课时训练（42）数列的综合问题（Word练习）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

1．(2025·南京模拟)已知各项均为正数的数列{an}，满足a－an＋1an－2a＝0(n∈N*)，a1a2a3＝64. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记Tn＝(1＋)(1＋)(1＋)…(1＋)，试比较Tn与9的大小，并加以证明． 解：(1)因为a－an＋1an－2a＝0(n∈N*)， 所以(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0. 因为{an}的各项均为正数，所以an＋1＋an＞0， 故an＋1＝2an，即＝2， 所以{an}是以2为公比的等比数列． 因为a1a2a3＝64，所以a＝64，即a2＝4.又公比为2， 所以a1＝2，所以an＝2×2n－1＝2n. (2)Tn＜9，证明如下： 令f(x)＝ln (1＋x)－x(x＞0)，则f′(x)＝－1＝， 当x＞0时，f′(x)＜0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以f(x)＜f(0)＝0，即ln (1＋x)－x＜0， 所以ln (1＋x)＜x. 设cn＝1＋，所以ln cn＝ln (1＋)＝ln (1＋)＜， 所以ln Tn＝ln c1＋ln c2＋ln c3＋…＋ln cn ＜＋＋＋…＋， 记An＝＋＋＋…＋， 则An＝＋＋＋…＋＋， 所以An－An＝＋＋＋…＋－ ＝－＝1－＜1， 即An＜1，所以An＜2，所以ln Tn＜2，故Tn＜e2＜9. 2．(2025·荆州模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a＋2an－n＝2Sn. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an－1，若数列{cn}满足cn＝，且数列{cn}的前n项和为Tn，若1－Tn≤恒成立，求λ的取值范围． 解：(1)∵a＋2an－n＝2Sn，当n≥2时，a＋2an－1－(n－1)＝2Sn－1， 两式相减得a＋2an－a－2an－1－1＝2an， 整理得a＝(an－1＋1)2. ∵an>0，∴an＝an－1＋1(n≥2)， 当n＝1时，a＋2a1－1＝2a1， ∴a1＝－1(舍去)或 a1＝1， ∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，则an＝n. (2)由(1)知，bn＝2n－1，cn＝＝－， ∴Tn＝1－. 由1－Tn≤⇒λ≥.令g(n)＝， 则当n≥2时，g(n)－g(n－1)＝－＝<0，所以g(n)<g(n－1)，即随着n增大，g(n)减小， 所以λ≥g(n)max＝g(1)＝1，即λ的取值范围为[1，＋∞). 3．(2025·秦皇岛模拟)“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍．寻找“完全数”需要用到函数σ(n)，记函数σ(n)：∀n∈N*，σ(n)为n的所有正因数之和． (1)判断28是否为“完全数”，并说明理由； (2)已知n∈N*，若2n＋1－1为质数，证明：2n(2n＋1－1)为“完全数”； (3)已知n∈N*，求σ(10n)，σ(30n)的值． (1)解：28的所有正因数为1，2，4，7，14，28， 因为1＋2＋4＋7＋14＋28＝56＝2×28，所以28是“完全数”． (2)证明：2n(2n＋1－1)的正因数为20，21，22，…，2n，20(2n＋1－1)，21(2n＋1－1)，22(2n＋1－1)，…，2n(2n＋1－1)， σ(2n(2n＋1－1))＝(1＋2＋22＋…＋2n)(2n＋1－1＋1)＝×2n＋1＝2n＋1(2n＋1－1)＝2×2n(2n＋1－1)， 所以2n(2n＋1－1)为“完全数”． (3)解：10n＝2n·5n的正因数为 2050，2051，2052，…，205n，2150，2151，2152，…，215n，…，2n50，2n51，2n52，…，2n5n， 所以σ(10n)＝(1＋2＋22＋…＋2n)(1＋5＋52＋…＋5n)＝. 因为30n＝2n·3n·5n， 所以σ(30n)＝(1＋2＋22＋…＋2n)(1＋3＋32＋…＋3n)(1＋5＋52＋…＋5n)＝××＝. 4．(2025·无锡模拟)如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“G型数列”． (1)若数列{an}满足an＝判断{an}是否为“G型数列”，并说明理由； (2)已知正项数列{an}为“G型数列”，a1＝1，数列{bn}满足bn＝an＋2，n∈N*，{bn}是等比数列，公比为正整数，且不是“G型数列”， ①求证：数列{an}为递增数列； ②求数列{an}的通项公式． (1)解：数列{an}不是“G型数列”，理由如下，∵a1＝1，a2＝5，a3＝11，∴＝<3， 不满足“G型数列”的定义，数列{an}不是“G型数列”． (2)①证明：∵正项数列{an}为“G型数列”，∴>3， ∴an＋1－an>2an>0， ∴数列{an}为递增数列． ②解：设数列{bn}的公比为q，q∈N*， 又因为数列{bn}不是“G型数列”，所以q≤3， 可得＝＝q，即得an＋1＝qan＋2q－2. 又数列{an}为“G型数列”，可得＝q＋>3. 由①知{an}为递增数列，因此当n趋近于正无穷大时，q＋趋近于q，即可得q≥3； 综上可得，q＝3， 即an＋1＝3an＋4，可得an＋1＋2＝3(an＋2). 所以数列{an＋2}是以a1＋2＝3为首项，3为公比的等比数列， 即可得an＋2＝3×3n－1＝3n，可得an＝3n－2， 所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2. 学科网（北京）股份有限公司 $$