精品解析：吉林省吉林地区普通高中友好学校联合体2024-2025学年高二下学期期末联考数学试卷

吉林省吉林地区普通高中友好学校联合体2024-2025学年高二下学期期末联考数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 展开式中的常数项为（ ） A. 5 B. C. 80 D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用二项式展开式通项求常数项. 【详解】由题设，展开式通项为，， 当时，有. 故选：D 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的性质直接求解即可. 【详解】由，得， 故． 故选：B 3. 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列的性质得，再由期望的求法列方程求得，最后结合期望的性质、方差公式及概率的性质判断各项的正误. 【详解】由题设，则，A对； 由，则，联立， 所以，则，D错； ，B对； ，C对. 故选：D 4. 某地区从教育、医疗、卫生、环保四个领域中遴选个提案提交审议，若每个领域至少有一个提案，则教育领域至少有个提案的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】使用古典概型概率公式进行计算即可. 【详解】方法一： 用表示教育、医疗、卫生、环保四个领域遴选提案的个数分别为，，，， （，，，且）， 则样本空间 ，， 记“教育领域至少有个提案”为事件， 则，， ∴. 方法二： 从教育、医疗、卫生、环保四个领域中遴选个提案提交审议，若每个领域至少有一个提案，遴选方法分为两类， 第一类是有两个领域各有个提案，另外两个领域各有个提案，共有种遴选方法， 第二类是有一个领域有个提案，另外三个领域各有个提案，共有种遴选方法. ∴从四个领域中遴选个提案提交审议，每个领域至少有一个提案的方法有种， 记“教育领域至少有个提案”为事件，则“教育领域至少有个提案”的遴选方法也分为两类， 第一类是教育领域有个提案，其他三个领域中，一个领域有个提案，另外两个领域各有个提案，共有种遴选方法， 第二类是教育领域有个提案，其他三个领域各有个提案，有种遴选方法， ∴“教育领域至少有个提案”的遴选方法共有种， ∴. 故选：B. 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，令，解不等式求解单调区间即可. 【详解】由题意得，定义域为，， 令，解得， 故函数的单调递减区间是. 故选：C 6. 北京市某高中高一年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加且每名学生只能报一个项目，则符合要求的参赛方法种类数为（ ） A. 60 B. 90 C. 150 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】根据分组分配问题，结合排列组合即可求. 【详解】依题意5名同学参加三个项目比赛，每个项目至少有一名同学先分组再排列， 5人分为：1,1,3，则有种； 5人分为：1,2,2，则有种， 所以一共有种方法； 故选：C. 7. 函数的极值点的个数（ ）． A. 无数个 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究函数的极值点即可. 【详解】由且， 令，而，故恒成立， 所以在上恒 ，即无解，故函数没有极值点. 故选：D 8. 若函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数分析可知，函数在上单调递增，从而可知函数在上为增函数，利用分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】当时，，则， 所以，函数在上单调递增， 由题意可知，函数在上为增函数， 当时，为增函数，则，可得， 且有，解得. 综上所述，. 故选：B. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个符合题意的选项，每选对一个得3分；若只有3个符合题意的选项，每选对一个得2分． 9. 下列说法中错误的有（ ） A. 相关系数越小，表明两个变量相关性越弱 B. 决定系数越接近1，表明模型的拟合效果越好 C. 若随机变量服从两点分布，其中，则， D. 随机变量，若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据相关系数的概念即可判断A；根据决定系数的概念判断B；根据两点分布的均值与方差公式及均值与方差的性质即可判断C；根据正态分布的对称性即可判断D． 【详解】对于A：值越小，表明两个变量相关性越弱，故A错误； 对于B，决定系数越接近1，表明模型的拟合效果越好，故B正确； 对于C，若，则，，， 所以，，故C错误； 对于D，随机变量，若，则，故D正确； 故选：AC． 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的等式，利用二项式定理，结合赋值法逐项求解判断. 【详解】对于A，取，得，A正确； 对于B，取，得，因此，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，取，得， 因此，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. 当时，是的极值点 C. 存在实数，使得的图象关于点对称 D. 若在区间内存在极值点，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解切线方程即可得判断A；根据导数极值点的定义和性质即可判断B，D；根据函数对称性，确定使得的图象关于点对称时的值，即可判断C. 【详解】函数，则， 对于A，，，则曲线在点处的切线方程为，即，故A正确； 对于B，当时，，所以函数在上单调递增，无极值点，故B不正确； 对于C，若函数的图象关于点对称，则， 又，所以恒成立，故， 所以存在，使得的图象关于点对称，故C正确； 对于D，若在区间内存在极值点，则有变号零点， 所以，设， 则时函数单调递增，时函数单调递减， 又， 所以要使得有变号零点故的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知函数，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，利用列式求解即可. 