精品解析：2025年甘肃省武威市凉州区凉州区高坝镇中心学校三模数学试题

2025年九年级中考三模数学试卷 一、选择题（共30分） 1. 下列图形中是旋转对称图形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 根据旋转对称图形的定义对四个图形进行分析即可． 【详解】解：第一个旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形； 第二个旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形； 第三个不是旋转对称图形． 第四个旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形． ∴是旋转对称图形有3个． 故选：C． 2. 数2，0，，中最小的是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的方法，掌握该知识点是解题的关键．根据正数一定比负数大，0一定比负数大，负数比较大小时，负数的绝对值越大，反而越小，根据这个知识点判断即可． 【详解】解：∵，，而， ∴， ∴最小的数是． 故选：D． 3. 如图，在中，为的平分线，于点，，，则的面积为（ ） A. 32 B. 20 C. 16 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点D作于，根据角平分线的性质定理得到，再结合，即可求出面积． 【详解】解：如图，过点D作于， ∵为的平分线，于，于，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，若直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 观察函数图象得到，即直线的图象在直线图象的下方，再由交点即可得出不等式的解集． 【详解】解：由图知，，即直线的图象在直线图象的下方， 直线与直线交于点， 的解集为， 故选：A． 5. 如图，是的内接三角形，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 由圆周角定理得到，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 6. 随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红和小明从中随机选择其中一个主题，则她们恰好选中一个主题的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求概率，设“”“豆包”“”三个主题分别用表示，画出树状图，共有种等可能的结果，其中小红和小明从中随机选择其中一个主题，她们恰好选中一个主题的结果有种，，然后用概率公式求解即可，掌握列表法或画树状图求概率是解题的关键． 【详解】解：设“”“豆包”“”三个主题分别用表示， 画树状图如下： 一共有种等可能的结果，其中小红和小明从中随机选择其中一个主题，她们恰好选中一个主题的结果有种， ∴她们恰好选中一个主题的概率为， 故选：． 7. 如图，在正方形中，点为边的中点，连接，过点作于点，连接交于点．则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，设正方形的边长为，由勾股定理求得，易证，得到，进而求得，再证 ，利用相似三角形的性质求得 于是，最后进一步求比值即可． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵四边形为正方形， ， ∵点为边的中点， ， 在中,， ∵, ， ， 又 ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ∴， 故选：B． 8. 如图，在四边形中，，，若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，在上截取，连接并延长至点，使，连接，取的中点，连接，作于点，易得，进而得到，根据，得到，进而得到，得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：过点作于点，在上截取，连接并延长至点，使，连接，取的中点，连接，作于点，如图， 则：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， ∴，， ∴当三点共线时，的值最大， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴的最大值为； 故选A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，求一点到圆上一点的最值问题，熟练掌握掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定动点的轨迹，是解题的关键． 9. 如图，这是一个正方体切去后剩下的几何体，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到的线用虚线表示． 根据从左边看得到的图形是左视图，即可解题． 【详解】解：从左边看是一个矩形的中间有一条横向看不见的轮廓线（用虚线表示）， 即， 故选：B． 10. 如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象，二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子的正负，正确理解二次函数的图象及性质是解题的关键．根据二次函数的图象及性质解答即可． 【详解】解：由图象可知，开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①不正确； ∵二次函数的图象经过点，， ∴对称轴为直线，， ∴，，故②正确； ∴当时，图象有最高点，即函数最大值为， ∴当时，， ∴，故③不正确； ∵对称轴为直线，开口向下， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而先增大后减小．故④不正确； ∴正确的为②，共1个， 故选：A． 二、填空题（共24分） 11. 计算：___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，先进行开方运算，再进行减法运算即可．熟练掌握算术平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：原式． 故答案为：2． 12. 因式分解：________. 【答案】(1+x)(1-x) 【解析】 【分析】根据平方差公式即可得到答案. 【详解】对用平方差公式，得 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法. 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：． 14. 如图，矩形中，，，将矩形绕点旋转得到矩形，若恰好经过点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转性质，矩形的判定的性质以，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 由矩形性质可知，，又旋转可知，，，然后通过勾股定理和线段和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由旋转性质可知，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，正方形的边与相切于点，、是正方形与圆的另两个交点．若，则的半径是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，并延长交于点，连接，首先证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，进而根据垂径定理得出，设，根据勾股定理列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：连接，并延长交于点，连接，如下图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 即， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 即的半径是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形性质、矩形的判定与性质、切线的性质定理、垂径定理、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． 