精品解析：青海省西宁市第二中学优质教育集团2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

西宁市第二中学优质教育集团2024-2025学年第二学期 高二年级数学学科期末考试卷 考试时间：120 分钟 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，再由补集与并集运算可得. 【详解】由题意得，, 则，或， 则，或， 故选：C. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的乘方运算及除法运算即可求解； 【详解】由， 可得：， 故选：B 3. 已知向量，，若与垂直，则（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示求出，再利用坐标求出模. 【详解】向量，，则， 又与垂直，则，解得，， 所以. 故选：A 4. 已知分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断曲线与直线是否存在交点，若存在，则最短距离为0，若不存在，则当曲线在切点处的斜率为2时，切点到直线的距离最短. 【详解】令， 因，则， 故曲线和直线无交点， ，则，令，解得， 则曲线上的点到直线的距离， 则的最小值为. 故选：A 5. 已知离散型随机变量X服从二项分布，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据期望和方差的线性运算得到，再利用基本不等式的运用可求的最小值. 【详解】，， ，，又，解得，即，，当且仅当，又，即当时取等， 故选：B. 6. 已知圆锥的体积为，其侧面积与底面积的比为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设出圆锥的半径母线和高，根据侧面积与底面积的比找到母线和半径的关系，再找到高和半径的关系最后根据体积值求出半径再利用表面积公式即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为，母线长为，高为， 因为其侧面积与底面积的比为， ，即， 由圆锥的基础知识可知：，所以， 又因为圆锥的体积为，所以，所以， 所以圆锥的表面积为， 故选：D 7. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线相切于点．若，则圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点在抛物线上和，结合抛物线定义列方程组可解得和，即可得出抛物线的方程. 【详解】过点作垂直于直线，垂足为，则， 由，得，解得，由是抛物线上一点， 得，因此，， 所以圆的标准方程为. 故选：A 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且，则的面积为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用焦点三角形的性质结合题设条件可得，从而可得焦点三角形为直角三角形，从而可求其面积. 【详解】点P在双曲线右支上， 由双曲线的定义可得， 又，两式联立得. 又， 所以，即为直角三角形， 所以. 故选：C 二、多选题 9. 已知函数，则的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于点成中心对称 C. 相邻对称轴之间的距离为 D. 向右平移个单位可以得到的图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题结合辅助角公式可得，然后由三角函数对称性，周期性结合图象变换知识可判断各选项正误. 【详解】 . 对于A，将代入，得， 即在处取得最小值，则的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，将代入，得， 则在处的值为0，则关于点成中心对称，故B错误； 对于C，由题可得的最小正周期为，则相邻对称轴之间的距离为，故C正确； 对于D，由题可得将的图象向右平移个单位可以得到，故D正确. 故选：ACD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若y关于x的线性回归方程为，则样本点的残差为 B. 已知数据，，…，的极差为6，方差为2，则数据，，…，的极差为12，方差为8 C. 数据5，8，10，12，13的第40百分位数是9 D. ，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越“矮胖” 【答案】BC 【解析】 【分析】根据残差的定义即可求解A，根据极差以及方差的性质即可求解B，根据百分位数的计算规则即可求解C，根据方差的性质即可求解D. 【详解】对于A，当时，，故样本点的残差为，故A错误， 对于B，数据，，…，的极差为12，方差为8，B正确， 对于C，，故第40百分位数是，故C正确， 对于D，，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越“高瘦”，D错误， 故选：BC 11. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. 前项和为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由可判断A选项；由求出数列的通项公式，可判断B选项；利用分组求和法可判断C选项；利用裂项相消法可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，因为数列的前项和， 所以当时，， 因为不满足，所以，B错； 对于C选项，前项和为，C对； 对于D选项，当时，， 所以 ，D对. 故选：ACD. 三、填空题 12. 二项式的展开式中，项的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】二项式的展开式通项为， 令可得， 所以， 展开式中的系数为. 故答案为：. 13. 一质点在平面内每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为．记第n次向左跳动的概率为，则__________；__________（用n表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】易得，，再利用全概率由求解；从而得到，利用等比数列求解. 【详解】由题意，得，，， 由， 设，则，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，， 故答案为：；. 14. 如图，正方体的棱长为1，则三棱锥外接球的表面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三棱锥的外接球即是正方体的外接球，运算得解. 【详解】设正方体外接球的半径为，则，即， 由题，三棱锥的外接球即是正方体的外接球， 所以三棱锥外接球的表面积. 故答案为：. 四、解答题 15. 某地区为发展新型农业，使用最新型的科技设备改良土壤，经过检测合格后，在2018年开始在实验田种植，并记录了7年的小麦的产量，得到数据如下表 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 产量y/吨 0.8 1.0 1.6 2.2 3.0 3.4 0.4 （1）从该实验田的小麦产量数据中任取3年的数据，若在至少有2年的产量不低于1吨的条件下，求3年的产量都高于1吨的概率； （2）已知这7年间有一年由于干旱，导致小麦损失很大．若剔除干旱因素导致的异常，经计算，y与x有线性关系，求该经验回归方程，并预测在排除干旱因素影响的情况下，第8年年该试验田小麦的产量． 附：． 【答案】（1） （2）4.52吨 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式结合古典概型及组合数计算求解； （2）根据已知数据分别计算及得出回归直线，进而得出估计值. 【小问1详解】 由表知，这7年的小麦产量数据中，有5年的产量不低于1吨，2年的产量低于1吨， 记“这7年中任取3年，至少有2年的产量不低于1吨”，“这7年中任取3年，3年的产量都高于1吨”， 则， 所以． 【小问2详解】 由表可知，第七年的数据异常，剔除第七年的数据， 则剩余6年的数据中， ，， ， ， 所以， 所以， 所以y与x的经验回归方程为， 当时，（吨）． 所以在排除干旱因素影响的情况下，预测第八年该试验田产量为4.52吨． 16. 已知函数． （1）若在处的切线方程为，求a、b的值； （2）讨论的单调性； （3）若恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）求，再利用切点在切线上以及即可求出； （2）分和两种情况，分别研究的正负性； （3）参变分离，令，通过导函数研究其单调性，求其最小值即可. 【小问1详解】 由， 由题可知，， 将切点代入切线方程，得． 【小问2详解】 ， 当时，恒成立，此时在在上单调递增； 当时，得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在单调递增． 【小问3详解】 由得， 令， 则， 则得；得或； 所以在和上单调递减，在上单调递增， 又，时， 所以，故， 故a的取值范围为 17. 如图，在空间几何体中，平面，，，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 由平面，平面，则， 又，，易得四边形是矩形. 连接，则为的中点，又为的中点， 所以为的中位线，即. 因为平面，平面，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知得，再由线面平行的判定证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为为的中点，，所以. 因为，，所以四边形为矩形，则， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系. 设，由题意得，，，， 所以，，. 设平面的法向量为，则，取. 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 某商场举办购物抽奖活动，在一个不透明的袋子中放入24个大小､材质都相同的小球，小球有红和蓝两种颜色，每个小球上都画有符号“〇”或“×”，不同颜色和符号的小球个数如下表所示.从袋中随机摸出一个球，记事件为“摸出红球”，事件为“摸出画〇的球”. 红球 蓝球 画〇 6 10 画 2 6 （1）求和. （2）该商场规定在一次抽奖中，每人有放回地摸两次球，每次只摸出一个球，根据两次摸出球的颜色和符号是否相同设置三种奖项：颜色和符号均相同则奖励200元；仅颜色相同或仅符号相同则奖励100元；颜色和符号均不相同则奖励50元.设一次抽奖获得的奖金为元，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）， （2） 200 100 50 . 【解析】 【分析】（1）由古典概型概率计算公式及条件概率计算公式即可求解； （2）确定的所有可能取值，求得对应概率，即可求解. 【小问1详解】 由题意得， . 【小问2详解】 （2）在一次摸球的结果中， . 由题意知的所有可能取值为， 且， ， . 即的分布列为 200 100 50 所以. 19. 已知椭圆，椭圆以椭圆的短轴为长轴，且与椭圆有相同的焦距．椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的方程为，求； （3）若直线过坐标原点，且四边形是矩形，求四边形的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）2. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆的即可. （2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式计算即得. （3）根据给定条件，利用椭圆的定义求解. 【小问1详解】 椭圆的长半轴长为，短半轴长为2，半焦距为， 依题意，椭圆的焦点在轴上，其长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由消去并整理得，设， 则，所以. 【小问3详解】 由（1）知，，由四边形是矩形，得， 则，而， 所以四边形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁市第二中学优质教育集团2024-2025学年第二学期 高二年级数学学科期末考试卷 考试时间：120 分钟 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若与垂直，则（ ） A. B. C. 3 D. 2 4. 已知分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知离散型随机变量X服从二项分布，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 已知圆锥的体积为，其侧面积与底面积的比为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线相切于点．若，则圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且，则的面积为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 二、多选题 9. 已知函数，则的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于点成中心对称 C. 相邻对称轴之间的距离为 D. 向右平移个单位可以得到的图象 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若y关于x的线性回归方程为，则样本点的残差为 B. 已知数据，，…，的极差为6，方差为2，则数据，，…，的极差为12，方差为8 C. 数据5，8，10，12，13的第40百分位数是9 D. ，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越“矮胖” 11. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. 前项和为 D. 三、填空题 12. 二项式的展开式中，项的系数为______. 13. 一质点在平面内每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为．记第n次向左跳动的概率为，则__________；__________（用n表示） 14. 如图，正方体的棱长为1，则三棱锥外接球的表面积为____________． 四、解答题 15. 某地区为发展新型农业，使用最新型的科技设备改良土壤，经过检测合格后，在2018年开始在实验田种植，并记录了7年的小麦的产量，得到数据如下表 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 产量y/吨 0.8 1.0 1.6 2.2 3.0 3.4 0.4 （1）从该实验田的小麦产量数据中任取3年的数据，若在至少有2年的产量不低于1吨的条件下，求3年的产量都高于1吨的概率； （2）已知这7年间有一年由于干旱，导致小麦损失很大．若剔除干旱因素导致的异常，经计算，y与x有线性关系，求该经验回归方程，并预测在排除干旱因素影响的情况下，第8年年该试验田小麦的产量． 附：． 16. 已知函数． （1）若在处的切线方程为，求a、b的值； （2）讨论的单调性； （3）若恒成立，求a的取值范围． 17. 如图，在空间几何体中，平面，，，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 某商场举办购物抽奖活动，在一个不透明的袋子中放入24个大小､材质都相同的小球，小球有红和蓝两种颜色，每个小球上都画有符号“〇”或“×”，不同颜色和符号的小球个数如下表所示.从袋中随机摸出一个球，记事件为“摸出红球”，事件为“摸出画〇的球”. 红球 蓝球 画〇 6 10 画 2 6 （1）求和. （2）该商场规定在一次抽奖中，每人有放回地摸两次球，每次只摸出一个球，根据两次摸出球的颜色和符号是否相同设置三种奖项：颜色和符号均相同则奖励200元；仅颜色相同或仅符号相同则奖励100元；颜色和符号均不相同则奖励50元.设一次抽奖获得的奖金为元，求的分布列和数学期望. 19. 已知椭圆，椭圆以椭圆的短轴为长轴，且与椭圆有相同的焦距．椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的方程为，求； （3）若直线过坐标原点，且四边形是矩形，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $