专题03 与数轴有关的数形结合思想（举一反三专项训练）数学湘教版2024七年级上册

专题03 与数轴有关的数形结合思想（举一反三专项训练） 【湘教版2024】 【题型1 利用数轴确定数的范围】 1 【题型2 数轴与距离】 2 【题型3 数轴与相反数】 3 【题型4 数轴与绝对值】 3 【题型5 利用数轴比较大小】 4 【题型6 利用数轴的几何意义求最值】 4 【题型7 数轴中的相遇问题】 5 【题型8 数轴中的折返问题】 6 【题型9 数轴中两线段和差倍分问题】 8 【题型10 数轴动点中的定值问题】 8 【题型1 利用数轴确定数的范围】 【例1】（2025·河北邯郸·二模）如图，数轴上有三个点，，，其中是线段的中点，则原点的位置（    ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 【变式1-1】（24-25七年级上·江苏常州·期末）若数a在数轴上对应点的位置如图所示，则表示的点在（   ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【变式1-2】（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，表示数a的点在线段上，则表示数a的相反数的点所在的线段是（    ）    A． B． C． D． 【变式1-3】（2023七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上有A，B两个点，如果点C也在数轴上，且，那么点C所在的位置可能在（　　） A．点A左侧 B．点A和点B之间 C．点B右侧 D．无法确定 【题型2 数轴与距离】 【例2】（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，某同学将刻度尺如图放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C．3 D． 【变式2-1】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，把一个平行四边形纸板的一边紧靠数轴平移．点P平移的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，点A是硬币圆周上一点，点A与数2所对应的点重合．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一圈，点A恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·河北秦皇岛·一模）如图，数轴上两个相邻刻度的距离是一个单位长度，点、、、对应的位置如图所示，它们所表示的数分别是、、、，且，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【题型3 数轴与相反数】 【例3】（2025·河南商丘·二模）如图，数轴上点与点表示的数是一对相反数，则与原点距离最近的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3-1】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若表示互为相反数的两个数的点A、B在数轴上的距离为16个单位长度，点A沿数轴先向右运动2秒，再向左运动5秒到达点C，设点A的运动速度为每秒2个单位长度，则点C在数轴上表示的数的相反数为 ． 【变式3-2】（2024七年级上·全国·专题练习）点A、B、D在数轴上的位置如图所示，点A、B表示的数互为相反数，若点B所表示的数为2，且，则点D所表示的数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3-3】（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）已知数轴上M，N，P，Q四点所表示的数分别为m，n，p，q且，其中有两个数的和为0，且满足．若．则这四个数中可能互为相反数的是 ． 【题型4 数轴与绝对值】 【例4】（24-25七年级上·陕西安康·期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与b的绝对值相等，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点如图所示，这四个数中绝对值最小的是 ． 【变式4-2】（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：墨水遮住了绝对值不大于3的所有整数；结论Ⅱ：墨水遮住的整数之和为3 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 【变式4-3】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）四个有理数m，n，p，q在数轴上的位置如图所示，若，则m，n，p，q四个有理数中，绝对值最大的是 ． 【题型5 利用数轴比较大小】 【例5】已知有理数，在数轴上的位置如图所示，则，，，从大到小的顺序为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25六年级上·山东淄博·期末）请在如图所示的“只有单位长度和正方向，还未标出原点”的数轴上表示下列各数，并按照从大到小的顺序将这些数用“”号连接起来． ，，，， 【变式5-2】（24-25七年级上·广西柳州·期中）画出数轴，在数轴上标出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序用“>”号把这些数连接起来： ． 【变式5-3】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将a、b、、按从大到小的顺序排列，并用“”号连接，结果为 ． 【题型6 利用数轴的几何意义求最值】 【例6】（23-24七年级上·重庆·期中）点A、B在数轴上分别表示数a、b，若A、B两点之间的距离表示为，则在数轴上A、B两点之间的距离． ①数轴上表示、的两点之间的距离表示为； ②若，则； ③若存在整数，使的值最小时，则，0，2； ④若的最小值是2，则． 则上述说法，正确的有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式6-1】（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，则对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ． 【变式6-2】（24-25七年级上·北京·期中）我们知道|x|表示x在数轴上对应的点到原点的距离，表示 x 与 a 在数轴上对应的点之间的距离．例：表示数x与1在数轴上表示的点的距离是2个单位长度，如图所示，即可得出x的值为或3． 根据以上材料，解答下列问题： (1)若，则x的值为__________； (2)若数轴上表示数a的点位于表示与2的两点之间，则求的计算结果； (3)已知有理数b，则的计算结果是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说出理由． 