专题07 等式性质、一元二次方程根与系数关系（知识梳理+4对点集训+基础过关+拓展提优）-2025年初升高数学无忧衔接（上海专用）

专题07 等式性质、一元二次方程根与系数关系 （知识梳理+4对点集训+基础过关+拓展提优） 1.深入理解等式的基本性质，熟练掌握运用等式性质求解各类方程的方法，精准求出方程的解或根。 2.全面掌握一元二次方程的解集相关知识，深刻理解根与系数的关系（韦达定理），并能够灵活运用该关系求解代数式的值。 知识点01：等式的性质与方程的解 1.等式的性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，，那么；、 （2）加法性质 设、、均为实数，如果，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数，如果，那么； 还可以“验证”与“推广”得性质与推论： （4）如果，那么； （5）如果，那么； （6）如果，，那么； 【注意】等式性质成立的条件，特别是性质（6）中的“”； 2.恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等； 【注意】在解方程与解不等式时，如何保证“恒等变形”； 3.方程的解集 （1）含有未知数的等式称为方程； （2）使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根； （3）以方程的所有解为元素组成的集合，称为方程的解集； 【注意】一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集；方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值；一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集；利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集。 知识点02： 一元二次方程的解集及根与系数的关系 1.通过判别式∆判定一元二次方程）解的情况； 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当Δ>0时，方程的解集为； （2）当Δ＝0时，方程的解集为； （3）当Δ<0时，方程的解集为； 2.一元二次方程根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根， 则原方程可改写为，展开得：， 与原方程比较可知对应系数应该相等，即，所以； 【注意】应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形： ①；②； ③； 对点集训一：等式的性质与方程的解 典型例题 例1．（24-25高一上·上海青浦·期中）设，求方程的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等式的性质与方程的解集 【分析】根据绝对值的定义去掉绝对值，分类讨论，求解即可． 【详解】当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，解得 综上，方程的解集为 故选：D 例2．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知等式恒成立，则 ． 【答案】5 【知识点】等式的性质与方程的解集、数与式 【分析】由题意列出方程组，即可得答案． 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 所以． 故答案为：5 例3．（24-25高一上·上海·期中）设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为 . 【答案】且 【知识点】方程组的解集、等式的性质与方程的解集 【分析】由题意方程组消元后所得方程无解即可. 【详解】因为方程组的解集为， 所以消元后无解， 所以且， 解得且. 故答案为：且 精练 1．若多项式与互为相反数，则 ． 【答案】1 【知识点】等式的性质与方程的解集 【分析】根据相反数的性质列式即可求解. 【详解】由题意，解得. 故答案为：1. 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知等式恒成立，则常数 . 【答案】 【知识点】等式的性质与方程的解集 【分析】将方程右式展开整理，由题意得到对应项系数相等，求出的值即得. 【详解】由，可得恒成立， 可得，解得，故. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海普陀·阶段练习）设为实数，求关于的方程的解集. 【知识点】等式的性质与方程的解集 【分析】方程可化为，讨论与即可求解. 【详解】解：方程可化为， 时，， 若，则方程为，显然不成立，方程无解； 若，则方程为，方程的解为； 若时，解方程得. 综上，时，方程的解集为； 时，方程的解集为； 时，方程的解集为. 对点集训二：解不含参数的一元一次不等式 典型例题 例1.不等式组的解集为 【答案】 【知识点】解不含参数的一元一次不等式 【分析】由一元一次不等式的解法分别求解取交集即可． 【详解】由题意可得，， 解可得，， 故答案为： 例2.已知关于的不等式组：有且只有一个实数解，则实数的 （结果用集合或区间表示）. 【答案】 【知识点】解不含参数的一元一次不等式 【分析】先由求出的值，再由不等式组有且只有一个实数解，可得或，从而可求出结果 【详解】由，得， ， 得或， 因为不等式组有且只有一个实数解， 所以或， 解得或， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 例3.已知a∈R，不等式的解集为P，且-1∈P，则a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、解不含参数的一元一次不等式 【分析】把代入不等式即可求解. 【详解】因为，故，解得：，所以a的取值范围是. 故答案为： 精练 1．（23-24高一上·上海·期末）已知关于的方程解集为，则“关于的不等式的解集是 ”是 命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【知识点】解不含参数的一元一次不等式 【分析】由已知条件可得且，分、两种情况解不等式，即可得出结论. 【详解】因为关于的方程解集为，则，即，且， 由得， 当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为； 当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为. 故原命题为假命题. 故答案为：假. 2．已知的解集为，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元一次不等式 【分析】分析可知是方程的解，且有，得出、的等量关系，化简不等式，即可得解. 【详解】因为的解集为，则， 所以，且，故， 不等式即为，即，解得， 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 3，（1）2(x+1)-3(x-2)>8；, （2） 【答案】（1）；（2）. 【知识点】解不含参数的一元一次不等式 【分析】（1）直接合并同类项即可求解； （2）分别解两个一次不等式，取公共部分即可得解. 【详解】（1）去括号，得2x+2-3x+6>8 整理得，-x>0，则x<0，所以解集为； （2） 由原不等式组可得， 解得，，所以不等式组的解集为. 对点集训三： 解含参数的一元一次不等式 典型例题 例1．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设关于x的不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】D 【知识点】判断命题的充分不必要条件、解含参数的一元一次不等式 【分析】根据题意，结合不等式的解法，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当时，此时，但不满足，即充分性不成立； 反之：当时， 此时，不等式的解集为，的解集为， 所以，即必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也必要条件. 故选：D. 精练 1．设，已知关于的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解含参数的一元一次不等式 【分析】由题意可得的解集为，故有，从而求得的值． 【详解】关于，即的解集为， ，求得， 故选：． 2．不等式的解为 ． 【答案】 【知识点】解含参数的一元一次不等式 【分析】根据不等式的性质求解． 【详解】因为，所以原不等式的解为． 故答案为：． 3.关于的不等式，当时的解集为 . 【答案】 【知识点】解含参数的一元一次不等式 【分析】利用不等式的性质直接求解即可 【详解】因为，，所以， 所以不等式的解集为， 故答案为： 对点集训四：一元二次方程的解集及其根与系数的关系 典型例题 例1．（24-25高一上·上海奉贤·期末）设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】利用韦达定理可求得所求代数式的值. 【详解】因为、是方程的两个实数根，由韦达定理可得，， 因此，. 故答案为：. 例2．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知方程的两个根为、，则的值为 . 【答案】3 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】由韦达定理得到，，进而求解即可. 【详解】因为方程的两个根为、， 由韦达定理得，，， 所以. 故答案为：3. 例3．（24-25高一上·上海闵行·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根为、． (1)求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)． (2)． 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）由判别式大于0可得； （2）由韦达定理求解． 【详解】（1）由题意，解得或， 的范围是． （2）由题意，， 所以，解得， 又，所以，即． 精练 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知方程的两根分别为，，尝试构造一个二次项系数为1，且两根分别为，的一元二次方程 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、方程与不等式 【分析】先求出已知方程的根，结合题意即可求解． 【详解】解：因为的两根分别为2，﹣1， 不妨设，， 则，， 设满足条件的一元二次方程为, ，解得：， 故二次项系数为1，且两根分别为，的一元二次方程为． 故答案为：． 2．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知关于的方程，若方程的两实根x1，x2满足，则k的值为 【答案】 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】分两种情况讨论，①当时，②当时，分别求出的值． 【详解】由得： ①当时，， 此时方程有两相等的实数根， 则，解得 ②当时，，即，则，解得， 此时,,方程无实数根，故不合题意，舍去， 综上，k的值为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，关于的方程的两个实数根为，且，则 . 【答案】 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】根据韦达定理即可求解. 【详解】由题意，， 且，即， 因为， 则，解得，即， 所以. 故答案为：30. 一、单选题 1．（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列说法正确的是（    ） A．方程的两个实数根满足 B．关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根 C．已知方程的两个实数根，则 D．若关于的一元二次方程的两个实数根，则 【答案】D 【知识点】一元二次方程根的分布问题、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】根据判别式判断A、B；整理方程求解可得判断C；求一元二次方程的解判断D. 【详解】A：由中，即方程无实根，错； B：由方程知不一定恒成立，故方程不一定有两个不等的实根，错； C：由，显然，错； D：由题设中，对. 故选：D 2．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）“关于x的方程有实数根”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【知识点】必要条件的判定及性质、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】根据充分、必要性定义，结合根与系数关系判断条件间的关系即可. 【详解】若方程有实数根，则，即，但不一定有，充分性不成立； 若，则，即方程有实数根，必要性成立； 所以“关于x的方程有实数根”是“”的必要非充分条件. 故选：B 3．（23-24高一上·上海·期中）已知，则关于的方程    ） A．一定有不相等的两个实数根 B．一定有两个相等的实数根 C．可能有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】根据已知条件及判别式即可求解. 【详解】由，得，且， 所以 ， 所以关于的方程有实数根，但不能确定是否一定相等. 故选：C. 二、填空题 4．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知方程的两个根为、，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】根据韦达定理就可求解. 【详解】由于，故方程有两个不相等的实数根、， 由韦达定理可得，所以， 故答案为： 5．（22-23高一上·上海静安·期中）已知是方程的两根，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可. 【详解】因为一元二次方程的判别式， 所以该方程有两个不相等的实数根，则有， 因此， 故答案为： 6．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）设，是方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】由根与系数关系及根的性质求目标式的值即可. 【详解】由题设且， 所以. 故答案为： 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知方程的两根为、，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】利用韦达定理得到两根和与两根积，再对所求式展开代入即得. 【详解】方程的两根为、， 由韦达定理可得：；. . 即的值为. 故答案为： 8．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）已知等式恒成立，则常数 【答案】4 【知识点】等式的性质与方程的解集 【分析】由对应项系数相等列方程组求解． 【详解】恒成立， 所以，解得， 所以． 故答案为：4． 9．（24-25高一上·上海·期中）方程的两个实数根为，若，则实数 ． 【答案】 【知识点】方程与不等式、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系求解即可. 【详解】由根与系数的关系知，， 所以， 解得， 故答案为： 10．（24-25高一上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程．若方程的两根为，且满足，则m的值为 【答案】/ 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】根据韦达定理可得的表示，化简条件结合韦达定理形式可求结果. 【详解】因为的两根为， 所以， 所以，解得，符合条件， 故答案为：. 11．（24-25高一上·上海·期中）已知是关于的方程的两实根，是关于的方程的两实根，则 . 【答案】3 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，列出方程组，解出验证即可. 【详解】因为是关于的方程的两实根， 所以由根与系数的关系得， 因为是关于的方程的两实根， 所以， 即，， 所以，解得， 经验证可得，所以， 所以. 故答案为：3. 12．（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知实数，满足，，则代数式 . 【答案】或. 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】分和两种情况讨论，当时，可得是方程的两个根，由根与系数的关系，可得的值，整理所求的代数式，可得其代数式的值. 【详解】解：当时，为方程的两个不等实根， 可得， 所以 ， 当时，则. 故答案为：或. 13．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知实数、满足，，则以、为两根的一个一元二次方程可以是 【答案】（答案不唯一） 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】首先求出的值，再逆向利用韦达定理构造方程即可. 【详解】因为，所以， 又，解得， 即，所以、是方程的两根. 故答案为：（答案不唯一） 14．（22-23高一下·上海嘉定·阶段练习）已知，方程的解集为 . 【答案】 【知识点】等式的性质与方程的解集 【分析】分、、三种情况讨论，去绝对值符号，解原方程即可. 【详解】当时，则； 当时，则； 当时，则. 综上所述，原方程的解集为. 故答案为：. 15．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）设，，，，均为实数，若对恒成立，则 ． 【答案】3 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由题意，令所以求解. 【详解】解：因为对恒成立， 所以时，上式也成立， 所以则， 故答案为：3 三、解答题 16．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）已知且，求关于，的方程组的解集． 【答案】 【知识点】列举法表示集合、方程组的解集 【分析】直接解方程组即可. 【详解】由， 得（），得， 所以， 即 所以方程组的解集为 17．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知为方程的两个实根，且，. (1)将表示为关于的代数式； (2)比较与的大小. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【知识点】作差法比较代数式的大小、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）利用韦达定理与完全平方公式即可得解； （2）先利用判别式求得，再利用作差法得到，分类讨论，与即可得到与的大小. 【详解】（1）因为为方程的两个实根， 所以， 所以，. （2）依题意得，，即， 因为， 所以当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 18．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)取，设一元二次方程两个根为，求，． 【答案】(1) (2)2， 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）根据判别式，列出不等式，求解即可； （2）根据韦达定理，代值计算即可. 【详解】（1）由题意可得：解得：且， 所以实数的取值范围是 （2）当，可得， 所以， 所以， 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，若、是方程的两相异实根，则有（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】利用特殊值法可判断AB选项；利用可得出，利用韦达定理可判断CD选项. 【详解】若取，则方程为，解得，，AB都错； 由题意可知，，则， 由韦达定理可得，， 所以，与的大小关系不确定，C错； ， 所以，，D对. 故选：D. 二、填空题 2．（23-24高一上·上海普陀·期中）对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、几何意义解绝对值不等式 【分析】由题意可得的最小值大于或等于，而由绝对值的意义可得的最小值为4，可得，由此求得实数a的取值范围． 【详解】对于，不等式恒成立， 即的最小值大于或等于， 由绝对值的意义：表示数轴上的x对应点到和对应点的距离之和， 它的最小值为4，故，即，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·期中）“”是关于x的方程“至少有一个负数根”的 条件.（用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空） 【答案】充分非必要 【知识点】判断命题的充分不必要条件、一元二次方程根的分布问题 【分析】先分类讨论求出方程“至少有一个负数根时的参数的范围，再判断充分性和必要性即可. 【详解】当时，显然函数开口向上， 对称轴为， 所以若有根，则根为负数， 所以有，即； 当时，得，此时有一个负数根； 当时，显然开口向下，， 所以有两根，一正一负； 综上所述，， 所以“”是关于x的方程“至少有一个负数根”的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要 4．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）若不等式的解集为，则 . 【答案】 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由题可得对称轴在之间，最小值大于，且的两个根为，列出相应不等式，找到关于的范围，再根据韦达定理解出的值，计算即可. 【详解】因为不等式的解集为， 而开口向上，所以有， 且最小值大于，即，解得， 且的两个根为， 所以，解得或， 当时，不符合，故舍去， 所以，所以. 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·开学考试）已知，记符号表示不大于的最大整数，集合，，则 . 【答案】 【分析】解一元二次方程，结合的定义写出集合，再利用集合的交集运算求. 【详解】由得，解得或， 又因为表示不大于的最大整数， 所以由得，由得， 所以，所以. 故答案为： 6．若等式恒成立，则常数a与b的和为 . 【答案】2 【知识点】等式的性质与方程的解集 【分析】整式型函数恒为0，则各项系数均同时为零是本题入手点. 【详解】等式恒成立， 即恒成立， 则有，解之得，故 故答案为：2 7．（23-24高一上·上海·期中）设，则方程的解集为 . 【答案】 【知识点】等式的性质与方程的解集 【分析】按题意分类讨论即可求解 【详解】时，原式，不合题意 时，原式 时，原式即恒成立 时，原式，不合题意 故 故答案为： 三、解答题 8．已知、是关于的一元二次方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)若，求整数的值. 【答案】(1). (2)不存在，详见解析. (3)或或. 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）首先可根据判别式得出，然后根据韦达定理得出、，最后根据得出，通过计算即可得出结果； （2）根据得出，然后通过计算以及即可得出结果； （3）可将转化为，然后根据为整数以及即可得出结果. 【详解】（1）因为、是关于的一元二次方程的两个实根， 所以，解得， ，， 因为，所以， 即，，，. （2）由（1）易知，，， 若存在实数，使成立， 则，解得， 因为，所以不存在实数使成立. （3）由（1）易知，，， 则， 因为，所以， 因为为整数，所以、、， 因为，所以或或. 9．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为． (1)均为正根，求实数m的取值范围； (2)若满足：，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】结合韦达定理列出式子，即可求； 【详解】（1）由均为正根，得， 解得，即； （2）由（1）得，解得（舍去）或， 则 10．（23-24高一上·上海静安·期中）已知实常数a、b，满足， (1)证明：关于的方程有两个不同的实数解. (2)若关于的方程有两个不同的实数解，，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可将原方程等价为，易知恒成立，经检验可知该方程有两个不同的实数解； （2）结合（1）中的结论以及二次函数图像性质可知，即可得. 【详解】（1）原方程可化为 即方程 因为 所以有两个不同的实数解 经检验 所以，，， 所以关于的方程有两个不同的实数解. （2）令， 而二次函数图象开口向上，故， 所以. 11．（23-24高一上·上海·期中）已知关于x的方程有两个实数根，若，求实数m的值． 【答案】 【分析】根据题意，，结合韦达定理和完全平方公式对化简，求出实数m的值． 【详解】因为关于x的方程有两个实数根， 则，解得， 根据韦达定理可知，，， ，即，即， 即， 化简得，解得或（舍）， 所以. 12．已知一元二次方程的两个实根为，； (1)若，，求的值； (2)若，，用反证法证明，中至少有一个大于等于2； (3)若，设，若，是方程的实根，求实数m的取值范围. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)结合已知条件，利用韦达定理首先判断与的符号，进而即可求出的值；(2)首先假设，都小于2，结合已知条件和韦达定理可得和同号，且，再结合和的范围推出矛盾即可证明；(3)首先利用判别式求出的范围，然后结合已知条件并利用韦达定理求解即可. 【详解】（1）当，时，的两个实根为，， 由韦达定理可得，，， 即，， 故. （2）证明：假设，都小于2， 由，可知，，且与异号， 由韦达定理可知，，，则与同正， 此时，则， 又因为，都小于2，所以，这与矛盾， 故假设不成立，从而，中至少有一个大于等于2. （3）由可知，， 从而方程等价于， 由题意可知，且，即， 故，解得或， 又因为，所以的取值范围为， 又因为，是方程的实根， 所以，即， 从而或，解得或， 故实数m的取值范围为. 13．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (2)若的值为整数，求整数的值． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)或或 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）由求出的取值范围，再列出韦达定理，由得到方程，解得即可； （2）由，代入韦达定理，得到，结合为整数，且，即可得解. 【详解】（1）因为，是一元二次方程的两个实数根， 所以且，解得， 且，， 若，则，即，解得（舍去）， 即不存在实数，使成立. （2）由题意， 又当，即时，且，， 故， 由于为整数且为整数，故只能取、、，又， 则或或，解得或或， 故整数的值为或或. 14．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个实数根. (1)求的值；（用表示） (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由； (3)求使的值为整数的实数的整数值. 【答案】(1) (2)不存在，理由见详解 (3) 【知识点】等式的性质与方程的解集 【分析】（1）通分后，利用韦达定理代入可得； （2）利用韦达定理代入后解方程可得k，然后可判断； （3）利用韦达定理化简，然后根据k和分式都为整数值验证可得. 【详解】（1）因为一元二次方程， 所以，解得 由韦达定理可得 当时，，无意义； 当时， 综上，的值为 （2）由韦达定理可知 ， 令，整理得，， 由（1）可知， 所以不存在实数，使成立. （3） 因为为整数，所以必为整数，所以，即 又，所以， 因为为整数，所以，经检验时，为整数， 所以使的值为整数的实数的整数值为. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 等式性质、一元二次方程根与系数关系 （知识梳理+4对点集训+基础过关+拓展提优） 1.深入理解等式的基本性质，熟练掌握运用等式性质求解各类方程的方法，精准求出方程的解或根。 2.全面掌握一元二次方程的解集相关知识，深刻理解根与系数的关系（韦达定理），并能够灵活运用该关系求解代数式的值。 知识点01：等式的性质与方程的解 1.等式的性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，，那么；、 （2）加法性质 设、、均为实数，如果，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数，如果，那么； 还可以“验证”与“推广”得性质与推论： （4）如果，那么； （5）如果，那么； （6）如果，，那么； 【注意】等式性质成立的条件，特别是性质（6）中的“”； 2.恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等； 【注意】在解方程与解不等式时，如何保证“恒等变形”； 3.方程的解集 （1）含有未知数的等式称为方程； （2）使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根； （3）以方程的所有解为元素组成的集合，称为方程的解集； 【注意】一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集；方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值；一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集；利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集。 知识点02： 一元二次方程的解集及根与系数的关系 1.通过判别式∆判定一元二次方程）解的情况； 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当Δ>0时，方程的解集为； （2）当Δ＝0时，方程的解集为； （3）当Δ<0时，方程的解集为； 2.一元二次方程根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根， 则原方程可改写为，展开得：， 与原方程比较可知对应系数应该相等，即，所以； 【注意】应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形： ①；②； ③； 对点集训一：等式的性质与方程的解 典型例题 例1．（24-25高一上·上海青浦·期中）设，求方程的解集（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知等式恒成立，则 ． 例3．（24-25高一上·上海·期中）设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为 . 精练 1．若多项式与互为相反数，则 ． 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知等式恒成立，则常数 . 3．（24-25高一上·上海普陀·阶段练习）设为实数，求关于的方程的解集. 对点集训二：解不含参数的一元一次不等式 典型例题 例1.不等式组的解集为 例2.已知关于的不等式组：有且只有一个实数解，则实数的 （结果用集合或区间表示）. 例3.已知a∈R，不等式的解集为P，且-1∈P，则a的取值范围是 . 精练 1．（23-24高一上·上海·期末）已知关于的方程解集为，则“关于的不等式的解集是 ”是 命题（填“真”或“假”） 2．已知的解集为，则不等式的解集为 . 3，（1）2(x+1)-3(x-2)>8；, （2） 对点集训三： 解含参数的一元一次不等式 典型例题 例1．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设关于x的不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 精练 1．设，已知关于的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解为 ． 3.关于的不等式，当时的解集为 . 对点集训四：一元二次方程的解集及其根与系数的关系 典型例题 例1．（24-25高一上·上海奉贤·期末）设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 例2．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知方程的两个根为、，则的值为 . 例3．（24-25高一上·上海闵行·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根为、． (1)求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 精练 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知方程的两根分别为，，尝试构造一个二次项系数为1，且两根分别为，的一元二次方程 ． 2．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知关于的方程，若方程的两实根x1，x2满足，则k的值为 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，关于的方程的两个实数根为，且，则 . 一、单选题 1．（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列说法正确的是（    ） A．方程的两个实数根满足 B．关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根 C．已知方程的两个实数根，则 D．若关于的一元二次方程的两个实数根，则 2．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）“关于x的方程有实数根”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 3．（23-24高一上·上海·期中）已知，则关于的方程    ） A．一定有不相等的两个实数根 B．一定有两个相等的实数根 C．可能有两个相等的实数根 D．没有实数根 二、填空题 4．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知方程的两个根为、，则 ． 5．（22-23高一上·上海静安·期中）已知是方程的两根，则 ． 6．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）设，是方程的两个实数根，则 ． 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知方程的两根为、，则 ． 8．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）已知等式恒成立，则常数 9．（24-25高一上·上海·期中）方程的两个实数根为，若，则实数 ． 10．（24-25高一上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程．若方程的两根为，且满足，则m的值为 11．（24-25高一上·上海·期中）已知是关于的方程的两实根，是关于的方程的两实根，则 . 12．（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知实数，满足，，则代数式 . 13．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知实数、满足，，则以、为两根的一个一元二次方程可以是 14．（22-23高一下·上海嘉定·阶段练习）已知，方程的解集为 . 15．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）设，，，，均为实数，若对恒成立，则 ． 三、解答题 16．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）已知且，求关于，的方程组的解集． 17．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知为方程的两个实根，且，. (1)将表示为关于的代数式； (2)比较与的大小. 18．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)取，设一元二次方程两个根为，求，． 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，若、是方程的两相异实根，则有（   ） A．， B．， C． D． 二、填空题 2．（23-24高一上·上海普陀·期中）对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 3．（24-25高一上·上海·期中）“”是关于x的方程“至少有一个负数根”的 条件.（用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空） 4．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）若不等式的解集为，则 . 5．（24-25高一上·上海·开学考试）已知，记符号表示不大于的最大整数，集合，，则 . 6．若等式恒成立，则常数a与b的和为 . 7．（23-24高一上·上海·期中）设，则方程的解集为 . 三、解答题 8．已知、是关于的一元二次方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)若，求整数的值. 9．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为． (1)均为正根，求实数m的取值范围； (2)若满足：，求实数m的值． 10．（23-24高一上·上海静安·期中）已知实常数a、b，满足， (1)证明：关于的方程有两个不同的实数解. (2)若关于的方程有两个不同的实数解，，求的值. 11．（23-24高一上·上海·期中）已知关于x的方程有两个实数根，若，求实数m的值． 12．已知一元二次方程的两个实根为，； (1)若，，求的值； (2)若，，用反证法证明，中至少有一个大于等于2； (3)若，设，若，是方程的实根，求实数m的取值范围. 13．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (2)若的值为整数，求整数的值． 14．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个实数根. (1)求的值；（用表示） (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由； (3)求使的值为整数的实数的整数值. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$