹣10 D．10 4．若 a 为方程 2x2+x﹣4＝0的解，则 6a2+3a﹣9的值为（ ） A．2 B．3 C．﹣4 D．﹣9 5．下列一元二次方程中没有实数根的是（ ） A．2x2﹣x﹣3＝0 B．x2+4x+4＝0 C．x2﹣2＝0 D．3x2﹣4x+5＝0 6．若关于 x 的一元二次方程 kx2﹣x+1＝0有实数根，则 k 的取值范围是（ ） A．k＞ 14且 k≠0 B．k＜ 1 4且 k≠0 C．k≤ 1 4且 k≠0 D．k＜ 1 4 7．关于 x 的方程 x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根 x1，x2满足 x1＝2x2+3，且 x1＞x2，则 m 的值为（ ） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 8．影片《哪吒 2》让观众感受到科技赋能与传统文化展现的非凡魅力．首日票房约 4.87亿，上映仅三天， 在中国内地票房已达 15.86亿．设日平均增长率为 x，则可以列方程为（ ） A．4.87（1+2x）＝15.86 B．4.87（1+x）2＝15.86 C．4.87×3（1+x）＝15.86 D．4.87[1+（1+x）+（1+x）2]＝15.86 9．某足球训练基地组织了一次单循环的足球比赛（每两支队伍之间比赛一场），共进行了 36场比赛，设 该基地这次有 x 支队伍参加了比赛，依题意可列方程为（ ） A． �(�−1) 2 = 36 B． �(�+1) 2 = 36 C．x（x+1）＝36 D．x（x﹣1）＝36 第 2页（共 4页） 10．已知一元二次方程 a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程 a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0） 的两根分别为（ ） A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．不需写出解答过程，） 11．方程（x+2）2＝3（x+2）的解是 ． 12．若关于 x 的一元二次方程 x2+5x+m＝0的一个根为﹣2，则另一个根为 ． 13．关于 x 的方程 x2﹣3x+m+1＝0没有实数根，则 m 的取值范围为 ． 14．如图，学校将一面积为 110m2的矩形空地一边增加 4m，另一边增加 5m 后，建成了一个 正方形训练场，则此训练场的面积为 m2． 15．已知 x1，x2是方程 x2+6x+3＝0的两实数根，则 �2 �1 + �1 �2 的值为 ． 16．已知 m 是方程 x2+x﹣1＝0的根，则式子 m3+2m2+2017的值为 ． 17．已知（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，则 a2+b2的值为 ． 18．已知：m2+2m﹣4＝0，n2+2n﹣4＝0（m≠n），则 ��+�+4 � 的值为 ． 三．解答题（本大题共 6 小题，共 66 分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤） 19．（本小题满分 12 分）解方程： （1）x2﹣4x+2＝0； （2）2x2+2x﹣3＝0； （3）x（x﹣2）＝3x﹣6． 20．（本小题满分 8 分）解方程： （1）x2﹣9＝5（x﹣3）； （2）（x+1）（x﹣3）＝2． 第 3页（共 4页） 21．（本小题满分 10 分） 已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+2）x+2m﹣1＝0． （1）求证：不论 m 取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若 x1，x2是该方程的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝a，求 a 的值． 22．（本小题满分 12 分） 已知，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙 （可利用的墙长为 28m），另外的边利用学校现有总长 55m 的铁栏围成，其中平行于墙的 BC 边开有两 个长为 1米的木质门． （1）若围成的面积为 270m2，试求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为 300m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 23．（本小题满分 12 分） 靖州杨梅享有“江南第一梅”的美誉，靖州作为杨梅之乡，当地政府为了把杨梅文化，打造成当地旅游名 片，当地政府多次举办杨梅节活动．原来每盒杨梅进货价为 100元，经过两次降价后每盒进货价为 36 元，并且每次降价的百分率相同． （1）请问每次降价的百分率为多少？ （2）朴实水果店以 36元每盒进货了 200盒杨梅，计划以每盒标价 50元出售．由于恰逢端午佳节，店 铺准备开展大促销活动，所有商品一律八折．若要使 200盒杨梅全部售出后的利润不少于 2000元，则 至少需要在促销活动开始前卖出多少盒？ 第 4页（共 4页） 24．（本小题满分 12 分） 嘉海学校八年级开展社会实践活动，如表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个 问题． 嘉海学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 2023.4.26 班级人员 802王嘉、马俊、张 宁 地点 城南蔬菜超市 实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 青菜的进价为 2元/千克． 青菜售价为 2.5元/千克时，每天可销售 125千克． 每千克每涨价 0.1元，每天少销售 5千克． 解决问题 问题 1 某天超市正好销售 105千克的青菜，则获利 多少元？ 问题 2 若超市想一天销售青菜获利 100元，则青菜 的售价为多少元/千克？ 声明：试题解析著作权属菁 答案与解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B D C C D A B 二．填空题（共8小题） 11．方程（x+2）2＝3（x+2）的解是　x1＝﹣2，x2＝1　 ． 解：方程移项得：（x+2）2﹣3（x+2）＝0， 分解因式得：（x+2）（x+2﹣3）＝0， 可得x+2＝0，或x﹣1＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝1． 故答案为：x1＝﹣2，x2＝1 12．若关于x的一元二次方程x2+5x+m＝0的一个根为﹣2，则另一个根为 　﹣3　 ． 解：设另一个根为x，则 x﹣2＝﹣5， 解得x＝﹣3． 故答案为：﹣3． 13．关于x的方程x2﹣3x+m+1＝0没有实数根，则m的取值范围为　m　 ． 解：∵关于x的方程x2﹣3x+m+1＝0没有实数根， ∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（m+1）＜0， 解得：m． 故答案为：m． 14．如图，学校将一面积为110m2的矩形空地一边增加4m，另一边增加5m后，建成了一个正方形训练场，则此训练场的面积为　225　 m2． 解：设训练场的边长为x m，则原空地的长为（x﹣4）m，宽为（x﹣5）m， 依题意，得（x﹣4）（x﹣5）＝110， 解之，得x＝15， 所以，训练场的面积为225 m2． 故答案为：225． 15．已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则的值为 　10　 ． 解：根据题意得x1+x2＝﹣6，x1x2＝3， 所以10． 故答案为10． 16．已知m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子m3+2m2+2017的值为　2018　 ． 解：∴m是方程x2+x﹣1＝0的根， ∴m2+m﹣1＝0， ∴m2＝﹣m+1， ∴m3＝m（﹣m+1）＝﹣m2+m＝m﹣1+m＝2m﹣1 ∴m3+2m2+2017＝2m﹣1+2（﹣m+1）+2017＝2m﹣1+2m+2+2017＝2018． 故答案为：2018． 17．已知（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，则a2+b2的值为　3　 ． 解：设a2+b2＝y， 据题意得y2﹣y﹣6＝0， 解得y1＝3，y2＝﹣2， ∵a2+b2≥0， ∴a2+b2＝3． 故答案为3． 18．已知：m2+2m﹣4＝0，n2+2n﹣4＝0（m≠n），则的值为 　1　 ． 解：∵m2+2m﹣4＝0，n2+2n﹣4＝0， ∴m，n是方程x2+2x﹣4＝0， ∴mn＝﹣4， ∴1， 故答案为：1． 三．解答题（共6小题） 19．解方程： （1）x2﹣4x+2＝0； （2）2x2+2x﹣3＝0； （3）x（x﹣2）＝3x﹣6． 解：（1）x2﹣4x+2＝0， x2﹣4x＝﹣2， x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2， ∴x﹣2， ∴x1＝2，x2＝2． （2）2x2+2x﹣3＝0， ∵Δ＝22﹣4×2×（﹣3）＝28＞0， ∴x， ∴x1，x2． （3）x（x﹣2）＝3x﹣6． x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣3）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝2，x2＝3． 20．解方程： （1）x2﹣9＝5（x﹣3）； （2）（x+1）（x﹣3）＝2． 解：（1）x2﹣9＝5（x﹣3）， （x+3）（x﹣3）﹣5（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x+3﹣5）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝3，x2＝2． （2）（x+1）（x﹣3）＝2， 整理得，x2﹣2x＝5， x2﹣2x+1＝5+1，即（x﹣1）2＝6， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝1，x2＝1． 21．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+2）x+2m﹣1＝0． （1）求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝a，求a的值． （1）证明：关于x的一元二次方程x2+（2m+2）x+2m﹣1＝0， ∵Δ＝（2m+2）2﹣4×1×（2m﹣1） ＝4m2+8m+4﹣8m+4 ＝4m2+8＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得x1+x2＝﹣2m﹣2，x1x2＝2m﹣1， ∵（x1+1）（x2+1）＝a， ∴x1x2+（x1+x2）+1＝a， ∴2m﹣1+（﹣2m﹣2）+1＝a， 解得：a＝﹣2． 22．已知，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为28m），另外的边利用学校现有总长55m的铁栏围成，其中平行于墙的BC边开有两个长为1米的木质门． （1）若围成的面积为270m2，试求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为300m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 解：（1）设车棚的宽为x m，则长为55﹣3x+1+1＝（57﹣3x）m，根据题意得： x（57﹣3x）＝270， 解得：x1＝9，x2＝10， 当x＝9时，57﹣3x＝30＞28，不符合题意，舍去； 当x＝10时，57﹣3x＝27， 答：车棚的长为27m，宽为10m； （2）不能，理由如下： 假设能围成面积为300m2的自行车车棚， 设车棚的宽为ym，则长为55﹣3y+1+1＝（57﹣3y）m，根据题意得： y（57﹣3y）＝300， 整理得：y2﹣19y+100＝0， 此时Δ＝（﹣19）2﹣4×100＝﹣38＜0， 所以此方程无解． 即不能围成面积为300m2的自行车车棚． 23．靖州杨梅享有“江南第一梅”的美誉，靖州作为杨梅之乡，当地政府为了把杨梅文化，打造成当地旅游名片，当地政府多次举办杨梅节活动．原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，并且每次降价的百分率相同． （1）请问每次降价的百分率为多少？ （2）朴实水果店以36元每盒进货了200盒杨梅，计划以每盒标价50元出售．由于恰逢端午佳节，店铺准备开展大促销活动，所有商品一律八折．若要使200盒杨梅全部售出后的利润不少于2000元，则至少需要在促销活动开始前卖出多少盒？ 解：（1）设每次降价的百分率是x， 由题意得：100（1﹣x）2＝36， 解得：x1＝0.4＝40%，x2＝1.6（不符合题意，舍去）， 答：每次降价的百分率是40%； （2）设需要在促销活动开始前卖出m盒， 由题意得：50m+50×0.8（200﹣m）﹣36×200≥2000， 解得：m≥120， 答：至少需要在促销活动开始前卖出120盒． 24．嘉海学校八年级开展社会实践活动，如表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． 嘉海学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 2023.4.26 班级人员 802王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市 实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 青菜的进价为2元/千克． 青菜售价为2.5元/千克时，每天可销售125千克． 每千克每涨价0.1元，每天少销售5千克． 解决问题 问题1 某天超市正好销售105千克的青菜，则获利多少元？ 问题2 若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为多少元/千克？ 解：问题1：设售价为x元/千克， ， ，， 5x﹣12.5＝2，5x＝14.5，x＝2.9， 则获利：（2.9﹣2）×105＝94.5（元）， 答：某天超市正好销售105千克的青菜，则获利94.5元； 问题2：设青菜的售价为x元/千克，超市会一天销售青菜获利100元， ， （x﹣2）（250﹣50x）＝100， 50x2﹣350x+600＝100， x2﹣7x+12＝0， （x﹣3）（x﹣4）＝0， x1＝3，x2＝4， ∵帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠， ∴青菜的售价为3元/千克， 答：若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为3元/千克． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 一元二次方程 单元测试卷 （考试时间为100分钟，满分为120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。） 1．用配方法解方程x2﹣8x﹣1＝0时，配方后得到的方程为（　　） A．（x﹣4）2＝15 B．（x+4）2＝17 C．（x﹣4）2＝17 D．（x﹣8）2＝65 2．若关于x的一元二次方程2x2+mx﹣3m＝0的一个根是1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 3．若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣3x﹣10＝0的两个根，则α+β的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣10 D．10 4．若a为方程2x2+x﹣4＝0的解，则6a2+3a﹣9的值为（　　） A．2 B．3 C．﹣4 D．﹣9 5．下列一元二次方程中没有实数根的是（　　） A．2x2﹣x﹣3＝0 B．x2+4x+4＝0 C．x2﹣2＝0 D．3x2﹣4x+5＝0 6．若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k且k≠0 B．k且k≠0 C．k且k≠0 D．k 7．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 8．影片《哪吒2》让观众感受到科技赋能与传统文化展现的非凡魅力．首日票房约4.87亿，上映仅三天，在中国内地票房已达15.86亿．设日平均增长率为x，则可以列方程为（　　） A．4.87（1+2x）＝15.86 B．4.87（1+x）2＝15.86 C．4.87×3（1+x）＝15.86 D．4.87[1+（1+x）+（1+x）2]＝15.86 9．某足球训练基地组织了一次单循环的足球比赛（每两支队伍之间比赛一场），共进行了36场比赛，设该基地这次有x支队伍参加了比赛，依题意可列方程为（　　） A． B． C．x（x+1）＝36 D．x（x﹣1）＝36 10．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（　　） A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，） 11．方程（x+2）2＝3（x+2）的解是　 　 ． 12．若关于x的一元二次方程x2+5x+m＝0的一个根为﹣2，则另一个根为 　 　 ． 13．关于x的方程x2﹣3x+m+1＝0没有实数根，则m的取值范围为　 　 ． 14．如图，学校将一面积为110m2的矩形空地一边增加4m，另一边增加5m后，建成了一个正方形训练场，则此训练场的面积为　 　 m2． 15．已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则的值为 　 　 ． 16．已知m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子m3+2m2+2017的值为　 　 ． 17．已知（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，则a2+b2的值为　 　 ． 18．已知：m2+2m﹣4＝0，n2+2n﹣4＝0（m≠n），则的值为 　 　 ． 三．解答题（本大题共6小题，共66分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本小题满分12分）解方程： （1）x2﹣4x+2＝0； （2）2x2+2x﹣3＝0； （3）x（x﹣2）＝3x﹣6． 20．（本小题满分8分）解方程： （1）x2﹣9＝5（x﹣3）； （2）（x+1）（x﹣3）＝2． 21．（本小题满分10分） 已知关于x的一元二次方程x2+（2m+2）x+2m﹣1＝0． （1）求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝a，求a的值． 22．（本小题满分12分） 已知，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为28m），另外的边利用学校现有总长55m的铁栏围成，其中平行于墙的BC边开有两个长为1米的木质门． （1）若围成的面积为270m2，试求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为300m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 23．（本小题满分12分） 靖州杨梅享有“江南第一梅”的美誉，靖州作为杨梅之乡，当地政府为了把杨梅文化，打造成当地旅游名片，当地政府多次举办杨梅节活动．原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，并且每次降价的百分率相同． （1）请问每次降价的百分率为多少？ （2）朴实水果店以36元每盒进货了200盒杨梅，计划以每盒标价50元出售．由于恰逢端午佳节，店铺准备开展大促销活动，所有商品一律八折．若要使200盒杨梅全部售出后的利润不少于2000元，则至少需要在促销活动开始前卖出多少盒？ 24．（本小题满分12分） 嘉海学校八年级开展社会实践活动，如表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． 嘉海学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 2023.4.26 班级人员 802王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市 实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 青菜的进价为2元/千克． 青菜售价为2.5元/千克时，每天可销售125千克． 每千克每涨价0.1元，每天少销售5千克． 解决问题 问题1 某天超市正好销售105千克的青菜，则获利多少元？ 问题2 若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为多少元/千克？ 声明：试题解析著作权属菁 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$