【变式6-3】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点在数轴上分别对应的数为，，则两点间的距离表示为，根据以上知识解题： ①当代数式取最小值时，的取值范围是 ，最小值为 ． ②求的最小值为 ． 【题型7 数轴中的相遇问题】 【例7】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知a是最大的负整数，，c是的相反数，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数． (1)求a，b，c的值，并在如图的数轴上标出点A，B，C； (2)在数轴上，若点D到点A的距离刚好是5，则点D叫做点A的“幸福点”．求点A的幸福点D所表示的数； (3)若动点P从点B出发沿数轴向负方向运动，动点Q同时从点A出发也沿数轴向负方向运动，点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度，求运动几秒后，点Q可以追上点P？ 【变式7-1】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． (1)与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ； (2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 【变式7-2】（22-23七年级上·山东青岛·期末）数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B，C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动．其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒， 时，M、N两点相遇（结果化为小数）． 【变式7-3】（24-25七年级上·山西吕梁·期末）已知是最大的负整数，是的相反数，且分别是点在数轴上对应数． (1)求的值，并在数轴上标出点； (2)若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度每秒5个单位长度，点的速度是每秒3个单位长度，若运动秒后，点可以追上点，求的值． 【题型8 数轴中的折返问题】 【例8】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）四个点、、、在数轴上的位置如图所示，已知，，，若点为原点，点、分别从、两点同时出发，点以每秒个单位长度的速度向右运动，到达点后立即按原速向折返；点以每秒个单位长度的速度向左运动．当 、都到达点时运动停止，设运动时间为（单位：秒）． (1)当时，求点与点之间的距离； (2)当 时，点到达点，此时点表示的数是 ； (3)当为何值时，、两点相距个单位？ 【变式8-1】（23-24七年级上·湖北·期末）如图，A点在数轴上对应的有理数是24；动点M从原点O点出发以1单位/秒的速度向右运动，动点N从A点出发以2单位/秒的速度向左运动，两个动点同时出发，设运动时间为t秒． (1)请用含t的式子表示：动点M对应的数为__________，动点N对应的数为__________； (2)如果在运动过程中，M、N两点相距6个单位长，求t的值； (3)M、N在运动过程中，又有一动点p从原点O点开始以3单位/秒的速度向右运动（与M、N同时出发），当相遇点N时立即返回，返回途中遇到M点时又立即折返，如此往返，当M、N相遇时点p停止，此时点p一共运动了__________个单位长度． 【变式8-2】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知数轴上A、B两定点对应的数是，40，动点M、N同时从点A出发向点B运动，点M的速度为3个单位长度/秒，点N的速度为2个单位长度/秒，到达点B后折返向点A继续运动，其中某点回到点A时，全部停止，经过 秒点A到点N的距离刚好等于点B到点M的距离． 【变式8-3】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知数轴上A，B两点对应的数分别为a，b，且a，b满足，点C对应的数为14，点D对应的数为． (1)求a，b的值； (2)点A，B沿数轴同时出发相向匀速运动，点A的速度为4个单位/秒，点B的速度为1个单位/秒，若t秒时点A到原点的距离和点B到原点的距离相等，求t的值； (3)在（2）的条件下，点A，B从起始位置同时出发，当A点运动到点C时，迅速以原来的速度返回，到达出发点后，又折返向点C运动．B点运动至D点后停止运动．当B停止运动时点A也停止运动．求在此过程中，A，B两点同时经过的点在数轴上对应的数． 【题型9 数轴中两线段和差倍分问题】 【例9】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）已知数轴上A点代表，B点代表4，动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当 时，．（当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动） 【变式9-1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，点和在数轴上表示的数分别是和8，动点从出发，以1个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，同时动点从点出发，以3个单位每秒的速度沿射线的方向向左运动，运动时间为秒，当点A，P，Q这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，的值为 ． 【变式9-2】（24-25七年级上·河南郑州·期末）已知点，在数轴上对应的数分别为，，且，若动点在数轴上对应的数为，当＋＝时，的值为 ． 【变式9-3】（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点到其他两个点之间的距离相等时，则称该点是其他两个点的“中点”，这三点为“中点关联点”． 例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，5，此时点B是点A，C的中点． (1)若点A表示数，点B表示数1，若点B是点A与点C的中点，求点C所表示的数； (2)点A表示数，点B表示数15，P为数轴上一个动点，若点A、B、P是“中点关联点”，求此时点P表示的数． 【题型10 数轴动点中的定值问题】 【例10】（23-24七年级上·湖北孝感·期末）如图，数轴上点A，（点A在点左边）所对应的数，满足．P为数轴上一动点，其对应的数为，为原点． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若点为线段的中点，当点P在线段的延长线上运动时，的值是否为定值（即确定的值，不因点P位置的变化而变化）？如是，请求出这个定值；如不是，也请说明理由． 【变式10-1】（23-24七年级上·四川成都·期中）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点表示数是最大的负整数，且满足．    (1) ______， _______， ______； (2)如果点P表示的数为x，当P点到B、C两点的距离之和为8时， ________． (3)点开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点A与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，则________，________．（用含的代数式表示） (4)在（3）的条件下，的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【变式10-2】（24-25七年级上·福建厦门·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且． (1)_____；_____；此时刻快车头A与慢车头之间相距______单位长度； (2)从此时刻开始算起，再行驶多少秒钟两列火车的车头相距8个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头A、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为该学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这段时间的长度及定值；若不正确，请说明理由． 【变式10-3】（24-25七年级上·福建漳州·期中）已知数轴上两点、所表示的数分别为和，且满足，为原点： (1)______，______． (2)若点从点出发向左运动，经过秒后点到点的距离等于点到点的距离，求点的运动速度？（结合数轴，进行分析．） (3)若在数轴上点表示的数为，当点，，开始在数轴上运动，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒个单位长度的速度向左运动，点到达原点后立即以原速度向右运动，运动时间为秒，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问当时，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出这个定值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 与数轴有关的数形结合思想（举一反三专项训练） 【湘教版2024】 【题型1 利用数轴确定数的范围】 1 【题型2 数轴与距离】 3 【题型3 数轴与相反数】 5 【题型4 数轴与绝对值】 7 【题型5 利用数轴比较大小】 9 【题型6 利用数轴的几何意义求最值】 10 【题型7 数轴中的相遇问题】 14 【题型8 数轴中的折返问题】 17 【题型9 数轴中两线段和差倍分问题】 24 【题型10 数轴动点中的定值问题】 27 【题型1 利用数轴确定数的范围】 【例1】（2025·河北邯郸·二模）如图，数轴上有三个点，，，其中是线段的中点，则原点的位置（    ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上找原点，理解中点和数轴的定义是解答关键． 根据中点求出点表示的数，再利用数轴的定义求解． 【详解】是线段的中点， 点表示的数是， 原点位于线段上，且靠近点． 故选：D． 【变式1-1】（24-25七年级上·江苏常州·期末）若数a在数轴上对应点的位置如图所示，则表示的点在（   ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，有理数的加法，根据数a在数轴上对应点的位置可得出，根据有理数的加法法则求出，，然后结合数轴即可解答． 【详解】解∶由数轴知∶， 而，， ∴， ∴表示的点在线段上， 故选∶C． 【变式1-2】（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，表示数a的点在线段上，则表示数a的相反数的点所在的线段是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相反数与数轴，根据题意，可知表示数的点在线段上，则，可得，即可得解．熟练掌握数轴上各点的分布特点是解题的关键． 【详解】解：∵由数轴可知，表示数的点在线段上， ∴， ∴， ∴表示的点所在的线段是． 故选：D． 【变式1-3】（2023七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上有A，B两个点，如果点C也在数轴上，且，那么点C所在的位置可能在（　　） A．点A左侧 B．点A和点B之间 C．点B右侧 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴的有关知识，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式．根据数轴，判断A，B两点表示的数，求出，从而确定点C的位置． 【详解】解：由数轴可知：点A表示的数为，点B表示的数为1， ∴， ∵， ∴点C一定在点A和点B之间， 故选：B． 【题型2 数轴与距离】 【例2】（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，某同学将刻度尺如图放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是数轴的概念，解题的关键是确定数轴上的单位长度等于多少厘米．先求出，从而可得每一个刻度对应数轴上的单位长度，再列出运算式子，计算有理数的乘除法可得的长，然后根据数轴的性质即可得． 【详解】解：由题意得：， 数字对齐数轴上的点，点对齐刻度，点对齐刻度， ， ， 解得， 故选：A． 【变式2-1】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，把一个平行四边形纸板的一边紧靠数轴平移．点P平移的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质和数轴上两点的距离，主要利用了平移对应点所连的线段相等解决问题． 根据平移的性质可得即为数轴上对应两点平移的距离解答． 【详解】解：， 即点平移的距离为 4 ． 故选：D． 【变式2-2】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，点A是硬币圆周上一点，点A与数2所对应的点重合．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一圈，点A恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，以及数轴上两点之间的距离，解题关键是求出硬币的周长．根据题意得到硬币的周长，再结合数轴上两点之间的距离求解，即可解题． 【详解】解：硬币的直径为1个单位长度， 硬币的周长为， 点A为2， 点对应的实数是， 故选：B． 【变式2-3】（2025·河北秦皇岛·一模）如图，数轴上两个相邻刻度的距离是一个单位长度，点、、、对应的位置如图所示，它们所表示的数分别是、、、，且，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识．设点对应的数是，则点表示的数是：，点表示的数是：，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设点对应的数是， 数轴上每相邻两点相距一个单位长度， 点表示数位：，点表示的数是：，点表示的数是：， 又点、、、所表示的数分别是、、、，且， ， 解得：， 故选：D． 【题型3 数轴与相反数】 【例3】（2025·河南商丘·二模）如图，数轴上点与点表示的数是一对相反数，则与原点距离最近的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值，相反数定义，根据点与点表示的有理数互为相反数标出原点，然后根据绝对值的定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点与点表示的有理数互为相反数， ∴原点的位置大约在点，如图， ∴绝对值最小的数的点是点，即到原点距离最近的是点， 故选：． 【变式3-1】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若表示互为相反数的两个数的点A、B在数轴上的距离为16个单位长度，点A沿数轴先向右运动2秒，再向左运动5秒到达点C，设点A的运动速度为每秒2个单位长度，则点C在数轴上表示的数的相反数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴，正确理解题意是解题的关键．根据题意得到点表示的数为，于是求出点运动的距离为，进而即可得到答案． 【详解】解：表示互为相反数的两个数的点A、B在数轴上的距离为16个单位长度， 点表示的数为， 点运动的距离为， 点C在数轴上表示的数为或， 故点C在数轴上表示的数的相反数为或． 故答案为：或． 【变式3-2】（2024七年级上·全国·专题练习）点A、B、D在数轴上的位置如图所示，点A、B表示的数互为相反数，若点B所表示的数为2，且，则点D所表示的数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查数轴与有理数，相反数，根据相反数的定义，得到点A所表示的数为，再根据，得到，进而求出点D所表示的数即可． 【详解】解：∵点A、B表示的数互为相反数，点B所表示的数为2， ∴点A所表示的数为， ∴， ∴点D所表示的数为； 故选C． 【变式3-3】（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）已知数轴上M，N，P，Q四点所表示的数分别为m，n，p，q且，其中有两个数的和为0，且满足．若．则这四个数中可能互为相反数的是 ． 【答案】，或， 【分析】本题考查了有理数与数轴的对应关系以及相反数的概念，正确运用分类讨论思想是解决本题的关键． 【详解】解：因为这四个数中有两个数和为0，则一定有一个负数和一个正数， 因为， 则这四个数为两个正数和两个负数，即， 若和互为相反数，因为，则，， 若和互为相反数，因为，， 所以，则，，， 若和互为相反数，因为，， 所以，则，，，（舍去）． 故答案为：，或，． 【题型4 数轴与绝对值】 【例4】（24-25七年级上·陕西安康·期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与b的绝对值相等，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，根据绝对值的性质可得，再根据绝对值的性质逐项判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，， ∵与的绝对值相等， ∴． A、，则此项错误，不符合题意； B、∵，， ∴， ∴，则此项正确，符合题意； C、∵，， ∴，， ∴，则此项错误，不符合题意； D、∵， ∴， ∴，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式4-1】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点如图所示，这四个数中绝对值最小的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴和绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，，，再根据绝对值的性质即可得． 【详解】解：由数轴可知，，，， 则，，， 所以这四个数中绝对值最小的是， 故答案为：． 【变式4-2】（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：墨水遮住了绝对值不大于3的所有整数；结论Ⅱ：墨水遮住的整数之和为3 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴三要素以及当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的大是解题的关键．根据数轴的定义即可得到答案． 【详解】解：依题意得：墨水遮住的部分 故墨水没有遮住-3，所以墨水遮住了绝对值不大于3的所有整数的说法错误，结论Ⅰ错误， 墨水遮住的整数有，整数之和为3，；结论Ⅱ正确． 故选：D 【变式4-3】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）四个有理数m，n，p，q在数轴上的位置如图所示，若，则m，n，p，q四个有理数中，绝对值最大的是 ． 【答案】q 【分析】根据可以得到m、p的关系，从而可以判定原点的位置，从而可以得到哪个数的绝对值最大，本题得以解决． 本题考查有理数的大小比较及实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：， 和p互为相反数，0在线段m、p的中点处， ∴点q离原点最远， 绝对值最大的是q， 故答案为： 【题型5 利用数轴比较大小】 【例5】已知有理数，在数轴上的位置如图所示，则，，，从大到小的顺序为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数轴到原点的距离，即可求解． 【详解】解：从图上看出    则 故选C 【点睛】本题考查绝对值的意义，以及相反数意义，属于基础题． 【变式5-1】（24-25六年级上·山东淄博·期末）请在如图所示的“只有单位长度和正方向，还未标出原点”的数轴上表示下列各数，并按照从大到小的顺序将这些数用“”号连接起来． ，，，， 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，相反数，数轴等知识点，能正确在数轴上表示出各个数是解此题的关键．先在数轴上表示出各个数，再比较即可 【详解】解：，， 如图， 【变式5-2】（24-25七年级上·广西柳州·期中）画出数轴，在数轴上标出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序用“>”号把这些数连接起来： ． 【答案】在数轴上标数见解析； 【分析】本题考查了有理数大小比较以及数轴，牢记“在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数”是解题的关键．将各数标记在数轴上，利用“在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数”即可找出各数间的大小关系． 【详解】解：， 所以． 【变式5-3】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将a、b、、按从大到小的顺序排列，并用“”号连接，结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上点表示数，解题的关键是熟练掌握数轴上的点表示的有理数越向右越大． 【详解】解：∵根据有理数a、b在数轴上的位置可知，，且， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型6 利用数轴的几何意义求最值】 【例6】（23-24七年级上·重庆·期中）点A、B在数轴上分别表示数a、b，若A、B两点之间的距离表示为，则在数轴上A、B两点之间的距离． ①数轴上表示、的两点之间的距离表示为； ②若，则； ③若存在整数，使的值最小时，则，0，2； ④若的最小值是2，则． 则上述说法，正确的有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、绝对值、一元一次方程的应用、整式加减的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据数轴的性质即可判断①正确；分，和三种情况，先化简绝对值，再解方程，计算整式的加减即可判断②错误；分，和三种情况，化简绝对值即可判断③错误；根据求解即可判断④错误． 【详解】解：①数轴上表示、的两点之间的距离表示为，说法正确； ②当时，，解得，符合题设， 当时，，舍去， 当时，，解得，符合题设， 综上，若，则或，原说法错误； ③当时，， 当时，， 当时，， 所以的最小值是3， 所以若存在整数，使的值最小时，则，0，1，2，原说法错误； ④， ∵的最小值是2， ， 解得或，原说法错误； 综上，说法正确的有1个， 故选：D． 【变式6-1】（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，则对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴和绝对值，解题的关键是掌握绝对值的几何意义．根据绝对值的几何意义求解； 【详解】， 由表示的含义可得： 当时，有最小值，最小值为， ， 当时，的最小值为， 当时，有最小值为， 故答案为：. 【变式6-2】（24-25七年级上·北京·期中）我们知道|x|表示x在数轴上对应的点到原点的距离，表示 x 与 a 在数轴上对应的点之间的距离．例：表示数x与1在数轴上表示的点的距离是2个单位长度，如图所示，即可得出x的值为或3． 根据以上材料，解答下列问题： (1)若，则x的值为__________； (2)若数轴上表示数a的点位于表示与2的两点之间，则求的计算结果； (3)已知有理数b，则的计算结果是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说出理由． 【答案】(1)或6； (2)5 (3)有最小值，最小值为8． 【分析】本题考查数轴，绝对值，掌握数轴的应用是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据题意知表示在数轴上表示数a的点到表示与的点的距离之和，即可解答； （3）根据题意知表示在数轴上表示数的点到表示与的点的距离之和，当时，这个距离之和最小，最小值就是表示与的两点之间的距离，为个单位长度，即可解答． 【详解】（1）(1) 如图，在数轴上与对应的点的距离为个单位长度的点表示的数为或． 故答案为：或； （2）表示在数轴上表示数的点到表示与的点的距离之和， 表示数的点位于表示与的两点之间，如图， 即的计算结果为； （3）的计算结果有最小值， 表示在数轴上表示数的点到表示与的点的距离之和， 当时，这个距离之和最小，最小值就是表示与的两点之间的距离，为个单位长度， 即的计算结果有最小值为． 【变式6-3】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点在数轴上分别对应的数为，，则两点间的距离表示为，根据以上知识解题： ①当代数式取最小值时，的取值范围是 ，最小值为 ． ②求的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的几何应用，数轴上两点距离计算，①由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数1和数的点的距离之和，设点A，点B，点C表示的数分别为，，x，则，分点C在点A左侧，点C在点A和点B之间时（包括A和B），点C在点B右侧，三种情况结合数轴可得当点C在点A和点B之间时（包括A和B），有最小值，最小值为的长；则当时，取最小值，据此求解即可；②同①可知当时，有最小值，当时，有最小值，当时，有最小值，……，当时，有最小值，则当时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：①由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数1和数的点的距离之和， 设点A，点B，点C表示的数分别为，，x，则， 当点C在点A左侧时， ； 当点C在点A和点B之间时（包括A和B），则； 当点C在点B右侧时，则； 综上所述，当点C在点A和点B之间时（包括A和B），有最小值，最小值为的长； ∴当时，取最小值，最小值为， 故答案为：；； ②同①可知当时，有最小值， 当时，有最小值， 当时，有最小值， ……， 当时，有最小值， 综上所述，当时，，，，…，能同时取得最小值，即当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 【题型7 数轴中的相遇问题】 【例7】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知a是最大的负整数，，c是的相反数，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数． (1)求a，b，c的值，并在如图的数轴上标出点A，B，C； (2)在数轴上，若点D到点A的距离刚好是5，则点D叫做点A的“幸福点”．求点A的幸福点D所表示的数； (3)若动点P从点B出发沿数轴向负方向运动，动点Q同时从点A出发也沿数轴向负方向运动，点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度，求运动几秒后，点Q可以追上点P？ 【答案】(1)，，，数轴见解析 (2)点A的幸福点D所表示的数为或4； (3)运动2秒后，点Q可以追上点P． 【分析】（1）根据最大的负整数是，，的相反数是4，解答即可． （2）根据平移思想解答即可． （3）根据题意，点P表示的数为，点Q表示的数为，结合点Q可以追上点P，列方程解答即可． 【详解】（1）解：根据最大的负整数是，，的相反数是4， 得，，． 数轴表示如下： ． （2）解：根据题意，得点D表示的数为或， 点A的幸福点D所表示的数为或4； （3）解：根据点P和点Q分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向左运动，秒过后，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意，得， 解得． 【点睛】本题考查了最大的负整数，绝对值，数轴上运动路程，两点间的距离，分类思想，一元一次方程的应用，熟练掌握运动路程与表示数的关系，两点间的距离公式是解题的关键． 【变式7-1】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． (1)与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ； (2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 【答案】(1)40 (2) 【分析】此题考查数轴上的点表示的数，一元一次方程式的实际运用，利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可． （1）求与90和的一半即是点M表示的数； （2）先求出的长，再设t秒后P、Q相遇即可得出关于t的一元一次方程，求出t的值，可求出P、Q相遇时点P移动的距离，进而可得出C点对应的数； 【详解】（1）解：M点对应的数是：； 故答案为：40； （2）A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90， ， 设t秒后P、Q相遇， ，解得， 此时点P走过的路程为， 此时C点表示的数为． 即：C点对应的数是． 故答案为：． 【变式7-2】（22-23七年级上·山东青岛·期末）数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B，C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动．其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒， 时，M、N两点相遇（结果化为小数）． 【答案】/ 【分析】求出2秒时两点的位置，表示出两点所表示的数，根据、两点相遇时，、表示的数相同，即得额，可解得答案． 【详解】解：由题意可得： ，即2秒后，点M到达点O，点N到达点C， 此时开始，表示的数是，表示的数是， 、两点相遇时，、表示的数相同， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴、一元一次方程的应用，解题的关键是用含的代数式表示点运动后所表示的数． 【变式7-3】（24-25七年级上·山西吕梁·期末）已知是最大的负整数，是的相反数，且分别是点在数轴上对应数． (1)求的值，并在数轴上标出点； (2)若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度每秒5个单位长度，点的速度是每秒3个单位长度，若运动秒后，点可以追上点，求的值． 【答案】(1)，，数轴见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相反数的定义，用数轴上点表示有理数，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，根据题意列出方程． （1）根据有理数的分类求出，根据相反数的定义可得，进而根据数轴上的点所表示数的特点在数轴上标出即可； （2）根据数轴上点所表示数的特点分别表示出点运动秒后所表示的数，进而根据点追上点，则两点所表示的数相同，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：因为是最大的负整数，是的相反数， 所以，， ∵分别是点在数轴上对应数， ∴将标注在数轴如下图， （2）解：由题意得秒后点所表示的数为，点所表示的数为， 根据题意得， 解之得：， ∴运动3秒后点P可以追上点Q． 【题型8 数轴中的折返问题】 【例8】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）四个点、、、在数轴上的位置如图所示，已知，，，若点为原点，点、分别从、两点同时出发，点以每秒个单位长度的速度向右运动，到达点后立即按原速向折返；点以每秒个单位长度的速度向左运动．当 、都到达点时运动停止，设运动时间为（单位：秒）． (1)当时，求点与点之间的距离； (2)当 时，点到达点，此时点表示的数是 ； (3)当为何值时，、两点相距个单位？ 【答案】(1) (2)， (3)当或或或或时，、两点相距个单位． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，数轴上表示一个数，读懂题意，按照分类情况，列出正确的式子，是解答本题的关键． （1）根据题意，当时，分别求出点，点运动的距离，根据图中已知的线段关系，由此求出答案． （2）根据题意，得到，由此得到运动的时间，点为原点，进而得到答案． （3）根据题意，分五种情况讨论：当点向右运动，点向左运动时；当点到达点之前；当点到达点时，，变成追赶问题，分两种情况，当追上之前两点相距个单位；当追上之后两点相距个单位；最后点先到达点时运动停止，点继续运动，直到相距点 个单位，综上五种情况，分别计算，得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 当时， 点运动了：， 点运动了：， ， 点与点之间的距离为：． （2）根据题意得： ， 时，点到达点； 时， 点运动了：， 点为原点， 此时点表示的数是． 故答案为：，． （3）根据题意得： 当点向右运动，点向左运动时，如图， ，， 、两点相距个单位， ， 解得：； 当点到达点之前，如图所示， ，， ， 解得：， 当点到达点时，如图所示， 点运动了：， 当时， ，， 即此时、两点相距个单位， 之后点从点运动，点从点开始追赶点，到距离为个单位用时， 则，解得：， 即时，、两点相距个单位； 如图，点从点运动，点从点开始追赶点，到超过点距离为个单位用时， 当，解得：时， 即时，、两点相距个单位； 如图，此后点先到达点时运动停止，点继续运动，直到两点距离个单位， 则，解得：， 综上，当或或或或时，、两点相距个单位． 【变式8-1】（23-24七年级上·湖北·期末）如图，A点在数轴上对应的有理数是24；动点M从原点O点出发以1单位/秒的速度向右运动，动点N从A点出发以2单位/秒的速度向左运动，两个动点同时出发，设运动时间为t秒． (1)请用含t的式子表示：动点M对应的数为__________，动点N对应的数为__________； (2)如果在运动过程中，M、N两点相距6个单位长，求t的值； (3)M、N在运动过程中，又有一动点p从原点O点开始以3单位/秒的速度向右运动（与M、N同时出发），当相遇点N时立即返回，返回途中遇到M点时又立即折返，如此往返，当M、N相遇时点p停止，此时点p一共运动了__________个单位长度． 【答案】(1)， (2)或10 (3)24 【分析】（1）利用速度乘以时间求出点表示的数，用点的路程，求出点对应的数即可； （2）根据两点间的距离公式，列出方程，进行求解即可； （3）求出M、N相遇时所用时间，利用点p的速度乘以时间，求出路程即可． 【详解】（1）解：由题意，得：点表示的数为：，点表示的数为：； 故答案为：， （2）、相遇前， 解得， 、相遇后， 解得， 综上或10． （3）相遇时：， 解得：， ∴点p一共运动了个单位长度． 故答案为：24． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，两点间的距离．掌握两点间的距离公式，正确的列出代数式和方程，是解题的关键． 【变式8-2】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知数轴上A、B两定点对应的数是，40，动点M、N同时从点A出发向点B运动，点M的速度为3个单位长度/秒，点N的速度为2个单位长度/秒，到达点B后折返向点A继续运动，其中某点回到点A时，全部停止，经过 秒点A到点N的距离刚好等于点B到点M的距离． 【答案】12或36 【分析】本题考查了数轴上两点距离，一元一次方程的应用，数形结合，分类讨论是解题的关键．分，，讨论，列出方程求解即可． 【详解】解：设时间为秒， ∵A、B两定点对应的数是，40， ∴， ∴M到达B需要的时间为秒， N到达B需要的时间为秒， M从到A出发，然后返回到A需要的时间为秒， 当时，， 解得， 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 当时，， 解得， 综上，经过12秒或36秒，点A到点N的距离刚好等于点B到点M的距离． 故答案为：12或36． 【变式8-3】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知数轴上A，B两点对应的数分别为a，b，且a，b满足，点C对应的数为14，点D对应的数为． (1)求a，b的值； (2)点A，B沿数轴同时出发相向匀速运动，点A的速度为4个单位/秒，点B的速度为1个单位/秒，若t秒时点A到原点的距离和点B到原点的距离相等，求t的值； (3)在（2）的条件下，点A，B从起始位置同时出发，当A点运动到点C时，迅速以原来的速度返回，到达出发点后，又折返向点C运动．B点运动至D点后停止运动．当B停止运动时点A也停止运动．求在此过程中，A，B两点同时经过的点在数轴上对应的数． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了一元一次方程的运用，数轴的运用，绝对值的运用，非负数性质的运用，解答时根据行程问题的追击问题和相遇问题的数量关系建立方程是关键． （1）根据非负数的性质，建立方程求出，的值； （2）根据，两点到原点的距离相等分两种情况，当、在原点的右侧、相遇和、在原点的异侧时，建立方程求出其解即可； （3）分四种情况讨论：当、在原点的右侧相遇时；当点从点返回出发点时与相遇；当点从出发点返回点时与点相遇．分别依据线段的和差关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ，， 解得：，； （2）解：设原点为O， 点对应的数为，对应的数是， ，，． 当、在原点的异侧时， 若点到原点的距离和点到原点的距离相等， 则， 解得：． 当、在原点的右侧相遇时，点到原点的距离和点到原点的距离相等， 则， 解得， ，两点到原点的距离相等时，的值为或； （3）解：点C对应的数为14，点D对应的数为， ， 点运动至点所需的时间为， 故， 由（2）得，当时，，两点同时到达的点表示的数是； 由题意，得当点从点返回出发点时，若与相遇， 则， 解得：， 此时，两点同时到达的点表示的数是； 当点第二次从出发点返回点时，若与点相遇， 则， 解得， 此时，两点同时到达的点表示的数是； 当点第二次从点返回出发点时，若与相遇， 则， 解得：（不符合题意）， 综上所述，，两点同时到达的点在数轴上表示的数为：或或． 【题型9 数轴中两线段和差倍分问题】 【例9】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）已知数轴上A点代表，B点代表4，动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当 时，．（当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动） 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴上两点之间的距离．根据题意易得动点表示的数为，动点表示的数为，则，，列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意得，动点表示的数为，动点表示的数为， ∵， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上分析可知：或． 故答案为：或． 【变式9-1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，点和在数轴上表示的数分别是和8，动点从出发，以1个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，同时动点从点出发，以3个单位每秒的速度沿射线的方向向左运动，运动时间为秒，当点A，P，Q这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，的值为 ． 【答案】或4或7 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴．当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，分点P是线段的中点、点Q是线段的中点及点A是线段的中点三种情况考虑，根据中点到两端点的距离相等，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点P是线段的中点时，， 解得：； 当点Q是线段的中点时，， 解得：； 当点A是线段的中点时，， 解得：． 综上所述，t的值为或4或7． 故答案为：或4或7． 【变式9-2】（24-25七年级上·河南郑州·期末）已知点，在数轴上对应的数分别为，，且，若动点在数轴上对应的数为，当＋＝时，的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上的点，绝对值与偶次幂的非负性，解一元一次方程的应用；根据题意得出，，，分类讨论，即可求解． 【详解】解： ， ，； 解得，； 动点在数轴上对应的数为，当＋＝时， ． 即点在和点之间的不同位置情况： 若点在点左侧，即，则，化简得，从而得到． 若点在点右侧，即，则，化简得，从而得到． 若点在和点之间，即，则，显然不满足． 综上，当时，的值为或． 故答案为：或． 【变式9-3】（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点到其他两个点之间的距离相等时，则称该点是其他两个点的“中点”，这三点为“中点关联点”． 例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，5，此时点B是点A，C的中点． (1)若点A表示数，点B表示数1，若点B是点A与点C的中点，求点C所表示的数； (2)点A表示数，点B表示数15，P为数轴上一个动点，若点A、B、P是“中点关联点”，求此时点P表示的数． 【答案】(1)4 (2)或或40 【分析】本题主要考查了数轴两点间的距离，一元一次方程的应用，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据新定义可得点C，B间的距离为，即可求解； （2）设点P表示的数为x，分三种情况，结合新定义解答即可． 【详解】（1）解：∵点A表示数，点B表示数1， ∴点A，B间的距离为， ∵点B是点A与点C的中点， ∴点C，B间的距离为， ∴点C所表示的数为； （2）解：设点P表示的数为x， 当点P是点A与点B的中点时， ， 解得：， 此时点P表示的数为； 当点A是点P与点B的中点时， ， 解得：， 此时点P表示的数为； 当点B是点P与点A的中点时， ， 解得：， 此时点P表示的数为40； 综上所述，点P表示的数为或或40． 【题型10 数轴动点中的定值问题】 【例10】（23-24七年级上·湖北孝感·期末）如图，数轴上点A，（点A在点左边）所对应的数，满足．P为数轴上一动点，其对应的数为，为原点． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若点为线段的中点，当点P在线段的延长线上运动时，的值是否为定值（即确定的值，不因点P位置的变化而变化）？如是，请求出这个定值；如不是，也请说明理由． 【答案】(1)6或4． (2)或 (3)是定值，定值为2 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，非负数的性质，一元一次方程的应用．要分类讨论是解题关键． （1）由非负数的性质求出a、b的值，再根据两点距离公式，由，列出方程，求解即可． （2）分两种情况，当点在A，两点之间时，当点在的左边时，根据两点距离公式，由，列出方程求解即可． （3）根据点为线段的中点，得点对应的数为1，则，从而求得，代入计算即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 所以，． 由题意得：＝1， 所以，或4． （2）解：当点在A，两点之间时， ，解得． 当点在A的左边时， ，解得． 所以，或． （3）解：的值为定值． 因为点为线段的中点， 所以点对应的数为，则 所以， 所以． 【变式10-1】（23-24七年级上·四川成都·期中）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点表示数是最大的负整数，且满足．    (1) ______， _______， ______； (2)如果点P表示的数为x，当P点到B、C两点的距离之和为8时， ________． (3)点开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点A与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，则________，________．（用含的代数式表示） (4)在（3）的条件下，的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1) (2)或6 (3)， (4)不变，16 【分析】本题考查了数轴、两点间的距离、绝对值以及偶次方的非负性， （1）根据b为最大的负整数可得出b的值，再根据绝对值的非负性即可得出a、c的值； （2）根据当P点到B、C两点的距离之和为8时，由得出P点在B、C两点两侧，分情况计算即可得出答案； （3）根据运动的方向和速度结合a、b、c的值，即可找出t秒后点A、B、C分别表示的数，利用两点间的距离即可求出的值； （4）将（3）的结论代入中，可得出为定值16，此题得解． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴， a、c满足， ， ， 故答案为：； （2）解：，， ， P点到B、C两点的距离之和为8时， 当P点在B点左侧时， ， 解得：， 当P点在C点右侧时， ， 解得：， 故答案为：或6； （3）解：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ，， 故答案为：； （4）解：不变， 理由如下： ， ． ∴的值为定值16． 【变式10-2】（24-25七年级上·福建厦门·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且． (1)_____；_____；此时刻快车头A与慢车头之间相距______单位长度； (2)从此时刻开始算起，再行驶多少秒钟两列火车的车头相距8个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头A、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为该学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这段时间的长度及定值；若不正确，请说明理由． 【答案】(1)，，24 (2)再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度 (3)正确，这段时间的长度为0.5秒，定值是6单位长度 【分析】（1）根据非负数的性质求出，，再根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据时间路程和÷速度和，列式计算即可求解； （3）由于，只需要是定值，从快车上乘客P与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，即， ，即， ∴此时刻快车头A与慢车头之间相距； 故答案为：，，24； （2）解：由题意可分： ①当快慢车未相遇前相距8个单位长度时，则有：（秒）； ②当快慢车相遇后相距8个单位长度时，则有：（秒） 答：再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度； （3）解：因为，     当在之间时，是定值4， （秒） 此时（单位长度）． 故这段时间为0.5秒，定值是6单位长度． 【点睛】本题考查了两点的距离、数轴、绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握行程问题的等量关系：时间路程速度，根据数形结合的思想理解和解决问题． 【变式10-3】（24-25七年级上·福建漳州·期中）已知数轴上两点、所表示的数分别为和，且满足，为原点： (1)______，______． (2)若点从点出发向左运动，经过秒后点到点的距离等于点到点的距离，求点的运动速度？（结合数轴，进行分析．） (3)若在数轴上点表示的数为，当点，，开始在数轴上运动，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒个单位长度的速度向左运动，点到达原点后立即以原速度向右运动，运动时间为秒，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问当时，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出这个定值． 【答案】(1)，； (2)； (3)当时，的值不会随着的变化而变化，其值为定值， 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，数轴上两点间的距离，整式加减运算的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． （1）根据绝对值和平方的非负性求得 ； （2）求得中点对应的数，即可求解； （3）根据运动方向和运动速度分别表示出点，点，点在数轴上坐标是的数，然后根据两点间距离公式表示出和的长，从而利用整式的加减运算法则进行化简求值． 【详解】（1）解：由可得，， 解得，， 故答案为：，； （2）解：如图， ∵经过秒后点到点的距离等于点到点的距离， ∴点是的中点，中点对应的数为， ∴点的运动速度为； （3）解：∵ 秒，点到达原点后立即以原速度向右运动，点表示的数为点表示表示 ∴时，点从原点开始向右运动，点表示的数为 点在数轴上所表示的数为，点在数轴上所表示的数为， ∴ ， ∴当时，的值不会随着的变化而变化，其值为定值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$