精品解析：吉林省吉林市永吉实验高级中学等校2024-2025学年高二下学期期末联考数学试卷

吉林省吉林市永吉实验高级中学等校2024-2025学年高二下学期期末联考数学试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整、笔迹清楚． 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5.本卷主要考查内容：必修第一册（函数的性质），选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均变化率公式计算可得. 【详解】函数在区间上的平均变化率为. 故选：A 2. 用、、、可以组成没有重复数字的三位数的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排列计数原理可求得结果. 【详解】用、、、可以组成没有重复数字的三位数的个数是. 故选：D. 3. 下列哪组中的两个函数是同一函数（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数相等的定义逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为， A选项中的两个函数定义域不相同，故A选项中的两个函数不是同一个函数； 对于B选项，函数的定义域为，函数的定义域为， B选项中的两个函数的定义域不相同，故B选项中的两个函数不是同一个函数； 对于C选项，函数、的定义域为，且对应关系相同， 故C选项中的两个函数是同一函数； 对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为， D选项中两个函数的定义域不相同，故D选项中的两个函数不是同一函数. 故选：C. 4. 已知为奇函数，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数定义结合函数定义域计算求解. 【详解】函数是奇函数，且，都在定义域内， 所以且， 所以且， 所以，所以. 故选：A. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的定义域，再结合，从而可求解. 【详解】由函数的定义域为， 有意义，则得，解得， 有意义，需满足且，即且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 6. 已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的性质化简不等式，然后根据函数的单调递减解关于的不等式，求出的取值范围. 【详解】因为奇函数在上有定义，所以， 所以 所以，解得. 所以的取值范围为. 故选：D. 7. 已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，再结合二次函数的性质计算可得. 【详解】的定义域为， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，因为函数， 所以当时取得最大值9， 所以，即的取值范围是. 故选：D. 8. 已知函数在上单调递减的概率为，且随机变量，则（附：若，则，，（ ） A. 0.1359 B. 0.01587 C. 0.0214 D. 0.01341 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性可求得，从而可得，再根据三段区间法即可求解. 【详解】根据题意在上单调递减，可得，故，，， 所以 . 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在二项式的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 常数项为-64 B. 含的项的系数为-160 C. 所有的二项式系数之和为64 D. 所有项的系数之和为-1 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二项式定理得展开式为可对A、B判断求解；利用二项式系数的性质可判断C，利用赋值法求出展开式系数和可判断D 【详解】A：由题得二项式的展开式为，当时为常数项，且系数为，故A错误； B：当时，系数为，故B正确； C：因，所有的二项式系数之和为，故C正确； D：令，得所有项的系数之和为，故D错误. 故选：BC. 10. 若为非零常数，函数的定义域为，则下列说法正确的是（ ） A. 若是奇函数，则 B. 若是偶函数，则函数的图象关于直线对称 C. 若，则函数的图象关于直线对称 D. 若，则函数的图象关于点对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】由奇函数的性质可对A判断求解；由偶函数的性质可对B判断求解；由函数的对称性质可对C、D判断求解. 【详解】A：由是奇函数，则，故A错误； B：由是偶函数其图象关于对称，所以可得的图象关于直线对称，故B正确. C：由，则，则得为偶函数， 从而可得函数的图象关于直线对称，故C正确. D：由，可得，可得， 所以为奇函数，则函数的图象关于点对称，故D正确. 故选：BCD. 11. 一个盒子中装有3个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由独立事件与条件概率的概率公式计算判断即可. 【详解】由题意，， 因为在“第一次取得黑球”的前提条件下，盒子中还有2个黑球，4个白球，共6个球， 所以,, 因为在“第一次取得白球”的前提条件下，盒子中还有3个黑球，3个白球，共6个球， 所以, 第一次取得黑球，第二次取得黑球的概率为：， 第一次取得黑球，第二次取得白球的概率为：，故A错误； 第一次取得白球，第二次取得黑球的概率为：， 第一次取得白球，第二次取得白球的概率为：， 第二次取得黑球的概率为， 第二次取得白球的概率为， 所以，故B正确； ，， 故，故C正确； ，，故D错误； 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为了比较E、F、G、H四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了E、F、G、H四组数据的线性相关系数，求得数值依次为，，，，则这四组数据中线性相关性最强的是______组数据. 【答案】 【解析】 【分析】借助相关系数的性质计算即可得. 【详解】因为线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强， 且， 所以H组数据的线性相关性最强. 故答案为：. 13. 已知函数的定义域为，满足，当时，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及周期性代入即可求解. 【详解】，故为上的奇函数， ，则， ， ，是周期为4的周期函数， . 故答案为： 14. 若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，切点为，再根据导数的几何意义求出切线方程，再结合题意求出的关系，再构造新的函数，利用导数求出最大值即可. 【详解】设，则， 设切点为，则， 则切线方程为，整理可得， 所以，解得， 所以，所以， 设，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：设出切点，根据直线为曲线的一条切线，求出的关系，是解决本题的关键. 四、解答题：本题共5小题.共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 企业为了更加了解某设备的维修成本，统计此设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）的有关资料如下表所示： 使用年限x/年 2 3 4 5 6 维修费用y/万元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 （1）求线性回归方程的系数，； （2）估计当使用年限为8年时，维修费用是多少. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1），； （2）9.92万元. 【解析】 【分析】（1）根据表中数据结合公式即可求出； （2）将代入回归方程即可求出. 【小问1详解】 由已知数据制成下表： i 1 2 3 4 5 合计 2 3 4 5 6 20 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 由此可得，， ， ； 【小问2详解】 回归直线方程为， 当时，. 故估计当使用年限为8年时，维修费用是9.92万元. 16. 3月9日，在十四届全国人大三次会议举行的记者会上，国家卫生健康委员会主任雷海潮表示，体重管理年实施的首期三年体重管理行动，目的是“在全社会形成重视体重､管好体重，健康饮食､积极参与运动锻炼等良好的生活方式和习惯.”由于肥胖对人体健康的危害，某健康咨询机构为了了解居民是否有减肥的想法，随机调查了400名居民，得到如下列联表： 有减肥的想法 没有减肥的想法 合计 男性居民 女性居民 合计 180 （1）求的值，并完成上述列联表； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为性别与是否有减肥的想法有关？ （3）以样本估计总体，且以频率估计概率，若从男性居民中随机抽取4人，记其中“有减肥想法”的人数为，求的期望值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）, 有减肥的想法 没有减肥的想法 合计 男性居民 100 100 200 女性居民 80 120 200 合计 180 220 400 （2）有关 （3） 【解析】 【分析】（1）由表，得，可得，再填表即可； （2）根据列联表，求得值，再与临界值表对照下结论； （3）先求“有减肥想法”的概率为，再用二项分布期望公式计算. 【小问1详解】 列联表中部分数据补充如下： 有减肥的想法 没有减肥的想法 合计 男性居民 女性居民 合计 180 400 由上知，有，可得， 完成列联表如下： 有减肥的想法 没有减肥的想法 合计 男性居民 100 100 200 女性居民 80 120 200 合计 180 220 400 【小问2详解】 零假设为：性别与是否有减肥的想法无关， 由， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 故能认为性别与是否有减肥的想法有关； 【小问3详解】 由表格中的数据知，从男性居民中抽取1人，其“有减肥想法”的概率为， 的取值可以是0，1，2，3，4，且， 所以. 17. 某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书．不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求： （1）李明在一年内参加考试次数X的分布列； （2）李明在一年内领到资格证书的概率． 【答案】（1）分布列见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）的取值分别为1，2，3，分别求出，，，由此能求出李明参加考试次数的分布列 （2）由已知条件，利用对立事件的概率计算能求出李明在一年内领到资格证书的概率． 【详解】解：（1）的取值分别为1，2，3． ，， 所以李明参加考试次数的分布列为： 1 2 3 P 0.6 0.28 0.12 （2）李明在一年内领到资格证书的概率为： 18. 已知函数. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数在区间上的单调性； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1）是定义在上的奇函数 （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的判定方法即可； （2）根据函数的单调性的判断方法即可判断证明； （3）利用（2）的结论，可将不等式转化为不等式组，求解即得. 【小问1详解】 是定义在上的奇函数，证明如下： 依题意，函数的定义域关于原点对称， 又， 是定义在上的奇函数. 【小问2详解】 在上单调递增，理由如下： 任取，且， 则， ，， ，且，， ， ，即， 在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，在上单调递增， 由可得，，解得： 故不等式的解集为. 19. 已知函数． （1）若，求证：在上单调递减； （2）若在上恒成立，求a的取值范围； （3）证明： 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，，利用求导判断单调性； （2）利用求导，分类讨论求解的范围； （3）根据（2），进行放缩，令代入整理，累加可得. 【小问1详解】 证明：由，则， 故，令， 则，令，则， 故，，在单调递增， ，，在单调递减， 故， 则在单调递减； 【小问2详解】 由在恒成立， 则在恒成立， 令在恒成立， ，令， 当时，，，，所以 所以，则在单调递减， 所以这与在恒成立矛盾，所以不满足条件， 当时，，对称轴， 若 即, 当时，，， 故，则在单调递增， 所以，故 . 若 即 当时，,则 故当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以与在恒成立矛盾， 故. 【小问3详解】 由（2）时， 故时，， 令，则，， 则个不等式相加 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省吉林市永吉实验高级中学等校2024-2025学年高二下学期期末联考数学试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整、笔迹清楚． 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5.本卷主要考查内容：必修第一册（函数的性质），选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 10 2. 用、、、可以组成没有重复数字的三位数的个数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列哪组中的两个函数是同一函数（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知为奇函数，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 1 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递减的概率为，且随机变量，则（附：若，则，，（ ） A. 0.1359 B. 0.01587 C. 0.0214 D. 0.01341 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在二项式的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 常数项为-64 B. 含的项的系数为-160 C. 所有的二项式系数之和为64 D. 所有项的系数之和为-1 10. 若为非零常数，函数的定义域为，则下列说法正确的是（ ） A. 若是奇函数，则 B. 若是偶函数，则函数的图象关于直线对称 C. 若，则函数的图象关于直线对称 D. 若，则函数的图象关于点对称 11. 一个盒子中装有3个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为了比较E、F、G、H四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了E、F、G、H四组数据的线性相关系数，求得数值依次为，，，，则这四组数据中线性相关性最强的是______组数据. 13. 已知函数的定义域为，满足，当时，，则______. 14. 若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题.共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 企业为了更加了解某设备的维修成本，统计此设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）的有关资料如下表所示： 使用年限x/年 2 3 4 5 6 维修费用y/万元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 （1）求线性回归方程的系数，； （2）估计当使用年限为8年时，维修费用是多少. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 16. 3月9日，在十四届全国人大三次会议举行的记者会上，国家卫生健康委员会主任雷海潮表示，体重管理年实施的首期三年体重管理行动，目的是“在全社会形成重视体重､管好体重，健康饮食､积极参与运动锻炼等良好的生活方式和习惯.”由于肥胖对人体健康的危害，某健康咨询机构为了了解居民是否有减肥的想法，随机调查了400名居民，得到如下列联表： 有减肥的想法 没有减肥的想法 合计 男性居民 女性居民 合计 180 （1）求的值，并完成上述列联表； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为性别与是否有减肥的想法有关？ （3）以样本估计总体，且以频率估计概率，若从男性居民中随机抽取4人，记其中“有减肥想法”的人数为，求的期望值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书．不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求： （1）李明在一年内参加考试次数X的分布列； （2）李明在一年内领到资格证书的概率． 18. 已知函数. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数在区间上的单调性； （3）解关于的不等式：. 19. 已知函数． （1）若，求证：在上单调递减； （2）若在上恒成立，求a的取值范围； （3）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $