2.1.1 等式的性质与方程的解集（题型专练）数学沪教版2020高一必修第一册

2.1.1等式的性质与方程的解集 题型一 等式的性质 1．下列说法正确的是（　　） A．在等式两边同除以，可得 B．在等式两边同除以2，可得 C．在等式两边同除以，可得 D．在等式两边同除以，可得 2．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果 ，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．设，下列命题中为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．下列命题中正确的个数有（    ）． ①如果，那么；②如果，且那么； ③，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．分解因式： （1） ； （2） ； （3） . 6．分解因式： ； ． 7．设a、b、c、d是实数，判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，则或； (4)若，且，则. 题型二 解一元一次方程 1．设，求关于的方程的解集． 2．设a、，求关于x的方程的解集． 3．设为实数，求关于的方程的解集. 4．设a、，求关于x的方程的解集． 5．已知关于x的方程（m、）. (1)求方程的解集A. (2)若，关于上述方程仅有正整数解，求m的所有取值组成的集合B. 题型一 一元一次方程的应用 1．已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则 2．关于的方程有唯一解的条件是 ． 3．阅读材料，解答问题. 为解方程(x2－1)2－3(x2－1)＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则(x2－1)2＝y2， 原方程化为y2－3y＝0， 解得y1＝0，y2＝3. 当y＝0时，x2－1＝0，所以x2＝1，x＝±1； 当y＝3时，x2－1＝3，所以x2＝4，x＝±2. 所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2. [问题]解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0. 题型二 解二元一次方程组 1．下列关于方程的解的说法中正确的是（    ）． A．该方程一定有唯一解 B．该方程没有解 C．时，方程有无数解 D．时，方程有唯一解 2．若关于的方程组有无穷多组解，则的值为 3．若关于x、y的二元一次方程组的解集为，则实数 ． 4．设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为 . 5．已知是方程组的解，则方程组的解是 ． 6．若与互为相反数，试求的值. 7．解关于x，y的方程组． 8．设，求关于x、y的方程组的解集. 9．已知关于x，y的方程组的解都为正数. （1）当时，解此方程组； （2）求a的取值范围； 1．已知不全相等的三个实数、、，满足，，，则 ． 2．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题､新结论的重要方法. 阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等. 例如，，求证：.证明：原式. 请根据以上阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值. (2)若，解关于的方程. 3．设和是整式多项式，，都有解．；；． (1)判别A与B关系； (2)判别A与C关系并证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.1等式的性质与方程的解集 题型一 等式的性质 1．下列说法正确的是（　　） A．在等式两边同除以，可得 B．在等式两边同除以2，可得 C．在等式两边同除以，可得 D．在等式两边同除以，可得 【答案】D 【详解】对于A，在等式两边同乘以，可得，故A错误； 对于B，在等式两边同除以2，可得，故B错误； 对于C，若，则不一定相等，故C错误； 对于D，在等式两边同除以 ，可得，故D正确. 故选：D. 2．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果 ，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】如果，当时，那么不成立，故A错误； 如果 ，由等式的性质知，故B正确； 如果当时，那么 不成立，故C错误； 如果，那么或，故D错误. 故选：B. 3．设，下列命题中为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：对于A，若，两边平分可得，故A为真命题； 对于B，， 所以，故B为真命题； 对于C，当时，无意义，故C为假命题； 对于D，若，由等式的性质可得，故D为真命题. 故选：C. 4．下列命题中正确的个数有（    ）． ①如果，那么；②如果，且那么； ③，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】对于①：可得,①正确； 对于②：可得,②正确； 对于③：则或,③错误； 对于④：可得,④正确. 故选：C. 5．分解因式： （1） ； （2） ； （3） . 【答案】 【详解】（1） （2） （3） 6．分解因式： ； ． 【答案】 【详解】， =； ， ， ， ， 故答案为：， 7．设a、b、c、d是实数，判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，则或； (4)若，且，则. 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)真命题 (4)真命题 【详解】（1）若，则，假命题； （2）由，且，所以，真命题； （3）若，则或，真命题； （4）设，则， 所以，又，所以，真命题. 题型二 解一元一次方程 1．设，求关于的方程的解集． 【答案】当时，解集为；当时，解集为． 【详解】解:移项，得， 当时，，故解集为； 当时，方程有无数个解，全体实数均可以，所以解集为． 综上，当时，解集为；当时，解集为． 2．设a、，求关于x的方程的解集． 【答案】答案见解析． 【详解】方程转化为， 当时，解集为； 当，时，解集为R； 当，时，解集为R； 当，时，解集为． 3．设为实数，求关于的方程的解集. 【答案】答案见解析 【详解】解：方程可化为， 时，， 若，则方程为，显然不成立，方程无解； 若，则方程为，方程的解为； 若时，解方程得. 综上，时，方程的解集为； 时，方程的解集为； 时，方程的解集为. 4．设a、，求关于x的方程的解集． 【答案】当时，解集为； 当，时，解集为R； 当，时，解集为． 【详解】因为关于x的方程可化为， 当时，两边同时除以可得：，所以原方程的解集为； 当，时，方程恒成立，所以原方程的解集为R； 当，时，方程可化为，这样的不存在，所以原方程的解集为． 综上：当时，解集为； 当，时，解集为R； 当，时，解集为． 5．已知关于x的方程（m、）. (1)求方程的解集A. (2)若，关于上述方程仅有正整数解，求m的所有取值组成的集合B. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）解：由题意，可得， ①当时，解集为； ②当，时，解集为； ③当，时，解集为. （2）解：由题意及（1）问结论知，，且， 所以或2或4或8，所以. 题型一 一元一次方程的应用 1．已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则 【答案】 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 解得，，，， 所以． 故答案为：． 2．关于的方程有唯一解的条件是 ． 【答案】 【详解】由，得到， 所以时，唯一解， 故答案为：. 3．阅读材料，解答问题. 为解方程(x2－1)2－3(x2－1)＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则(x2－1)2＝y2， 原方程化为y2－3y＝0， 解得y1＝0，y2＝3. 当y＝0时，x2－1＝0，所以x2＝1，x＝±1； 当y＝3时，x2－1＝3，所以x2＝4，x＝±2. 所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2. [问题]解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0. 【答案】{－1，1} 【详解】设x2＋3＝y，原方程可化为y2－4y＝0， 即y(y－4)＝0， 所以y1＝0，y2＝4. 当y＝0时，x2＋3＝0，此时方程无解； 当y＝4时，x2＋3＝4，所以x＝±1， 所以x1＝1，x2＝－1. 所以该方程的解集为{－1，1}. 题型二 解二元一次方程组 1．下列关于方程的解的说法中正确的是（    ）． A．该方程一定有唯一解 B．该方程没有解 C．时，方程有无数解 D．时，方程有唯一解 【答案】D 【详解】由题意得，， 即， 当时，不成立，方程组无解； 当时，，方程组有唯一解. 故选：D. 2．若关于的方程组有无穷多组解，则的值为 【答案】 【详解】方程组有无穷多组解，与为同一方程， ，. 故答案为：. 3．若关于x、y的二元一次方程组的解集为，则实数 ． 【答案】2 【详解】解：由题意得，即， 关于，的二元一次方程组的解集为， 关于的方程的无解， ，即， 故答案为：2． 4．设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为 . 【答案】且 【详解】因为方程组的解集为， 所以消元后无解， 所以且， 解得且. 故答案为：且 5．已知是方程组的解，则方程组的解是 ． 【答案】 【详解】由题意，代入方程组可得， 所以当时，代入方程组， 可得，成立， 所以方程组的解是， 故答案为： 6．若与互为相反数，试求的值. 【答案】 【详解】解：因为与互为相反数， 所以， 所以，解得， 所以. 7．解关于x，y的方程组． 【答案】答案见解析 【详解】当时无解； 当时，两式相减，解得, 综上所得，当时无解；当时，解集为 8．设，求关于x、y的方程组的解集. 【答案】答案见解析 【详解】 由①得，将其代入②得. 当且时，该方程有唯一解， 则， 故原方程组的解集为； 当时，该方程无解，故原方程组的解集为； 当时，该方程有无穷多个解，且， 故原方程组的解集为 9．已知关于x，y的方程组的解都为正数. （1）当时，解此方程组； （2）求a的取值范围； 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）当时，方程组为， ①②得，即， 把代入①得，，即， 此方程的解为； （2）解这个方程组的解为：， 由题意，得， 则a的取值范围. 1．已知不全相等的三个实数、、，满足，，，则 ． 【答案】 【详解】先证明、、均不为，若否，不妨设，由可得， 再由可得，从而有，与题设条件矛盾， 所以，、、均不为， 将三个等式，，全加可得， 因为、、是不全相等的三个实数，且满足，，， 所以，，， 将上述三个等式全部相乘得， 因为，所以， 即， 因为，所以， 因为，则，，， 所以，即， 因为， 所以， 因为，故. 故答案为：. 2．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题､新结论的重要方法. 阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等. 例如，，求证：.证明：原式. 请根据以上阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值. (2)若，解关于的方程. 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）已知，则有. （2）由， 关于的方程， 可化为：， 即：， ∴，即，解得：. 3．设和是整式多项式，，都有解．；；． (1)判别A与B关系； (2)判别A与C关系并证明． 【答案】(1)； (2)A是C的子集 【详解】（1）因为等价于且； 等价于且； 则. （2）A是C的子集. 因为等价于或； 因为等价于且； 满足A的元素一定满足集合C，所以A是C的子集. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$