【详解】由得，因为，所以. 故答案为： 13. 已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，由已知可得，在上恒成立，方法一：只需，计算即可求实数的范围；方法二：分离变量后利用函数的单调性求实数的范围. 【详解】解法一，因为在上单调递减， 所以在上恒成立． 所以，即，解得， 即实数的取值范围为． 解法二，由题意知在上恒成立， 所以在上恒成立． 记，当时， （由对勾函数的单调性可得），所以， 即实数的取值范围为． 14. 已知为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量，则________． 【答案】##0.1875 【解析】 【分析】首先列出随机变量，再求解分布列，最后求数学期望和方差. 【详解】由条可知，，，， 则， . 故答案为： 四、解答题：（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间和最小值. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）分类讨论即可根据导函数的正负，即可求解单调性得解. 【小问1详解】 当时，，则， 故，， 故切线方程为，即， 【小问2详解】 且， 当时，，的单调增区间为，； 当时， 当时，，当时，， 所以的单调减区间为，单调增区间为，； 当时，，所以的单调减区间为， 16. 若，请求值： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）1 （2）65536 （3）3072 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，令即可求解， （2）在中令即可求解， （3）求导后赋值即可求解. 【小问1详解】 令得； 【小问2详解】 等于的展开式的各个项系数的和， 令代入， 则 【小问3详解】 令，. 则， 且， 令，则， 且， 所以. 17. 某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量（单位：箱） 7 6 6 5 6 收益（单位：元） 165 142 148 125 150 （1）求收益关于售出水量的回归直线，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ 附： （2）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级前201~500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生不获得奖学金.学生甲获一等奖学金的概率为，获二等奖学金的概率为，不获得奖学金的概率为.求在学生甲获得奖学金的条件下，求他获得一等奖学金的概率. 【答案】（1），186元. （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式求线性回归方程，代入数据即可得到结果. （2）利用条件概率公式求解可得结果. 【小问1详解】 依题意可得， ， ， 当时，（元）， 即每天售出8箱水的预计收益是186元. 【小问2详解】 设事件为“学生甲获得奖学金”，事件为“学生甲获得一等奖学金”， 则，，所以， 即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为. 18. 向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展以人工智能的应用为例，人工智能中的文生视频模型Sora（以下简称Sora），能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频．为调查Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示． Sora的应用情况 视频从业人员 合计 减少 减少 应用 54 18 72 没有应用 36 42 78 合计 90 60 150 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 （1）根据所给数据，判断是否有的把握认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关？ （附：，其中．） （2）某公司视频部拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora． （i）求员工经过培训能应用Sora的概率； （ii）已知开展Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；Sora培训平均每人每年成本为1万元．视频部现有员工100人，根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 【答案】（1）有把握 （2）（i）；（ii）14人 【解析】 【分析】（1）分析数据关系，完善列联表，提出零假设，计算，比较其与临界值大小，判断结论； （2）（i）设“员工第轮获得优秀”， “员工经过培训能应用Sora”，则，结合互斥事件概率加法公式，独立事件概率乘法公式求结论； （ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用Sora的人数，则，由条件列不等式可求结论. 【小问1详解】 零假设：Sora的应用与视频从业人员的减少无关， ， 根据小概率值的独立性检验，可以推断出不成立， 所以有的把握认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关； 【小问2详解】 （i）设“员工第轮获得优秀”， “员工经过培训能应用Sora”，则， 所以， 所以员工经过培训能应用Sora的概率为； （ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用Sora的人数， 则，因此， 调整后视频部的期望年利润为：（万元）， 令，解得，又，所以， 因此视频部最多可以调14人到其他部门． 