专题01 与圆锥曲线相关的轨迹方程问题（压轴题专项训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题01 与圆锥曲线相关的轨迹方程问题 目录 典例详解 类型一、定义法求曲线的轨迹方程 类型二、直接曲线的轨迹方程 类型三、参数曲线的轨迹方程 类型四、代入曲线的轨迹方程 类型五、交轨法求曲线的轨迹方程 压轴专练 类型一、定义法求曲线的轨迹方程 1. 定义法求曲线的轨迹方程 如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程. 2. 解轨迹问题注意： （1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等. （2）要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点. 例1．已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 变式1-1．已知圆的方程为，，为圆上任意一点，的中垂线与相交于点．求点的轨迹方程． 变式1-2．（多选）在平面内，存在定圆和定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，关于点轨迹叙述正确的是（    ） A．当点与圆心重合时，点的轨迹为圆 B．当点在圆内且不与圆心重合时，点的轨迹为椭圆 C．当点在圆上时，点的轨迹为抛物线 D．当点在圆外时，点的轨迹为双曲线 类型二、直接法求曲线的轨迹方程 1.直接法求曲线的轨迹方程一般步骤为： ①建系，建立适当的坐标系； ②设点，设轨迹上的任一点P(x，y)； ③列式，列出动点P所满足的关系式； ④代换，依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简； ⑤证明，证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. 2. 注意事项 求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性，由于化简过程破坏了方程的同解性，因此要注意补上遗漏的点或去掉多余的点.“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(需标注变量的取值范围)． 例2．已知直线，点到的距离之积为，记点的轨迹为曲线，若与曲线有四个交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（多选）已知动点与点都不重合，且直线PA，PB的斜率之积为定值．则（    ） A．点可能恒在某个圆上 B．点可能恒在焦点在轴上的某个双曲线上 C．点可能恒在焦点在轴上的某个椭圆上 D．点可能恒在某条直线上 变式2-2．在锐角三角形PMN中，，，垂足为Q，，则点P的轨迹为（    ） A．长轴长为2，离心率为的椭圆的一部分 B．长轴长为，离心率为的椭圆的一部分 C．实轴长为2，离心率为的双曲线的一部分 D．实轴长为，离心率为的双曲线的一部分 类型三、参数法求曲线的轨迹方程 参数法求曲线的轨迹方程的解题思路： 当动点P坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0. 例3．圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于，两个动点. 求点的轨迹的方程. 变式3-1．如图，已知点，轴于点，是线段OB上任意一点，轴于点，于点，与相交于点.求点的轨迹方程. 变式3-2．（多选）已知抛物线C：的焦点为F，直线与C相交于A，B两点，P为AB的中点，为坐标原点，且，则（   ） A．当时， B．点F到的距离的最大值为 C． D．点P的轨迹是一条抛物线 类型四、代入法（相关点法）求曲线的轨迹方程 代入法（相关点法）求曲线的轨迹方程的解题思路： 如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程. 例4．已知为抛物线上一动点，若点满足（为坐标原点），记点的轨迹为曲线，求的方程． 变式4-1．已知F是抛物线的焦点，P是该抛物线上一动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是（   ）． A． B． C． D． 变式4-2．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，上顶点为，设点. 若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程. 类型五、交轨法求曲线的轨迹方程 交轨法求曲线的轨迹方程的解题思路： 在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用. 例5．已知抛物线的准线方程为，直线l与C交于A，B两点，且（其中O为坐标原点），过点O作交AB于点D. 求点D的轨迹E的方程. 变式5-1．已知椭圆的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为. （1）求椭圆和双曲线的方程； （2）直线与椭圆有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于不同的两点，，当点M运动时，求点的轨迹C的方程. 一、单选题 1．已知动点满足，则动点轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 2．已知圆，定点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点，则点的轨迹为（    ） A．以为直径的圆 B．以为焦点的椭圆 C．以为焦点的双曲线 D．以为顶点，为焦点的抛物线 3．已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．公元前4世纪，古希腊数学家梅内克缪斯（Menaechmus）为了解决倍立方问题而发现了圆锥曲线．他用垂直于母线的平面去截取顶角（圆锥底面圆的一条直径的两个端点与顶点连线所形成的等腰三角形的顶角）分别是锐角、直角、钝角的三种圆锥，得到三种曲线，梅内克缪斯分别称之为锐角、直角和钝角圆锥曲线，今称椭圆、抛物线和双曲线．如图，四面体中，AP、AB、AC两两垂直，，，点O为底面ABC内的一个动点． （1）若，则点O的轨迹是椭圆的一部分； （2）若，则点O的轨迹是双曲线的一部分； （3）若，则点O的轨迹是抛物线的一部分． 以上几个命题中，真命题的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、多选题 5．已知P是圆上的动点，（），线段PQ的垂直平分线交直线OP于点M，记点M的轨迹为，则下列说法正确的是（   ） A．当时，是抛物线 B．当时，是离心率为的椭圆 C．当时，是离心率为的双曲线 D．若与圆O有公共点，则m的取值范围为 6．在平面直角坐标系中，点分别在直线上（均异于点），.过点分别作的角平分线的垂线，垂足分别为，的面积分别为.若为定值，则（    ） A．时，点的轨迹是椭圆 B．时，点的轨迹是双曲线 C．存在，使得点的轨迹是圆 D．存在，使得点的轨迹是抛物线 三、填空题 7．在平面直角坐标系中，△ABC满足，、分别为△ABC的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为 . 8．已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点.过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则所在曲线的方程为 ，直线斜率的最大值为 . 四、解答题 9．已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴､轴分别交于两个不同的动点. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线与曲线交于两点，点，直线与的斜率分别为，，且，求证：直线过定点. 10．已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中λ，μ均为常数，动点P的轨迹称为曲线． （1）若曲线为椭圆，试问λ，μ应满足什么条件？ （2）设曲线C为曲线，与x轴不重合的直线l过点，曲线C上存在两点A，B关于直线l对称，且AB的中点M的横坐标为x． （i）若，求实数的值； （ii）若A，B为曲线C在y轴右侧上两个不同的点，且直线l过点，求的取值范围． 11．已知为坐标原点，动直线与直线，分别交于点（的横坐标同号），且的面积为，记线段的中点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程. （2）设点，过点作与轴不重合的直线与曲线交于两点. （ⅰ）记直线的斜率分别为，求的值； （ⅱ）若直线与直线交于点，过点与轴平行的直线与分别交于点，，求证：点是线段的中点. 12．已知双曲线的右焦点为，若上任一点到两条直线和的距离的平方差为． （1）求双曲线的方程； （2）设点为上任意一点，为过的直线． ①记过且与轴垂直的直线为．若与交于点，与直线交于点，证明：当时，为定值，并求出这个定值； ②设点关于直线的对称点为，试求点的轨迹． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 与圆锥曲线相关的轨迹方程问题 目录 典例详解 类型一、定义法求曲线的轨迹方程 类型二、直接曲线的轨迹方程 类型三、参数曲线的轨迹方程 类型四、代入曲线的轨迹方程 类型五、交轨法求曲线的轨迹方程 压轴专练 类型一、定义法求曲线的轨迹方程 1. 定义法求曲线的轨迹方程 如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程. 2. 解轨迹问题注意： （1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等. （2）要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点. 例1．已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两圆位置关系建立等式，再利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径， 设动圆的圆心，半径，而，点在圆内， 由动圆与圆内切，与圆外切，得动圆在圆内，且， 因此，动圆圆心C的轨迹为以为左右焦点， 长轴长的椭圆，半焦距，短半轴长， 所以动圆圆心C的轨迹方程为． 故选：D 变式1-1．已知圆的方程为，，为圆上任意一点，的中垂线与相交于点．求点的轨迹方程． 【答案】. 【分析】连接，由对称的性质，结合椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】圆：的圆心，半径，连接，则， ， 因此点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆，而焦距，短半轴长， 所以点的轨迹方程为. 变式1-2．（多选）在平面内，存在定圆和定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，关于点轨迹叙述正确的是（    ） A．当点与圆心重合时，点的轨迹为圆 B．当点在圆内且不与圆心重合时，点的轨迹为椭圆 C．当点在圆上时，点的轨迹为抛物线 D．当点在圆外时，点的轨迹为双曲线 【答案】ABD 【分析】由点是线段的中垂线与直线的交点，可得.对点的位置分类讨论，利用线段垂直平分线的定义与性质、圆的性质及圆锥曲线的定义逐项判断即可. 【详解】设圆的半径. 当点与圆的圆心重合时，线段的中垂线与直线的交点即为的中点， 此时，因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故选项A正确； 当点在圆内且非圆心时，如图所示. ∵点是线段的中垂线与直线的交点，，， （其中为圆的半径），∴点的轨迹为椭圆，故选项B正确； 当点在圆上时，如图所示，根据圆的性质可知线段的中垂线与直线的交点即为圆心，轨迹为一个点，故选项C错误； 当点在圆外时，如图所示. ∵点是线段的中垂线与直线的交点， ，，或， ∴或（其中为圆的半径），即， ∴点的轨迹为双曲线，故选项D正确. 故选：ABD. 类型二、直接法求曲线的轨迹方程 1.直接法求曲线的轨迹方程一般步骤为： ①建系，建立适当的坐标系； ②设点，设轨迹上的任一点P(x，y)； ③列式，列出动点P所满足的关系式； ④代换，依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简； ⑤证明，证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. 2. 注意事项 求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性，由于化简过程破坏了方程的同解性，因此要注意补上遗漏的点或去掉多余的点.“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(需标注变量的取值范围)． 例2．已知直线，点到的距离之积为，记点的轨迹为曲线，若与曲线有四个交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出，根据题干列出等式，求出轨迹方程，再根据与曲线有4个交点，求出参数a的范围. 【详解】设，由题意得，所以，即， 所以点的轨迹为两个双曲线. 双曲线的实半轴长为1，双曲线1的实半轴长为3， 由，得0），表示以原点为圆心，为半径的圆的上半圆， 若曲线与半圆有四个交点，则3，即. 故选：B. 变式2-1．（多选）已知动点与点都不重合，且直线PA，PB的斜率之积为定值．则（    ） A．点可能恒在某个圆上 B．点可能恒在焦点在轴上的某个双曲线上 C．点可能恒在焦点在轴上的某个椭圆上 D．点可能恒在某条直线上 【答案】AC 【分析】由题意整理方程，根据圆、椭圆以及双曲线的标准方程，根据斜率的取值情况，逐项检验，可得答案. 【详解】设，由PA，PB的斜率之积为定值，得，即． 对于A，当时，方程化为，此时点在圆上，故A正确； 对于C，当且时，方程可化为，表示椭圆，当时，点在焦点在轴上的椭圆上，故C正确； 对于B，D，当时，方程可化为，点在焦点在轴上的双曲线上，故B，D错误． 故选：AC. 变式2-2．在锐角三角形PMN中，，，垂足为Q，，则点P的轨迹为（    ） A．长轴长为2，离心率为的椭圆的一部分 B．长轴长为，离心率为的椭圆的一部分 C．实轴长为2，离心率为的双曲线的一部分 D．实轴长为，离心率为的双曲线的一部分 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，设，则，由三角形为锐角三角形得到，利用求出，根据方程特征得到答案. 【详解】以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴，MN的中点为坐标原点， 建立平面直角坐标系，不妨令，，设，则， 因为是锐角三角形，所以， 则|，，， 由，得， 整理得，其为双曲线的一部分，且双曲线的实轴长为， 离心率为， 故点P的轨迹为实轴长为，离心率为的双曲线的一部分． 故选：D. 类型三、参数法求曲线的轨迹方程 参数法求曲线的轨迹方程的解题思路： 当动点P坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0. 例3．圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于，两个动点. 求点的轨迹的方程. 【答案】； 【分析】设圆心为，则半径为，得圆的方程，令得，令得，消去参数即可求解. 【详解】设圆心为，则半径为，所以圆的方程为：， 令得，令得或（舍去）， 所以，所以的方程为. 变式3-1．如图，已知点，轴于点，是线段OB上任意一点，轴于点，于点，与相交于点.求点的轨迹方程. 【答案】 【分析】通过参数关系设点坐标，利用几何条件建立参数关系，消去参数得到轨迹方程. 【详解】设，因为直线，所以，直线， 所以，即，所以的轨迹方程式. 变式3-2．（多选）已知抛物线C：的焦点为F，直线与C相交于A，B两点，P为AB的中点，为坐标原点，且，则（   ） A．当时， B．点F到的距离的最大值为 C． D．点P的轨迹是一条抛物线 【答案】ABD 【分析】设直线的方程为，，与抛物线方程联立，可求得，A选项，根据得，所以，所以直线垂直于轴，求出A正确；B选项，直线的过定点，从而得到点F到的距离小于等于；C选项，由向量数量积运算法则和基本不等式得到，又，故C错；D选项，消元得到，所以点P的轨迹是一条抛物线. 【详解】设直线的方程为，， 把直线的方程与抛物线方程联立，可得， 因为有两个不同的交点，， 所以，又因为，，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以，解得或， 当时，直线的过坐标原点，此时不符合，故舍去， 当时，满足，所以直线的过定点， 对于A，由抛物线方程，可得焦点，又， 即，解得， 又，所以，所以直线垂直于轴， 中，令得，不妨设， 所以，故A正确； 对于B，点F到的距离小于等于，所以点F到的距离的最大值为，故B正确； 对于C，其中，， ， 当且仅当时取等号， 所以，又，故和的大小不确定，故C错误； 对于D，由题意可得，， 所以，即，所以点P的轨迹是一条抛物线，故D正确. 故选：ABD. 类型四、代入法（相关点法）求曲线的轨迹方程 代入法（相关点法）求曲线的轨迹方程的解题思路： 如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程. 例4．已知为抛物线上一动点，若点满足（为坐标原点），记点的轨迹为曲线，求的方程． 【答案】 【分析】设，根据，列方程结合点在抛物线上得解. 【详解】设，则， 若，则，解得，即， 点在抛物线上，则，即， 曲线的方程为. 变式4-1．已知F是抛物线的焦点，P是该抛物线上一动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，设，PF的中点，从而得到方程组，利用代入法求出轨迹方程. 【详解】抛物线的标准方程是，故， 设，PF的中点， ∴， 因为，所以，即． 故选：C 变式4-2．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，上顶点为，设点. 若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程. 【答案】 【分析】根据焦点与顶点坐标可得椭圆方程，再利用相关点法可求得点的轨迹方程. 【详解】由已知得椭圆的短半轴，焦半距，则长半轴， 又椭圆的焦点轴上，则椭圆的标准方程为， 设线段的中点为，点的坐标是， 由，得， 由点在椭圆上，即得， 线段中点的轨迹方程是. 类型五、交轨法求曲线的轨迹方程 交轨法求曲线的轨迹方程的解题思路： 在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用. 例5．已知抛物线的准线方程为，直线l与C交于A，B两点，且（其中O为坐标原点），过点O作交AB于点D. 求点D的轨迹E的方程. 【答案】 【分析】由抛物线准线方程即可得到p，从而求得抛物线方程，然后利用两个垂直转化为向量的数量积为0，再结合点D在直线AB上，得到等式，消元即可求得点D轨迹方程. 【详解】由题意可得，即，所以抛物线方程为 设，则， 因为，所以， 及，又由题意可知，所以， 又，且， 所以， 即， 又因为点D在直线AB上，且， 所以，即， 所以， 由①②式可得， 当时，，解得；，此时； 当时，消可得，，即， 点同样满足该方程， 显然D与O不重合，所以， 综上，点D的轨迹E的方程为. 变式5-1．已知椭圆的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为. （1）求椭圆和双曲线的方程； （2）直线与椭圆有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于不同的两点，，当点M运动时，求点的轨迹C的方程. 【答案】（1）椭圆：，双曲线：；（2） 【分析】（1）根据椭圆、双曲线几何性质求出的值，即可得方程； （2）联立直线与椭圆方程，根据得，求出，坐标代入上式即可； 【详解】（1）对于椭圆，已知焦点坐标为， 则，. 对于双曲线，渐近线方程为，所以，即. 联立，将代入得，解得，， 所以椭圆的方程为，双曲线的方程为. （2）联立，消去y得. 因为直线l与椭圆有唯一公共点M，所以， 化简得. 设，由韦达定理，则. 当时，无不同的两点A，B，与题意不符； 当时，过点M且与l垂直的直线方程为. 可得，，即， 代入得：， 故点N的轨迹方程. 一、单选题 1．已知动点满足，则动点轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 【答案】C 【分析】我们先将已知等式进行变形，然后结合抛物线的定义即可判断动点的轨迹. 【详解】已知， 将等式右边的变形为，即. 此时原等式变为， 两边同时除以得到. 表示点到点的距离， 表示点到直线的距离. 所以点到点的距离等于点到直线的距离. 点不在直线上， 根据圆锥曲线的定义，到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线， 故动点的轨迹是抛物线. 故选：C. 2．已知圆，定点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点，则点的轨迹为（    ） A．以为直径的圆 B．以为焦点的椭圆 C．以为焦点的双曲线 D．以为顶点，为焦点的抛物线 【答案】C 【分析】根据题意作出图像，由中垂线的性质得到，然后由几何图形得到为定值，符合双曲线的定义，从而得到结果. 【详解】由题意知圆的半径为4，点在圆外， 如图，由中垂线可知，圆的半径, ∴， 即动点到两个顶点的距离差为定值， 故点的轨迹是以为焦点的双曲线中的一支. 故选：C. 3．已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用三角形的重心坐标公式可得，将其代入可得结果. 【详解】分别为椭圆的左、右焦点， 设，G点是三角形的重心 则，得， 又是椭圆E上一动点，，即， 又G点是三角形的重心， 所以点G的轨迹方程为 故选：B 4．公元前4世纪，古希腊数学家梅内克缪斯（Menaechmus）为了解决倍立方问题而发现了圆锥曲线．他用垂直于母线的平面去截取顶角（圆锥底面圆的一条直径的两个端点与顶点连线所形成的等腰三角形的顶角）分别是锐角、直角、钝角的三种圆锥，得到三种曲线，梅内克缪斯分别称之为锐角、直角和钝角圆锥曲线，今称椭圆、抛物线和双曲线．如图，四面体中，AP、AB、AC两两垂直，，，点O为底面ABC内的一个动点． （1）若，则点O的轨迹是椭圆的一部分； （2）若，则点O的轨迹是双曲线的一部分； （3）若，则点O的轨迹是抛物线的一部分． 以上几个命题中，真命题的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据梅内克缪斯理论，求出圆锥顶角为锐角，直角还是钝角，进而判断轨迹类型即可. 【详解】对于（1），两两垂直，，平面， 平面， ，点在以为轴的圆锥面上， ，，， 设圆锥顶角为，则， 所以顶角为锐角，即点O的轨迹是椭圆的一部分，故（1）正确； 对于（2），当时，点在以为轴的圆锥面上， ，，故， 此时圆锥顶角为直角， 所以O的轨迹是抛物线的一部分，故（2）错误； 对于（3），当时，点在以为轴的圆锥面上， ，， ∴，， 所以顶角为钝角，即点O的轨迹是双曲线的一部分，故（3）错误； 综上，真命题的个数1. 故选：B. 二、多选题 5．已知P是圆上的动点，（），线段PQ的垂直平分线交直线OP于点M，记点M的轨迹为，则下列说法正确的是（   ） A．当时，是抛物线 B．当时，是离心率为的椭圆 C．当时，是离心率为的双曲线 D．若与圆O有公共点，则m的取值范围为 【答案】BCD 【分析】根据已知，结合圆的性质、椭圆和双曲线的定义判断点M的轨迹的对应曲线，数形结合依次判断各项的正误. 【详解】A：如下图，当，则为圆与正半轴的交点，则是圆的一条弦， 所以必与原点重合，即是一个点，不是抛物线，错；    B：如下图，当，则在线段上，故， 所以的轨迹是以为焦点，长轴长为2的椭圆， 即，故离心率为，对；    C：如下图，当，则在线段两侧的延长线上，且， 所以的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线， 即，故离心率为，对；    D：由上分析，时是定点（原点），不满足； 时，是以为焦点，长轴长为2的椭圆，且，显然不可能与圆O有公共点，不满足； 时，是以为焦点，实轴长为2的双曲线， 若时，，即双曲线左支与圆O有公共点， 若时，，即双曲线不可能与圆O有公共点， 所以，对. 故选：BCD 6．在平面直角坐标系中，点分别在直线上（均异于点），.过点分别作的角平分线的垂线，垂足分别为，的面积分别为.若为定值，则（    ） A．时，点的轨迹是椭圆 B．时，点的轨迹是双曲线 C．存在，使得点的轨迹是圆 D．存在，使得点的轨迹是抛物线 【答案】AC 【分析】设，根据面积可得为定值，再根据向量坐标运算可得，即可得出，再分和两种情况讨论即可. 【详解】设， 因直线与直线既关于轴对称，也关于轴对称，则点在轴或轴上， 则， 因为定值，则为定值， 因，则，则， 则为定值， 设直线的倾斜角为，则或， 若，此时，，，则为圆，故C正确； 若，则，，， 则为椭圆，故A正确，B错误； 由于方程中不含和的一次项， 故该曲线不可能为抛物线，故D错误. 故选：AC 三、填空题 7．在平面直角坐标系中，△ABC满足，、分别为△ABC的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据重心的性质和内心的性质，求出两点的坐标，根据线段平行轴，纵坐标相等，列出坐标的关系式，求出轨迹方程. 【详解】设，则重心，设内切圆半径为， 又，所以， 因为，则，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：. 8．已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点.过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则所在曲线的方程为 ，直线斜率的最大值为 . 【答案】（除去点） 【分析】根据即可求出直线过定点，再数形结合可知点的轨迹为圆即可写出轨迹方程；最后根据图形可判断过原点的直线和点的轨迹在第一象限内相切时，斜率最大，即可求出. 【详解】由题可设，，则， 解得或者（不符合题意，舍）， 设直线的方程为，与抛物线方程联立得， 所以，，故，故直线的方程为， 所以直线过定点， 又因为，由圆的定义可知动点的轨迹是以为直径的圆， 因为，，中点坐标为， 所以点的轨迹方程为（除去点）， 过原点的直线和在第一象限内相切时，斜率最大， 所以直线斜率的最大值为. 故答案为：（除去点）；. 四、解答题 9．已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴､轴分别交于两个不同的动点. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线与曲线交于两点，点，直线与的斜率分别为，，且，求证：直线过定点. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）根据题意建立方程，化简即可得出曲线方程； （2）设出直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，表示出，，根据得出的关系，即可得证. 【详解】（1）法一：由题意得，中点，点即为动圆圆心. 由得，化简得， 又不重合，因此，所以轨迹的方程为. 法二：由已知得线段是动圆的直径，故，即， 又，所以， 又不重合，因此，所以轨迹的方程为. （2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，    联立得， 则， 由题意得，，同理， 因为， 所以，即， 所以直线的方程为，因此直线过定点. 10．已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中λ，μ均为常数，动点P的轨迹称为曲线． （1）若曲线为椭圆，试问λ，μ应满足什么条件？ （2）设曲线C为曲线，与x轴不重合的直线l过点，曲线C上存在两点A，B关于直线l对称，且AB的中点M的横坐标为x． （i）若，求实数的值； （ii）若A，B为曲线C在y轴右侧上两个不同的点，且直线l过点，求的取值范围． 【答案】（1），且；（2）（i）；（ii）. 【分析】（1）根据已知条件求得方程，由椭圆的方程形式可列出不等式； （2）先求出曲线C的方程，（i）利用点差法列方程，化简求得正确答案；（ii）设出直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，由，结合弦长公式以及来求得正确答案． 【详解】（1）设，则到轴的距离力，，， ，，即 若曲线为椭圆，则，解得，且. （2）（i）因为曲线C为曲线，所以，即， 设， 因为两点在双曲线上，所以 两式相减得，得，即， 所以， 因为是的垂直平分线，有，所以， 即，化简得， 因为的中点M的横坐标为x，所以 故． （ii）    由于，故可知直线斜率存在， 设直线的方程为：，由， 消去并整理得, 则，，即， 所以， 所以， 于是点的坐标为，． 易知，所以，解得：， 代入得，得或， 由在双曲线的右支上得：，得，即， 且， 综上得，， 又 所以 因为，所以，故,所以， 所以，所以 11．已知为坐标原点，动直线与直线，分别交于点（的横坐标同号），且的面积为，记线段的中点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程. （2）设点，过点作与轴不重合的直线与曲线交于两点. （ⅰ）记直线的斜率分别为，求的值； （ⅱ）若直线与直线交于点，过点与轴平行的直线与分别交于点，，求证：点是线段的中点. 【答案】（1）；（2）（ⅰ）-1；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）先设点的坐标再结合面积公式结合中点坐标计算求出轨迹方程； （2）（ⅰ）联立直线和双曲线结合斜率公式计算化简求值；设直线结合过点，再代入计算化简得出斜率积为定值；（ⅱ）联立直线和双曲线结合根与系数关系化简得出计算证明. 【详解】（1）由题设，，线段的中点坐标为， 由题意得，， 又， 所以， 则. 线段的中点坐标为， 则，， 所以，得， 故曲线的方程为. （2）（ⅰ）解法一  由题意知直线的斜率不为0，设，， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，得， 其中，且， 则， 则 . 当直线的斜率不存在时，当直线的斜率不存在时，可令，， 故，. 综上，. 解法二 ： 设，，因为，所以，. 设直线的方程为， 由于直线过点，所以. 由，得， 即， 即， 整理得， 即. 显然和是上述方程的两个实数根， 所以. （ⅱ）由题知直线的斜率存在，由（ⅰ）的解法一知直线的方程为，且. 直线的方程为， 令，得. ，则直线的方程为， 令，得. 由于 ， 所以， 故点为线段的中点. 12．已知双曲线的右焦点为，若上任一点到两条直线和的距离的平方差为． （1）求双曲线的方程； （2）设点为上任意一点，为过的直线． ①记过且与轴垂直的直线为．若与交于点，与直线交于点，证明：当时，为定值，并求出这个定值； ②设点关于直线的对称点为，试求点的轨迹． 【答案】（1）；（2）①证明见解析，定值为；②答案见解析 【分析】（1）首先设任一点的坐标为，然后根据点到直线的距离公式结合已知条件列出等式，化简即可求得双曲线的方程. （2）对于①，首先根据已知条件将点的坐标求出来，然后根据两点距离公式列出的表达式，然后化简即可求得定值；对于②，分两种情况讨论，当直线斜率存在和不存在时，当斜率存在时，根据直线垂直与对称的性质可求出的轨迹为圆. 【详解】（1）设上任一点，而直线转化为. 根据点到直线的距离公式可得： . 根据题意，化简得， 即. （2）由（1）可知，所以，所以点. ①证明：依题意可知直线的方程为. 因为直线与直线交于点，所以将代入直线方程 可得到点的坐标为. 因为线与直线交于点，所以将代入直线方程 可得到点的坐标为. 所以，， 所以. 因为直线过点，所以，即. 所以为定值，且定值为. ②设点关于直线的对称点， 当时，，此时的轨迹为点. 当时，设， 则，解得， 因为点在双曲线上， 所以，即， 化简得：. 所以，即，点轨迹与重合，不合题意； 或，即， 所以点轨迹为以为圆心，半径为的圆，此时也在圆上. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$