精品解析：2025年辽宁省朝阳市凌源市中考三模数学试题

2025年凌源市九年级第三次模拟测试 数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 温馨提示：请把所有的答案都答在答题卡上，答题要求见答题卡，否则不给分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求．） 1. 在下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列算式，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 交通是经济发展的“开路先锋”，辽宁正全力建设交通重点项目．一季度，全省完成交通投资121.5亿元，同比增长；集装箱海铁联运量及占比保持全国前列，交通运输领域工作全面稳定向好．将数据“12150000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 只有一个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 7. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 蓝球 D. 红球 8. 如图，背面花纹相同的2张扑克牌，从中间剪开，将其背面朝上，打乱顺序后放在桌面上，若从中随机抽取两张，恰好能拼成一张扑克牌的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设井深为x尺，则下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分式方程的解是____． 12. 分解因式： ________． 13. 如图，在中，是的中点，，且．若，则的长为______． 14. 如图，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则________． 三、简答题（共8小题，共75分，解答应写出文字） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某超市以每袋8元的成本价购进一些糖果，根据前期销售情况，每天销售量y（袋）与该商品定价每袋x（元）是一次函数关系，如图所示． （1）求销售量y与定价x之间的函数关系式； （2）超市准备每天销售该糖果的利润是56元，但让顾客少花钱，不考虑其它因素，求该糖果的定价应为多少． 18. 某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品．已知销售A产品30件，B产品20件，共收入680元；销售A产品50件，B产品40件，共收入1240元． （1）求A，B两种产品的销售单价． （2）若该工厂销售A，B两种产品共300件，总收入不超过4000元，最少要销售A产品多少件？ 19. 随着辽宁省人工智能创新发展大会暨青年AI创新大赛全面启动，某校为了了解全校学生对人工智能的了解情况，随机抽取该校部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：A：；B：；C：；D：），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在C等级的数据：72，73，74，74，76，76，77，78，78． 请根据以上信息，解答下列问题． （1）求所抽取的学生成绩为D等级的人数． （2）求所抽取的学生成绩的中位数． （3）已知该校共有1500名学生，若全校学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数． 20. 如图，时代，万物互联，助力数字经济发展，共建智慧生活．某移动公司为了提升网络信号（即）的山坡上加装了信号塔，信号塔底端Q到坡底A的距离为．当太阳光线与水平线所成的夹角为时，且． （1） °； （2）求信号塔的高度大约为多少米？（参考数据：，，） 21. 已知：如图，内接于，点E为上一点，连接，，其中经过圆心O，的延长线交射线于点D，若． （1）求证：是切线； （2）若，求的长． 22. 综合与探究 如图，在矩形中，，，点M从点D出发沿射线方向运动，运动速度为每秒2个单位长度．设点M的运动时间为t秒． （1）如图1，当秒时，猜想与的数量关系，并说明理由． （2）如图2，E为的延长线上的一点，，动点N从点E出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点N与点M同时出发，当点N到达点B时，两点同时停止运动． ①当时，求的长． ②当以M，C，E，N为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 23. 如图1，抛物线与x轴交于、，与y轴交于点C．直线与抛物线交于点B与点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点D是第一象限抛物线上一点，设D点横坐标为m．连接，将线段绕O点逆时针旋转90°，得到线段，过点E作轴交直线于F，求线段的最大值； （3）如图3，将抛物线在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，与原抛物线在x轴下方部分的图象组成新图象，若直线与新图象有且只有两个交点，请你直接写出n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年凌源市九年级第三次模拟测试 数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 温馨提示：请把所有的答案都答在答题卡上，答题要求见答题卡，否则不给分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求．） 1. 在下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 2. 下列算式，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方、单项式乘多项式的运算法则．由合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方、单项式乘多项式的运算法则，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、不能合并，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 交通是经济发展的“开路先锋”，辽宁正全力建设交通重点项目．一季度，全省完成交通投资121.5亿元，同比增长；集装箱海铁联运量及占比保持全国前列，交通运输领域工作全面稳定向好．将数据“12150000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：将数据“12150000000”用科学记数法表示为． 故选：C． 4. 手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，比较各数的绝对值大小，即可解答． 【详解】解：， 则信号最强的是， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，负数比较大小时，绝对值大的反而小，熟知比较法则是解题的关键． 5. 如图，在中，，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的概念，平行四边形的性质和平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由角平分线得到，然后根据平行四边形的性质和平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵在中，， ∴． 故选：D． 6. 关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 只有一个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能够熟练计算判别式的值并能根据判别式的值判断根的情况是解题关键．