课时训练（26）两角和与差及二倍角的三角函数公式（Word练习）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

一、单选题 1．(2025·惠州调研)cos 50°cos 160°－cos 40°sin 160°＝(　　) A． B． C．－ D．－ D　解析：原式＝cos 50°cos 160°－sin 50°sin 160°＝cos (50°＋160°)＝cos 210°＝－cos 30°＝－. 2．已知α是第三象限角，cos α＝－，则sin 2α等于(　　) A．－ B． C．－ D． D　解析：因为α是第三象限角，且cos α＝－，所以sin α＝－.所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×(－)×(－)＝. 3．(2025·合肥模拟)已知sin α＋cos α＝，则sin (α－)等于(　　) A．± B． C．－ D．－ C　解析：∵sin α＋cos α＝sin (α＋)＝， ∴sin (α＋)＝，∴sin (α－)＝sin [(α＋)－π]＝－sin (α＋)＝－. 4．(2025·广州模拟)若tan β＝，则(　　) A．tan (α－β)＝1 B．tan (α－β)＝－1 C．tan (α＋β)＝1 D．tan (α＋β)＝－1 A　解析：因为tan β＝，所以tan αtan β＋tan β＝tan α－1，所以1＋tan αtan β＝tan α－tan β，所以tan (α－β)＝＝1. 5．已知sin α＝，cos (α＋β)＝－，且α，β∈(0，)，则sin β等于(　　) A．－ B． C．－ D． D　解析：因为sin α＝，cos (α＋β)＝－，且α，β∈(0，)，所以cos α＝，sin (α＋β)＝.所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)·cos α－cos (α＋β)sin α＝. 6．sin2(α－)＋sin2(α＋)－sin2α等于(　　) A．－ B．－ C． D． C　解析：原式＝＋－sin2α＝1－·[cos(2α－)＋cos (2α＋)]－sin2α＝1－cos2αcos －sin2α＝1－－＝. 二、多选题 7．下列各式中，值为的是(　　) A．cos2－sin2 B． C．2sin195°cos 195° D． BC　解析：cos2－sin2＝cos(2×)＝cos ＝，A错误；＝·＝tan45°＝，B正确；2sin 195°·cos 195°＝2sin (180°＋15°)cos (180°＋15°)＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，C正确；＝＝，D错误． 8．(2025·海南调研)已知α∈(，π)，且cos2α－cos2α＝，则(　　) A．tan α＝－ B．sin 2α＝ C．cos 2α＝ D．tan 2α＝－ AC　解析：cos2α－cos2α＝cos2α－(cos2α－sin2α)＝sin2α＝.因为α∈(，π)，所以sinα＝，cos α＝－＝－，所以tanα＝＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝，tan2α＝＝－. 三、填空题 9．已知角α的终边与单位圆交于点P，点P位于第二象限，且点P的横坐标为－，则sin 2α＝________． 答案：－　解析：由题易知P(－，)，则sin α＝，cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝－. 10．(2025·杭州质检)已知α为锐角，sin (α－)＝，则cos (α＋)＝________． 答案：　解析：因为sin (α－)＝，α为锐角，所以cos (α－)＝，cos (α＋)＝cos [(α－)＋]＝[cos (α－)－sin (α－)]＝. 四、解答题 11．已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan (α－β)＝－. (1)求sin (α－β)的值； (2)求cos β的值． 解：(1)因为α，β∈(0，)，所以－<α－β<. 又tan (α－β)＝－<0， 所以－<α－β<0，且sin (α－β)＝－cos (α－β)， 又sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1， 解得cos(α－β)＝，sin (α－β)＝－. (2)由(1)可得，cos (α－β)＝， 因为α为锐角，且sin α＝，所以cos α＝. 所以cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝×＋×(－)＝. 12．(多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是(　　) A．A＋B＝2C B．tan (A＋B)＝－ C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A CD　解析：∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2(A＋B)＝C， ∴tan (A＋B)＝，∴选项AB错误；∵tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝，∴tan A·tan B＝　①.又tan A＋tan B＝　②，∴联立①②，解得tan A＝tan B＝， ∴cos B＝sin A，故选项CD正确． 13．(2024·浙江模拟)已知α是第二象限角，β∈(0，)，tan (α＋)＝－，现将角α的终边逆时针旋转β后得到角γ，若tan γ＝，则tan β＝________． 答案：　解析：由题意tan (α＋)＝＝－，且γ＝α＋β，tan γ＝tan (α＋β)＝，解得tan α＝－，所以tan β＝tan (α＋β－α)＝＝. 14．(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝________． 答案：－　解析：方法一　由题意得tan (α＋β)＝＝＝－2，因为α∈(2kπ，2kπ＋)，β∈(2mπ＋π，2mπ＋)，k，m∈Z，则α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，又tan (α＋β)＝－2<0，则α＋β∈((2m＋2k)·π＋，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，则sin (α＋β)<0，则＝－2，联立sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，解得sin(α＋β)＝－. 方法二　因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos α>0，cos β<0，cos α＝＝，cosβ＝＝，则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos αcos β·(tan α＋tan β)＝4cos αcos β ＝ ＝ ＝＝－. 15.如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点，且A，B两点的横坐标分别为，－. (1)求cos (β－α)的值； (2)求cos (＋2α)－cos2α的值． 解：(1)因为锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A，B，且点A，B的横坐标分别为，－， 显然点A在第一象限，点B在第二象限， 则点A，B的纵坐标分别为，. 由已知及三角函数定义得sinα＝，sin β＝， 而cos α＝，cos β＝－， 所以cos (β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝×(－)＋×＝. (2)由(1)知sin α＝，cos α＝， 所以cos (＋2α)－cos2α＝sin2α－cos2α ＝2sinαcos α－cos2α＝2××－()2＝. 16．如图，已知点A(1，0)，P1(cosα，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P(cos (α＋β)，sin (α＋β)). (1)证明：cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (2)利用(1)中的结果证明cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]，并计算cos 37.5°cos 37.5°的值． (1)证明：连接PA，P1P2(图略)，易知|PA|＝|P1P2|， ∴[cos (α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝(cosα－cos β)2＋(sin α＋sin β)2， 即2－2cos (α＋β)＝2－2cos αcos β＋2sin αsin β，∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. (2)解：由(1)知，cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β， ∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， ∴cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]， 故cos 37.5°cos 37.5°＝[cos (37.5°＋37.5°)＋cos (37.5°－37.5°)]＝(cos 75°＋1)＝(cos 45°·cos 30°－sin 45°·sin 30°)＋＝＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$