暑假预习专题08 等式的性质与方程的解集（3知识+3题型+提升练）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

暑假预习专题08 等式的性质与方程的解集 1.掌握等式的性质，会用等式的性质判断与等式性质有关的命题的真假，发展逻辑推理的素养(重点) 2.会用集合表示一元一次方程、二元一次方程和方程组的解集(重点) 3.解决含字母参数的问题时，感悟分类讨论思想(难点) 用等号“=”把两个表达式连接起来,所得的式子称为等式 等式具有以下性质: （1）传递性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ． （2）加法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． （3）乘法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． 分解因式： ； ． 【答案】 【分析】将利用“十”字相乘法求解；将转化为利用完全平方公式求解. 【详解】， =； ， ， ， ， 故答案为：， 含有未知数的等式称为方程.使得方程左右两边相等的未知数的值,称为方程的解,以方程的所有解为元素组成的集合称为方程的解集. 一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1 且两边都为整式的等式 方程的解一般指能使一个含未知 数的等式成立的未知数的值，是一个数.而方程的解集是该等式所有解组成的集合，是一个集合. 根本概念是不一样的. 求关于x的方程的解集，其中a是常数. 【答案】答案见解析 【分析】将变形为，对一次项系数是否为0进行分类谈论即可求出结果. 【详解】因为，则 当时，方程无解，即解集为； 当时，，即解集为. 综上：当时，方程的解集为；当时，方程的解集为. 由两个二元一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.二元一次方程组中两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解 对二元一次方程组的理解 (1) 方程组各方程中,相同的字母必须代表同一数量 (2)通过解方程组得到一组数值，将这组数值分别代入方程组中的每个方程，当这组数值满足其中的所有方程时，该组数值是此方程组的解(其解可能有无数多组解、无解或一组解);否则它就不是此方程组的解 考点一．等式的性质与方程的解 例1（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知等式恒成立，则 ． 【答案】5 【分析】由题意列出方程组，即可得答案． 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 所以． 故答案为：5 1-1（24-25高一上·上海青浦·期中）设，求方程的解集（    ） A． B． C． D． 1-2（24-25高一上·上海普陀·阶段练习）设为实数，求关于的方程的解集. 1-3（24-25高一上·上海·期中）设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为 . 考点二．解不含参数的一元一次不等式 例2（23-24高一上·上海·期末）已知关于的方程解集为，则“关于的不等式的解集是 ”是 命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】由已知条件可得且，分、两种情况解不等式，即可得出结论. 【详解】因为关于的方程解集为，则，即，且， 由得， 当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为； 当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为. 故原命题为假命题. 故答案为：假. 2-1（21-22高一上·上海浦东新·期末）已知a∈R，不等式的解集为P，且-1∈P，则a的取值范围是 . 2-2（21-22高一上·上海奉贤·阶段练习）已知关于的不等式组：有且只有一个实数解，则实数的 （结果用集合或区间表示）. 2-3已知的解集为，则不等式的解集为 . 考点三．解含参数的一元一次不等式 例3（23-24高一上·上海浦东新·期中）设关于x的不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】D 【分析】根据题意，结合不等式的解法，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当时，此时，但不满足，即充分性不成立； 反之：当时， 此时，不等式的解集为，的解集为， 所以，即必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也必要条件. 故选：D. 3-1（23-24高一上·天津·期中）已知表示不超过的最大整数，例如，则关于的方程的解集为（    ） A． B．，或 C． D．，或 3-2已知不等式组解为，则的值为 . 3-3不等式的解为 ． 1．已知方程的两个根为，则= . 2．已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则 3．下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知，方程的解集为 . 5．设a、，求关于x的方程的解集． 6．设，若关于x与y的二元一次方程组的解集为空集，则 . 7．不等式组的解集为 8．已知，，若命题p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 1．设，则方程的解集为 . 2．已知，是一元二次方程的两个实数根. (1)求的值；（用表示） (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由； (3)求使的值为整数的实数的整数值. 3．若，，b，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．若等式恒成立，则常数a与b的和为 . 5．不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知则该方程的整数解有（    ）组． A．1 B．2 C．3 D．4 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习专题08 等式的性质与方程的解集 1.掌握等式的性质，会用等式的性质判断与等式性质有关的命题的真假，发展逻辑推理的素养(重点) 2.会用集合表示一元一次方程、二元一次方程和方程组的解集(重点) 3.解决含字母参数的问题时，感悟分类讨论思想(难点) 用等号“=”把两个表达式连接起来,所得的式子称为等式 等式具有以下性质: （1）传递性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ． （2）加法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． （3）乘法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． 分解因式： ； ． 【答案】 【分析】将利用“十”字相乘法求解；将转化为利用完全平方公式求解. 【详解】， =； ， ， ， ， 故答案为：， 含有未知数的等式称为方程.使得方程左右两边相等的未知数的值,称为方程的解,以方程的所有解为元素组成的集合称为方程的解集. 一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1 且两边都为整式的等式 方程的解一般指能使一个含未知 数的等式成立的未知数的值，是一个数.而方程的解集是该等式所有解组成的集合，是一个集合. 根本概念是不一样的. 求关于x的方程的解集，其中a是常数. 【答案】答案见解析 【分析】将变形为，对一次项系数是否为0进行分类谈论即可求出结果. 【详解】因为，则 当时，方程无解，即解集为； 当时，，即解集为. 综上：当时，方程的解集为；当时，方程的解集为. 由两个二元一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.二元一次方程组中两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解 对二元一次方程组的理解 (1) 方程组各方程中,相同的字母必须代表同一数量 (2)通过解方程组得到一组数值，将这组数值分别代入方程组中的每个方程，当这组数值满足其中的所有方程时，该组数值是此方程组的解(其解可能有无数多组解、无解或一组解);否则它就不是此方程组的解 考点一．等式的性质与方程的解 例1（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知等式恒成立，则 ． 【答案】5 【分析】由题意列出方程组，即可得答案． 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 所以． 故答案为：5 1-1（24-25高一上·上海青浦·期中）设，求方程的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的定义去掉绝对值，分类讨论，求解即可． 【详解】当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，解得 综上，方程的解集为 故选：D 1-2（24-25高一上·上海普陀·阶段练习）设为实数，求关于的方程的解集. 【答案】答案见解析 【分析】方程可化为，讨论与即可求解. 【详解】解：方程可化为， 时，， 若，则方程为，显然不成立，方程无解； 若，则方程为，方程的解为； 若时，解方程得. 综上，时，方程的解集为； 时，方程的解集为； 时，方程的解集为. 1-3（24-25高一上·上海·期中）设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为 . 【答案】且 【分析】由题意方程组消元后所得方程无解即可. 【详解】因为方程组的解集为， 所以消元后无解， 所以且， 解得且. 故答案为：且 考点二．解不含参数的一元一次不等式 例2（23-24高一上·上海·期末）已知关于的方程解集为，则“关于的不等式的解集是 ”是 命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】由已知条件可得且，分、两种情况解不等式，即可得出结论. 【详解】因为关于的方程解集为，则，即，且， 由得， 当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为； 当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为. 故原命题为假命题. 故答案为：假. 2-1（21-22高一上·上海浦东新·期末）已知a∈R，不等式的解集为P，且-1∈P，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】把代入不等式即可求解. 【详解】因为，故，解得：，所以a的取值范围是. 故答案为： 2-2（21-22高一上·上海奉贤·阶段练习）已知关于的不等式组：有且只有一个实数解，则实数的 （结果用集合或区间表示）. 【答案】 【分析】先由求出的值，再由不等式组有且只有一个实数解，可得或，从而可求出结果 【详解】由，得， ， 得或， 因为不等式组有且只有一个实数解， 所以或， 解得或， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 2-3已知的解集为，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】分析可知是方程的解，且有，得出、的等量关系，化简不等式，即可得解. 【详解】因为的解集为，则， 所以，且，故， 不等式即为，即，解得， 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 考点三．解含参数的一元一次不等式 例3（23-24高一上·上海浦东新·期中）设关于x的不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】D 【分析】根据题意，结合不等式的解法，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当时，此时，但不满足，即充分性不成立； 反之：当时， 此时，不等式的解集为，的解集为， 所以，即必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也必要条件. 故选：D. 3-1（23-24高一上·天津·期中）已知表示不超过的最大整数，例如，则关于的方程的解集为（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】D 【分析】根据题意先对进行化简后，然后解不等式后进行求解. 【详解】由题意得，从而可知：， 化简得：，解之得：或， 故解集为：，故D项正确. 故选：D 3-2已知不等式组解为，则的值为 . 【答案】1 【分析】根据已知求出的值即得解. 【详解】解：，解不等式①得，解不等式②得， ∴原不等式组的解为，∵该不等式组的解为-2<x<3， 所以且， ∴ a=3，b=4，∴. 故答案为：1 3-3不等式的解为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质求解． 【详解】因为，所以原不等式的解为． 故答案为：． 1．已知方程的两个根为，则= . 【答案】3 【分析】将所求式子适当变形结合韦达定理即可求解. 【详解】由题意结合韦达定理有，所以. 故答案为：3. 2．已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则 【答案】 【分析】结合已知等式进行变形，然后结合等式恒成立，对应项系数相等可建立关于，，的方程，从而可求． 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 解得，，，， 所以． 故答案为：． 3．下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据等式的性质，逐项验证即可. 【详解】对于选项，两边同时减，得到，故正确； 对于选项，没有说明，故不正确； 对于选项，在等式两边同时乘以，得到，故正确； 对于选项，在等式两边同时乘以5得到，故正确； 故选：. 4．已知，方程的解集为 . 【答案】 【分析】分、、三种情况讨论，去绝对值符号，解原方程即可. 【详解】当时，则； 当时，则； 当时，则. 综上所述，原方程的解集为. 故答案为：. 5．设a、，求关于x的方程的解集． 【答案】答案见解析． 【分析】将方程转化为，分；，；，；，讨论求解. 【详解】方程转化为， 当时，解集为； 当，时，解集为R； 当，时，解集为R； 当，时，解集为． 6．设，若关于x与y的二元一次方程组的解集为空集，则 . 【答案】3 【分析】两式相减，得到，进而分，两种情况讨论求解即可得答案. 【详解】两式相减，得到， 当时，方程无解，从而原方程组无解，其解集为空集． 当时，方程的解为，解不是空集. 综上， ． 故答案为：. 7．不等式组的解集为 【答案】 【分析】由一元一次不等式的解法分别求解取交集即可． 【详解】由题意可得，， 解可得，， 故答案为： 8．已知，，若命题p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】首先，求解命题中涉及到的不等式，然后求解命题中涉及到的一元二次不等式的解集，最后，结合是的充分不必要条件，限定的取值情形，从而得到实数的取值范围． 【详解】由命题，即， ，，， ， ， ，， 是的充分不必要条件， 或， 即或，， 所以实数m的取值范围. 1．设，则方程的解集为 . 【答案】 【分析】按题意分类讨论即可求解 【详解】时，原式，不合题意 时，原式 时，原式即恒成立 时，原式，不合题意 故 故答案为： 2．已知，是一元二次方程的两个实数根. (1)求的值；（用表示） (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由； (3)求使的值为整数的实数的整数值. 【答案】(1) (2)不存在，理由见详解 (3) 【分析】（1）通分后，利用韦达定理代入可得； （2）利用韦达定理代入后解方程可得k，然后可判断； （3）利用韦达定理化简，然后根据k和分式都为整数值验证可得. 【详解】（1）因为一元二次方程， 所以，解得 由韦达定理可得 当时，，无意义； 当时， 综上，的值为 （2）由韦达定理可知 ， 令，整理得，， 由（1）可知， 所以不存在实数，使成立. （3） 因为为整数，所以必为整数，所以，即 又，所以， 因为为整数，所以，经检验时，为整数， 所以使的值为整数的实数的整数值为. 3．若，，b，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求出a，b，c的值，即可求解． 【详解】解：因为，，b，， 所以联立方程组，求得，，，从而，，， 所以当a，b异号时，取最小值为． 故选：B． 4．若等式恒成立，则常数a与b的和为 . 【答案】2 【分析】整式型函数恒为0，则各项系数均同时为零是本题入手点. 【详解】等式恒成立， 即恒成立， 则有，解之得，故 故答案为：2 5．不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知则该方程的整数解有（    ）组． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】原方程可化为，所以即，再列举每种情况即可. 【详解】设此方程的解为有序数对， 因为 所以 当或时，等号是不能成立的， 所以即， （1）当时，即 （2）当时，即或 （3）当时，即 综上所述，共有四组解 故选：D 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$