计算判别式的值，再确定根的情况即可． 【详解】解：， 方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 7. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 蓝球 D. 红球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，由频率估计概率，先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解． 【详解】解：由题意可知，袋子中的球共有：（个）， ∴黑球出现的概率为：， 白球出现的概率为：， 蓝球出现的概率为：， 红球出现的概率为：， ∵试验中该颜色的球出现的频率稳定在0.2左右， ∴该颜色的球出现的概率为0.2， ∴该种球的颜色最有可能是蓝球， 故选：C． 8. 如图，背面花纹相同的2张扑克牌，从中间剪开，将其背面朝上，打乱顺序后放在桌面上，若从中随机抽取两张，恰好能拼成一张扑克牌的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法．列表可得出所有等可能的结果数以及小明抽到的两个半张扑克牌恰好合成完整的一张牌的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将四个半张扑克牌分别记为A，a，B，b，其中A与a可以合成完整的一张牌，B与b可以合成完整的一张牌． 列表如下： A a B b A a B b 共有12种等可能的结果，其中小明抽到的两个半张扑克牌恰好合成完整的一张牌的结果有：，，，，共4种， ∴小明抽到的两个半张扑克牌恰好合成完整的一张牌的概率是． 故选：C． 9. 我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设井深为x尺，则下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设井深为x尺，则绳子长度可以表示为：或，依题意即可求解． 【详解】解：设井深为x尺，依题意得， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 10. 如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补得出，根据圆周角定理得出，根据已知条件得出，进而根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵圆内接四边形中，， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴, 故选：A． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分式方程的解是____． 【答案】x=3 【解析】 【详解】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程x=3（x﹣2），求出整式方程的解得到x=3，经检验x=3是分式方程的解，即可得到分式方程的解． 考点：解分式方程 12. 分解因式： ________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 如图，在中，是的中点，，且．若，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据是的中点，，得，再证明，则，代入数值进行化简进行，即可作答． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：3 14. 如图，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为_____． 【答案】（﹣9，﹣2）或（3，2） 【解析】 【详解】分析：首先根据直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，解得点A和点B的坐标，再利用位似图形的性质可得点B′的坐标． 详解：∵与x轴,y轴分别交于A.B两点, 令x=0可得y=1；令y=0可得x=−3， ∴点A和点B的坐标分别为(−3,0);(0,1)， ∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1:2， ∴ ∴O′B′=2,AO′=6， ∴当点B′在第一象限时,B′的坐标为(3,2)； 当点B′在第三象限时,B′的坐标为(−9,−2). ∴B′的坐标为(−9,−2)或(3,2). 故答案为(−9,−2)或(3,2). 点睛：考查位似变换，一次函数图象上点的坐标特征,注意分两种情况进行讨论. 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图， ∵， ∴， ∴设，则， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴（负值已舍），则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故答案为：8． 三、简答题（共8小题，共75分，解答应写出文字） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式，还考查了整式的混合运算，熟练掌握相关定义与运算法则是解题的关键． （1）先利用负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式，绝对值化简，再进行加减即可； （2）利用完全平方公式，平方差公式，整式的除法进行化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 某超市以每袋8元的成本价购进一些糖果，根据前期销售情况，每天销售量y（袋）与该商品定价每袋x（元）是一次函数关系，如图所示． （1）求销售量y与定价x之间的函数关系式； （2）超市准备每天销售该糖果的利润是56元，但让顾客少花钱，不考虑其它因素，求该糖果的定价应为多少． 【答案】（1） （2）该糖果的定价应为12元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，理解题意，掌握一次函数的性质是解题关键． （1）由图象可知y与x是一次函数关系，由函数图象过点和，用待定系数法即可求得y与x的函数关系式； （2）根据（1）以及利润=单件利润×销售量得到关于x的一元二次方程，进而解方程即可． 【小问1详解】 解：设，由图象可知， ， 解得， ∴销售量y与定价x之间的函数关系式是：； 【小问2详解】 解：超市每天销售所获得的利润是： ， 解得：， ∵让顾客少花钱， ∴该糖果的定价应为12元． 18. 某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品．已知销售A产品30件，B产品20件，共收入680元；销售A产品50件，B产品40件，共收入1240元． （1）求A，B两种产品的销售单价． （2）若该工厂销售A，B两种产品共300件，总收入不超过4000元，最少要销售A产品多少件？ 【答案】（1）A产品的销售单价为12元，B产品的销售单价为16元 （2）200件 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系式列出方程组，根据不等关系式列出不等式． （1）设A产品每件销售x元，B产品每件销售y元，销售A产品30件，B产品20件，共收入680元；销售A产品50件，B产品40件，共收入1240元，列出方程组，解方程组即可； （2）设销售A产品m件，则销售B产品件，根据销售、两种产品总费用不超过4000元列出不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设A产品的销售单价为x元，B产品的销售单价为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A产品的销售单价为12元，B产品的销售单价为16元； 【小问2详解】 解：设销售A产品m件，则销售B产品件， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为200． 答：最少要销售A产品200件． 19. 随着辽宁省人工智能创新发展大会暨青年AI创新大赛全面启动，某校为了了解全校学生对人工智能的了解情况，随机抽取该校部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：A：；B：；C：；D：），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在C等级的数据：72，73，74，74，76，76，77，78，78． 请根据以上信息，解答下列问题． （1）求所抽取的学生成绩为D等级的人数． （2）求所抽取的学生成绩的中位数． （3）已知该校共有1500名学生，若全校学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数． 【答案】（1）D等级的人数为14人 （2）中位数为分 （3）估计成绩为A等级的人数约为150人． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键． （1）先根据B等级的人数以及所占百分比求得总人数，再拿总人数减去A、B、C等级的人数即可； （2）总人数为40人，因此中位数是第20和21名同学的成绩的平均数，由于A等级中4人，B等级中12人，故中位数是C等级中从大到小的第4和5名同学的成绩的平均数，据此即可求解； （3）用1500乘以A等级的人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：样本容量为， （人）， 即所抽取的学生成绩为D等级的人数为14人； 【小问2详解】 解：，， ∴中位数是C等级中从大到小的第4和5名同学的成绩的平均数， ∴抽取的学生成绩的中位数为（分）； 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计成绩为A等级的人数约为150人． 20. 如图，时代，万物互联，助力数字经济发展，共建智慧生活．某移动公司为了提升网络信号（即）的山坡上加装了信号塔，信号塔底端Q到坡底A的距离为．当太阳光线与水平线所成的夹角为时，且． （1） °； （2）求信号塔的高度大约为多少米？（参考数据：，，） 【答案】（1）37 （2）30米 【解析】 【分析】（1）作，垂足为S，根据题意，即可求得； （2）根据题意和作图可知四边形为矩形，根据坡度的定义设米，在中，由勾股定理可得，代入求出的长，利用锐角三角函数关系，得出的长，进而得出答案． 【小问1详解】 如图，作，垂足为S， 根据题意， ∴； 故答案为：37； 【小问2详解】 根据题意和作图可知四边形为矩形， ∴． 由，可得， 设米，则米， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得（负值舍去）， ∴（米），（米）， ∴， ∵， 在中， ， 即， ∴（米）， ∴（米）． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，坡度的定义，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键． 21. 已知：如图，内接于，点E为上一点，连接，，其中经过圆心O，的延长线交射线于点D，若． （1）求证：是切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：过C作圆的直径，连接， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴直径， ∴是切线； （2） 【解析】 【分析】（1）过C作圆的直径，连接，由圆周角定理得到，，推出，即可证明是切线； （2）由圆周角定理得到，求出，判定是等边三角形，得到，由弧长公式即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 22. 综合与探究 如图，在矩形中，，，点M从点D出发沿射线方向运动，运动速度为每秒2个单位长度．设点M的运动时间为t秒． （1）如图1，当秒时，猜想与的数量关系，并说明理由． （2）如图2，E为的延长线上的一点，，动点N从点E出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点N与点M同时出发，当点N到达点B时，两点同时停止运动． ①当时，求的长． ②当以M，C，E，N为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 【答案】（1）． 理由：四边形ABCD为矩形， ，，． 当秒时，，则， ． 在和中， ， ， ． （2）① ；②t的值为1或3 【解析】 【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，，，然后得到，然后证明出，即可得到； （2）①过点M作于点P，首先证明出四边形为正方形，得到，然后利用勾股定理求出； ②首先得到，然后分点M在DC上和点M在点C的右侧两种情况讨论，然后分别列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①如图，过点M作于点P， 则． 四边形为矩形， ， 四边形为矩形． ， 四边形为正方形， ， 秒，则， ． 在中，． ②由题意，得，． 四边形是矩形， ， 当时，则以M，C，E，N为顶点的四边形是平行四边形． 当点M在上时，即时，， ，得，解得； 当点M在点C的右侧时，即时，， ，解得． 综上所述，t的值为1或3． 【点睛】此题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，几何动点问题，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 如图1，抛物线与x轴交于、，与y轴交于点C．直线与抛物线交于点B与点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点D是第一象限抛物线上一点，设D点横坐标为m．连接，将线段绕O点逆时针旋转90°，得到线段，过点E作轴交直线于F，求线段的最大值； （3）如图3，将抛物线在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，与原抛物线在x轴下方部分的图象组成新图象，若直线与新图象有且只有两个交点，请你直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，进而得到点的坐标，进而求出点的坐标，转化为二次函数求最值即可； （3）分别求出直线与新图象相切时，以及直线过点时的值，利用平移的思想即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于、， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵点的横坐标为， ∴， 过点作轴于点，过点作轴于点，则：，， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为； 【小问3详解】 ∵翻折， ∴轴下方的抛物线的解析式为：， 当与只有一个交点时，此时与新图象只有一个交点， 联立，整理，得：， ∴， ∴， ∴，解得：， 所以与的交点在点的左侧， 将直线向下平移直至经过点之前时，与新图象有2个交点， 当过点时， 即：， ∴， 联立 ，解得：（舍去）或， ∴当过点时，直线与新图象仍有2个交点， 将直线继续向下平移直至直线与只有一个交点时， 联立，整理，得：， ∴，解得：， ∴，解得：， 交点位于点的右侧上方部分， ∴此时直线与新图象仍有2个交点 继续往下平移，与新图象有2个交点， ∴综上：当时，直线与新图象有且只有两个交点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数求最值，综合性强，难度大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $