课时训练（21）利用导数研究恒(能)成立问题（Word练习）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时训练(21) 利用导数研究恒（能）成立问题 A级 夯基固本练 1.已知函数x)=xlnx,若对于所有x≥1都有x)≥ax一l,求实数a的取值范围. 解：方法一（分离参数法）依题意，得x)≥一1在[1，+)上恒成立， 即不等式a≤lnx十lx在l,+oo)上恒成立，即a≤(nx十lx)mim,x∈[l,十∞) 设gx)=nx+1xe≥1)，则g')=1x-1x2=x-lx2, 令g')=0,得x=1, 当x≥1时，因为g'(x)≥0，故g)在[1，十∞)上单调递增， 所以gx)在[1，+∞)上的最小值是g(1)=1, 故a的取值范围是（一∞，1] 方法二（构造函数法当x=1时，有1）≥a一1，即a-1≤0，得a≤1： 构造Fx)=fx)一(a一1)=xlnx一a+1, 原命题等价于Fx)≥0在x≥1上恒成立eFx)mm≥0，x∈[1，+o), F'x)=nx十1-a,在[1，十∞)上F(x)≥0恒成立， 因此，函数Fx)在[1，十o∞)上单调递增，所以F(x)mm=F(I)=1一a≥0，得a≤1， 故a的取值范围是（一∞，1] 2.已知曲线x)=(c+1)nx一12x2-ax+b(a,b∈R)在x=1处的切线经过坐标原点， (1)求b的值： (2)若x)≤0，求a的取值范围。 解：(l)fx)=nx十x十lx-x-a ∴.f(1)=1-a,又f1)=-12-a+b, ∴x)在x=1处的切线为y+12十a一b=(1一a)c-1),又该切线过原点，.I2十a-b =-1十a,解得b=32 (2)由(1)得fx)=(x+1)nx-12x2-+32, x)的定义域为(0，+o) 若x)≤0恒成立，则a≥(1+1x)nx-12x+32x 令gx)=(1+1x)nx-12x+32x, g(x)=-2In x-x2+2x-12x2 令hx)=-2nx-x2+2x-1,则h()=-2(x2-x+1)x ,x2-x+1>0恒成立， .h(x)0,.hx)在(0，十o)上单谓递减， 又(1)=0， ∴.当x∈(0,1)时，x>0:当x∈(1，+∞)时，x0: ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ·gx)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， …gx)m=g1)=-12+32=1, ∴.a≥1，即a的取值范围为[1，十o) B级 能力进阶练 3.已知函数x)=e-x2-1 (I)求x)在x=1处的切线方程： (2)若x)≤a在(0，十o)上有解，求实数a的取值范围. 解：(1)由已知得fx)=e-2x,则f(1)=e-2, 又f1)=e-2, 所以x)在x=1处的切线方程为 y-(e-2)=(e-2)-1),即y=(e-2x (2)因为x)≤在(0，十∞)上有解， 所以e一x2-ar一1≤0在(0，十∞)上有解， 即a≥x一(x十1x)在(0，十∞)上有解， 令gr)=ea-(c+1x), 则g'(x)=e(x-1)x2-x2-1x2=(x-I)[ex-(x十1)]x2 令ox)=ex-c+1),则p'(x)=e-1, 当x0时，o'(x)>0,中(x)单调递增，故0x>0(O=0,则当0时，e>x十1，即e -x+1)>0 所以当0<1时，g′(x)0:当x1时，g'x)>0, 所以gx)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， 所以当x=1时，g(x9mim=e-2,所以a≥e-2, 综上可知，实数a的取值范围是[e一2，十∞) 4.(2025聊城模拟)已知函数fx)=xlnx十a,gx)=2e-lnx一x-lh2 (I)若直线y=x是曲线y=x)的一条切线，求a的值： (②)若对任意的：∈(0，+∞)，都存在∈(0，+∞)，使得.x)≥gx2)成立，求a的取 值范围 解：(I)由fx)=xnx+,得fx)=nx+1一a2,x>0, 设直线y=x与曲线y=x相切于点(o,yo),则oy0=x0,0a)十1=1，解得x0= reee2),故a的值为e2 (2)g(x)=2xe*-In x-x-In 2, g(x)=2ex+2xe-Ix-1=(x+1)(2ex-Ix)(x>0). 设h(x)=2e-1x,则h'(r)=2e+lx2, ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0om○ 您身边的互联网+教辅专家 当x0时，h'(x=2e+1x2>0, 所以x)在(0，十∞)上单调递增， 又10=23-40.h0=2e-1>0, 所以存在xo∈(14,1)，使得x)=0, 当x∈(0，xo)时，h)0,当x∈(o,十o)时，hP0, 从而g'x)=0,且当x∈(0，xo)时，g′(x)0,当x∈(xa,+o∞)时，g'(x>0, 所以函数gx)在(0，x0)上单调递减，在(o,十∞)上单调递增， 所以g(x)m=g(xo)=2xc-lnx。-x。-ln2. 由h(x)=0,得2e-=0,则xnc-。. 故xu十lnxo=-ln2,所以g(x)m=1十ln2一 ln2=1. 因为对任意的∈0，十∞)，都存在2∈(0，+)，使得x)≥g()成立，所以对任 意的x∈(0，十∞)，都有x)≥1成立，即不等式xlnx十≥1对任意的x∈(O,十∞)恒成 立，即不等式a≥x一x]nx对任意的x∈(0，+o)恒成立. 设ox)=x一x21nx,则0'(x)=1一x-2xnx,中'(1)=0， 当x∈(0,1)时，1-0,2xlnx<0,所以g'x)P0,当x∈(1，+o)时，1-x<0,2xnx >0,所以o'(x0, 所以函数x)=x一x2lnx在(0,1)上单调递增，在(1，十o)上单调递减，所以x)m =0(1)=1, 因此a≥1，故a的取值范围为[1，十∞) ·独家授权侵权必究·