16. 如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连接．若，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，设与交于点，由题意可得四边形是矩形，则，从而求得，则， ，然后通过勾股定理在中， ，即，即可求出的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵， ∴， ∵轴于点，轴于点， ∴四边形是矩形， ∴， 把代入求得， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵轴于点， 把代入 ，得， ∴， ∵，， 在中， ， ∴，解得 ， ∵， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在等腰中，，边上有一点，将沿线段折叠得，线段与边交于点，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，折叠的性质，等角对等边，过点A作交延长线于F，设，则，由折叠的性质可得，可证明，得到；设，，；设，则，由勾股定理得，，解得，则，证明，得到，则，，即可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作交延长线于F， 设，则， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴； 设， ∵， ∴，； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，以为顶点，边长为1且的菱形的对角线和交于点；以为对角线在下方作菱形，点在上，点在上，对角线和交于点；以为对角线在下方作菱形，点在上，点在上，对角线和交于点以此类推，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查规律探究．熟练掌握菱形的性质、等边三角形的判定和性质，解直角三角形，是解题的关键．根据菱形性质可得点，结合点得，根据对角线 与 的交点为中点，由中点公式得，根据是的中点，得，根据是的中点， 得，归纳出，即得． 【详解】解：∵菱形边长为 1，，O为原点，在x轴上， ∴， ∵点A的横坐标：，纵坐标：， ∴， ∵对角线与的交点为中点，， ∴的横坐标：，纵坐标：， ∴， ∵是的中点，， ∴的横坐标：，纵坐标：, ∴， ∵是的中点，， ∴的横坐标：，纵坐标：， ∴， …， ∴第k个点的横坐标：，纵坐标：， ∴， 当时，代入公式得：． 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）作出关于点成中心对称的； （2）在轴上找一点，使，并写出点的坐标． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换，熟练掌握基本作图知识是解题的关键． （1）根据中心对称的性质，先找出、、三点关于原点中心对称的点、、，连接三点画出三角形； （2）根据线段垂直平分线的性质即作的垂直平分线可得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示： 即为所求； 【小问2详解】 如图所示：点即为所求，坐标为． 20. （1）计算： （2）解不等式组 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算以及求不等式组的解集，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据二次根式的性质、特殊角三角函数值以及乘方的运算法则分别化简各项，然后再合并； （2）分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式． （2） 解不等式①，得； 解不等式②，得． ∴原不等式组的解集为． 21. 某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ 【答案】该商店需要将每台学习机售价定为1300元． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．设每台学习机售价为x元，利用商店每天销售该品牌学习机获得的利润等于每台的销售利润乘以日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设每台学习机售价为x元， 依题意得：， 解得：，， ∵减少库存， ∴； 答：该商店需要将每台学习机售价定为1300元． 22. 如图，是等腰直角三角形，，点是上一点（点不与点A、D重合），延长至点，使． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）等腰直角三角形，得到，进而得到，再根据，即可得证； （2）根据全等三角形的对应角相等，得到，进而得到，得到，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵等腰直角三角形，， ∴，， 又∵， ∴； 【小问2详解】 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，是的直径，弦交于点E，点B是劣弧的中点． （1）求证：． （2）若，的半径为1，求弦的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是求出． （1）根据垂径定理可得答案； （2）先求出，再求出，最后根据勾股定理可得答案． 【小问1详解】 解：∵点B是劣弧的中点，是的直径， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，，， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ． 24. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）； （2）9 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数中的三角形面积问题，根据数形结合思想求解是解题的关键． （1）根据待定系数法求得反比例函数，再求得B点的坐标，最后再根据待定系数法求得一次函数； （2）根据一次函数求得的长度，根据，即可解答． 【小问1详解】 解：把代入，得，解得． 反比例函数的表达式为． 把代入，得， 解得：， 即点坐标为． 把代入， 得， 解得：， 一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：将直线与轴的交点记为， 令，则，解得， 即点的坐标为． ． ． 25. 如图，已知是的角平分线，O是斜边上的动点，以点O为圆心，的长为半径的经过点D，与相交于点E． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义结合等边对等角得出，从而推出，由平行线的性质可得，即可得证； （2）连接，过点O作于点F，证明，求出，证明四边形为矩形，得出，由勾股定理得，再由平行线分线段成比例定理计算即可得解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：如图，连接，过点O作于点F， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴，即， 解得． 26. 某校为了解学生身体健康状况，从全校1200名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表），并绘制出不完整的条形统计图（如图） 成绩 频数 百分比 不及格 4 a 及格 b 良好 36 优秀 24 c 学生体质健康统计表 学生体质健康条形图 （1）如表中___________，___________，___________； （2）请补全如图的条形统计图； （3）并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”及以上的总人数； （4）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率． 【答案】（1），16， （2）见解析 （3）900人 （4） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为，先由“良好（人，占）”算出抽取的总人数，再分别计算（不及格频率）、（及格频数 ）、（人对应的频率 ）． （2）依据（1）中算出的的值，补全条形统计图． （3）先确定“良好”及以上对应的频率，再用全校总人数乘以该频率，估算全校“良好”及以上的总人数． （4）通过画树状图列举出从名学生中抽取人的所有可能结果，找出两人均为“良好”的结果数，利用概率公式计算概率． 【小问1详解】 解：∵良好人占， ∴总人数为（人）． 不及格频数， ． 及格占，则． ． 故答案为：，16，； 【小问2详解】 解：补全条形统计图如图， 【小问3详解】 解：（人）， 估计该校学生体质健康测试结果为“良好”及以上的总人数为900人； 【小问4详解】 解：设3名“良好”分别为甲、乙、丙，1名“优秀”学生为丁， 画树状图如图： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中两人均为“良好”的结果有6种， 所抽取的两人均为“良好”的概率为． 【点睛】本题主要考查了统计与概率的综合应用，涉及频率计算、条形统计图补全、用样本估计总体以及概率的树状图求法，熟练掌握频率公式、概率公式及统计图表的运用是解题的关键． 27. 如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，，点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）在轴上有一点，求出的值最小时点的坐标，及此时的值． （3）在第四象限内的抛物线上是否存在一点，过点作轴交轴于点，使与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点的坐标为，的最小值为 （3）存在，点坐标为或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2） 作点关于轴的对称点，连接、、，可知当共线时，最小，即最小，最小值为的长度，得到最小值，然后根据待定系数法求出直线的表达式为，即可得到点的坐标； （3）设 ，则，得出，，，，分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可． 【小问1详解】 解：抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，， 把点，点，点的坐标代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：作点关于轴的对称点，连接、、，如图所示， 根据轴对称可知：， ， 两点之间线段最短， 当共线时，最小，即最小，最小值为的长度， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 顶点坐标， 的最小值为：； 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为， 【小问3详解】 解：在第四象限中的抛物线上存在点，使与相似，理由如下： 设 ，则， ，，，， ①当时， ， 即， 解得：，（舍去）， 此时， ； ②当时， ， 即， 解得：，（舍去）， 此时， ； 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数的解析式，轴对称的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年九年级中考三模数学试卷 一、选择题（共30分） 1. 下列图形中旋转对称图形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 数2，0，，中最小是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 3. 如图，在中，为的平分线，于点，，，则的面积为（ ） A. 32 B. 20 C. 16 D. 8 4. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，若直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的内接三角形，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红和小明从中随机选择其中一个主题，则她们恰好选中一个主题的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，点为边的中点，连接，过点作于点，连接交于点．则（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，，若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，这是一个正方体切去后剩下的几何体，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的个数有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共24分） 11. 计算：___________． 12. 因式分解：________. 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则____________． 14. 如图，矩形中，，，将矩形绕点旋转得到矩形，若恰好经过点，则的长为______． 15. 如图，正方形的边与相切于点，、是正方形与圆的另两个交点．若，则的半径是_______________． 16. 如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连接．若，，，则的值为______． 17. 如图，在等腰中，，边上有一点，将沿线段折叠得，线段与边交于点，若，则___________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，以为顶点，边长为1且的菱形的对角线和交于点；以为对角线在下方作菱形，点在上，点在上，对角线和交于点；以为对角线在下方作菱形，点在上，点在上，对角线和交于点以此类推，则点的坐标为______． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）作出关于点成中心对称的； （2）在轴上找一点，使，并写出点的坐标． 20. （1）计算： （2）解不等式组 21. 某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ 22. 如图，是等腰直角三角形，，点是上一点（点不与点A、D重合），延长至点，使． （1）求证：； （2）求证：． 23. 如图，是的直径，弦交于点E，点B是劣弧的中点． （1）求证：． （2）若，的半径为1，求弦的长． 24. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数和一次函数表达式； （2）连接，求的面积． 25. 如图，已知是的角平分线，O是斜边上的动点，以点O为圆心，的长为半径的经过点D，与相交于点E． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长． 26. 某校为了解学生身体健康状况，从全校1200名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表），并绘制出不完整的条形统计图（如图） 成绩 频数 百分比 不及格 4 a 及格 b 良好 36 优秀 24 c 学生体质健康统计表 学生体质健康条形图 （1）如表中___________，___________，___________； （2）请补全如图的条形统计图； （3）并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”及以上的总人数； （4）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率． 27. 如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，，点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）在轴上有一点，求出的值最小时点的坐标，及此时的值． （3）在第四象限内抛物线上是否存在一点，过点作轴交轴于点，使与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$