2.1.1 等式的性质与方程的解集（教学课件）数学沪教版2020必修第一册

2.1.1等式的性质 与方程的解集 第二章 等式与不等式 沪教版(2020)必修第一册·高一 章节导读 学 习 目 标 1 2 3 通过列举若干相等关系，体会等式是表示相应数量关系的基本工具. 知道等式的性质，运用等式的性质判断与等式性质有关命题的真假，体会演绎推理的逻辑性、严密性. 会用集合表示含字母参数的方程和方程组的解集，感悟分类讨论思想. 课题引入 在以前的学习中，我们接触到很多的相等关系与不等关系，同学们可以举个例子嘛？ 相等关系 不等关系 1+2=3 -1 < 3 AB >BC sin 60° <1 2x=x+x 恒等式、方程 S= 新知探究 等式性质1 等式两边同时加上（或减去)同一个数或同一个 含有字母的式子，所得结果仍是等式. 等式性质2 等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不 为零的数），所得结果仍是等式. 还记得等式的性质吗？ 运用等式性质和运算性质可以求方程的解. 新知探究 （2）加法性质 设a、b、c均为实数，如果a=b，那么a+c=b+c. 如果等式两边同时加上同一个数，那么等式仍成立. （3）乘法性质 设a、b、c均为实数，如果a=b，那么ac=bc. 如果等式两边同时乘以同一个数，那么等式仍成立. （1）传递性 设a、b、c均为实数，如果a=b，且b=c，那么a=c. 如果两个数相等，第三个数与其中一个相等， 那么第三个数与另一个也相等. 1.等式的性质 新知探究 问题1 等式两边同时减去同一个数，该等式是否仍然成立？ “如果α，那么β” 命题1：设a、b、c均为实数，如果a=b，那么a-c=b-c. 命题1是真命题， 根据加法性质，由a=b，得a+(-c)=b+(-c)，即a-c=b-c成立. 新知探究 问题2 等式两边同时除以同一个非零数，该等是是否仍然成立？ “如果α，那么β” 命题2：设a、b、c均为实数，且c≠0，如果a=b，那么 命题2是真命题， 根据乘法性质，由a=b，得a×=b×，即成立. 典例分析 例1 设a,b,c,d是实数，判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果a=b,且c=d,那么a+c=b+d; 解 真命题： 等式a=b两边同加上c，得到a+c=b+c, 等式c=d两边同加上b，得到c+b=d+b，即b+c=b+d. 于是，根据等式的传递性，a+c=b+d得证. 进一步思考：判断命题“如果a=b，且c=d，那么a-c=b-d.”的真假. 解 真命题． 等式c=d的两边同乘以-1，得到-c=-d, 由a=b和-c=-d， 根据（1)，得a+(-c)=b+(-d)，即a-c=b-d得证. 典例分析 (2)如果a=b,且c=d,那么ac=bd; 解 真命题． 等式a=b两边同乘以c，得到ac=bd, 等式c=d两边同乘以b，得到bc=bd, 于是，运用等式的传递性，ac=bd得证. 典例分析 (3)如果a=b≠0,且c=d,那么=; 解 真命题． 由于a、b都不为0，所以ab≠0. 等式a=b两边同乘以，得a×=b×，经约分=得证. 进一步思考： 如果我们将这个命题的条件和结论互换，得到一个新命题, 请同学们写出该新命题，并判断其真假. 解 新命题：如果=,那么a=b.该命题是真命题. 等式=两边同乘以ab，运用等式的乘法性质，经约分，即得证. 典例分析 (4)如果a=b,那么=,其中n是正整数; 分析： 联想（2）如果a=b,且c=d,那么ac=bd. 解真命题． 将（2）中的c换成a，d换成b，可得a²=b². 再将（2）中的c换成a²，d换成b²，可得a3=b3. 如此反复运用（2），即得证. 典例分析 (5)如果ac=bc,那么=; 解 假命题． 反例：1×0=2×0成立，但是1≠2. 追问：请对该命题增加一个条件，使改动后的新命题成为真命题 解 新命题：如果ac=bc，且c≠0，那么a=b. 等式ac=bc两边同乘以，即得证. 典例分析 (6)如果=0,那么==c. 解 真命题， 三个数不都相等 三个数两两相等 否定 三个数中存在两个数不相等 三个数不都相等 a==c 否定 ac （反证法）假设a、b、c不都相等. 不妨设a与b不相等，则条件等式的左边为正数，右边为零，产生矛盾. 因而假设不成立，命题得证. 新知探究 含有未知数的等式称为方程． 使得方程左右两边相等的未知数的值，称为方程的解． 以方程的解为元素组成的集合称为方程的解集. 2.方程的解 新知探究 方程的解和未知数的取值范围有关． 同一方程在未知数的不同取值范围内求解，其解集不一定相同. 注：若不加具体说明，在本章中，我们都是在实数集中求解方程. 例如，=0 方程在自然数集中的解集为        ， 在有理数集中的解集为         ， 在实数集中的解集为         .     典例分析  例2 设a,b∈R，分别求下列关于x的方程的解集： (1)ax=1; (2)1-ax=a-x; (3)ax=b. (1)解：当a≠0时，得x=，解集为{}; 当a=0时，方程0·x=1,解集为 (2)解：整理得,(1-a)x=a-1. 当1-a≠0即a≠1时，得x=，解集为{}; 当1-a=0即a=1时，方程0·x=0,解集为 典例分析  例2 设a,b∈R，分别求下列关于x的方程的解集： (1)ax=1; (2)1-ax=a-x; (3)ax=b. (3)解：当a≠0时，得x=，解集为{}; 当a=0且b=0时，方程0·x=0,解集为； 当a=0且b≠0时，方程0·x=b,解集为. 小结： 关于x的形如（或可化为形如）ax=b的方程，如有必要，我们要对未知数x前面的系数进行讨论. 典例分析 例3  设k∈R,分别求下列关于x与y的二元一次方程组的解集： (1) (2) (1)解:两式相减，得(2-k)= 2. 当k≠2时，将x=代入方程y=2x+1，得y=. 此时，原方程组的解集为{,)}. 当k=2时，方程0x=2无解，从而原方程组无解. 此时，原方程组的解集为. 该集合有且仅有一个元素 典例分析 例3  设k∈R,分别求下列关于x与y的二元一次方程组的解集： (1) (2) (2)解:两式相减，得(k2+2)x= k-3. 由于k2+2≠0时，将x=代入方程y=得y=. 此时，原方程组的解集为{,)}. 该集合有且仅有一个元素 小结： (1)运用分类讨论、化归思想解决一类方程或方程组的求解问题. (2)求解方程（组）的过程本质上就是一系列变形化简的操作，从中 我们可以体会程序思想. 题型一 等式的性质 题型探究 1.设a,b,c,d均为实数，判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果,那么a=b. (2)如果=,那么,a=b其中n是正整数; (3)如果,且bd≠0，那么. （1）（3）是真命题；（2）是假命题. 题型二 解一元一次方程 题型探究 2.设m,k为实数,求关于x的方程2x+m=kx+3的解集. 解：整理得,(2-k)x=. 当k=2且m=3时，得0·x=，解集为; 当k=2且m≠3时，得0·x=，解集为; 当k≠2时，得x=,方程的解集为{ 题型三 解二元一次方程组 题型探究 3.设k∈R,求关于x与y的二元一次方程组 的解集： 解:两式相减，得(k2+2k-3)x= -1. 当k=-3或k=1时，得0·x=解集为; 当k≠-3或k≠1时，将x=代入方程得y=. 此时，原方程组的解集为{,)}. 课堂小结 逻辑推理 数学抽象 等式的性质与方程的解集 等式的性质 传递性 加法性质 乘法性质 方程（组）的解集 (1)求关于x的形如（或可化为）ax=b的方程的解集 (2)求一元一次方程的解集 感谢聆听! $$