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分和讨论判断正负，得解； （2）根据题意，问题转化为有两解，令，利用导数判断函数的单调性极值情况得解； （3）根据题意，问题转化为，对恒成立．当时，上式显然成立；当时，上式转化为，令利用导数求出最值得解. 【小问1详解】 ， ， 当时，，所以在上单调递增． 当时，令，则． 若，即时，恒成立，所以在上单调递增． 若，即时，方程的根为， 当时，或，在和上单调递增； 当时，，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增， 在上单调递减． 【小问2详解】 令，则． 令，则． 所以当时，，在上单调递减． 当时，，在上单调递增． 又当时，，且；当时，， 所以当时，先减后增，且在处有最小值， 此时直线与有两个交点， 所以实数的取值范围为． 【小问3详解】 因为，即， 即，对恒成立． 当时，上式显然成立； 当时，上式转化为， 令，， ，所以函数在上单调递增， ，， 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：第三问解题的关键是转化为在上恒成立，构造函数并利用导数研究单调性求最值，进而确定参数范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省吉林地区普通高中友好学校联合体2024-2025学年高二下学期期末联考数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 展开式中的常数项为（ ） A. 5 B. C. 80 D. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 某地区从教育、医疗、卫生、环保四个领域中遴选个提案提交审议，若每个领域至少有一个提案，则教育领域至少有个提案的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 6. 北京市某高中高一年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加且每名学生只能报一个项目，则符合要求的参赛方法种类数为（ ） A. 60 B. 90 C. 150 D. 240 7. 函数的极值点的个数（ ）． A. 无数个 B. 2 C. 1 D. 0 8. 若函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个符合题意的选项，每选对一个得3分；若只有3个符合题意的选项，每选对一个得2分． 9. 下列说法中错误的有（ ） A. 相关系数越小，表明两个变量相关性越弱 B. 决定系数越接近1，表明模型的拟合效果越好 C. 若随机变量服从两点分布，其中，则， D. 随机变量，若，则 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. 当时，是的极值点 C. 存在实数，使得的图象关于点对称 D. 若在区间内存在极值点，则的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知函数，若，则______. 13. 已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围为______． 14. 已知为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量，则________． 四、解答题：（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间和最小值. 16. 若，请求值： （1）； （2）； （3）. 17. 某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量（单位：箱） 7 6 6 5 6 收益（单位：元） 165 142 148 125 150 （1）求收益关于售出水量的回归直线，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ 附： （2）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级前201~500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生不获得奖学金.学生甲获一等奖学金的概率为，获二等奖学金的概率为，不获得奖学金的概率为.求在学生甲获得奖学金的条件下，求他获得一等奖学金的概率. 18. 向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展以人工智能的应用为例，人工智能中的文生视频模型Sora（以下简称Sora），能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频．为调查Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示． Sora的应用情况 视频从业人员 合计 减少 减少 应用 54 18 72 没有应用 36 42 78 合计 90 60 150 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 （1）根据所给数据，判断是否有的把握认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关？ （附：，其中．） （2）某公司视频部拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora． （i）求员工经过培训能应用Sora的概率； （ii）已知开展Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；Sora培训平均每人每年成本为1万元．视频部现有员工100人，根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $