专题02 圆锥曲线离心率的取值与范围问题（压轴题专项训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题02 圆锥曲线离心率的取值与范围问题 目录 典例详解 类型一、根据圆锥曲线的定义求离心率 类型二、根据圆锥曲线的性质求离心率 类型三、根据几何图形关系求离心率 类型四、根据点的坐标或轨迹方程求离心率 类型五、结合三角函数或不等式求离心率 压轴专练 类型一、根据圆锥曲线的定义求离心率 1. 根据圆锥曲线的定义求离心率 通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率. 2. 注意： （1） 区分椭圆或双曲线的焦点位置； （2） 椭圆、双曲线离心率自身的范围. 例1．若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为 ． 变式1-1．双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F，则双曲线C的离心率为 . 变式1-2．双曲线的右焦点为，设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 变式1-3．（多选）动点P在椭圆C上，，为C的左、右焦点，直线和直线分别交C于点A，B，若的周长为20，且C的左顶点和上顶点距离为，则（   ） A．椭圆焦距为3 B．离心率 C．面积最大值为12 D．和斜率乘积为定值 类型二、根据圆锥曲线的性质求离心率 1.椭圆的焦点三角形：以椭圆两焦点，及椭圆上任一点（除长轴两端点外）为顶点. （1），周长为定值：； （2）设当点靠近短轴端点时增大，当点靠近长轴端点时减小，与短轴端点重合时最大； （3）三角形面积：，即与短轴端点重合时面积最大； （4）由余弦定理得：. 2. 双曲线的焦点三角形：以双曲线两焦点，及双曲线上任一点（除实轴两端点外）为顶点. （1），的面积 （2）设则. 3. 圆锥曲线的通径：过焦点且垂直于对称轴的弦.通径是所有过该焦点的弦中最短的. （1）椭圆的通径长度为 ； （2）双曲线的通径长度为 ； （3）抛物线的通径长度为2p . 4. 由双曲线的渐近线得到a、b、c的关系转化为关于e的方程求解. 例2．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点（在第四象限），若，则（   ） A． B．的面积为 C．的离心率为 D．直线AB的斜率为 变式2-1．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为的上顶点，直线与交于另一点，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 变式2-2．已知椭圆的左，右焦点分别为、，过且斜率为的直线l与椭圆C在x轴上方的交点为，的角平分线与线段交于点N，若，则椭圆C的离心率是（    ） A． B． C． D． 类型三、根据几何图形关系求离心率 · 结合圆锥曲线与直线、三角形、圆等的位置关系（如相切、相交），利用几何性质（如距离公式、边角关系）建立a、b、c的等量关系，进而求离心率. 1.中点弦（点差法） 设椭圆弦的两个端点为, 中点为, 则 2. 过圆锥曲线上一点的切线方程 （1）椭圆，是椭圆上一点，则过该点的切线方程为：； （2）双曲线，是双曲线上一点，则过该点的切线方程为：. 3. 圆锥曲线的第二定义：平面上到一个定点（焦点）的距离与到一条定直线（准线）的距离之比为常数（离心率）的点的轨迹，称为圆锥曲线. 当 () 时，轨迹是椭圆；当 () 时，轨迹是抛物线；当 () 时，轨迹是双曲线. 4. 圆锥曲线的第三定义（针对椭圆和双曲线） （1）椭圆：平面上，到两个定点（焦点）的连线的斜率之积为常数 （为长半轴，为短半轴）的点的轨迹（不与两焦点共线）. （2）双曲线：平面上，到两个定点（焦点）的连线的斜率之积为常数 （为实半轴，为虚半轴）的点的轨迹（不与两焦点共线）. 例3．过双曲线右支上的点作的切线，，为双曲线的左右焦点，为切线上的一点，且若，则双曲线的离心率为 . 变式3-1．已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为△BPQ的重心，则椭圆的离心率为（   ） A．或 B． C． D． 变式3-2．（多选）已知、分别是双曲线的左右焦点，过与双曲线渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则此双曲线的离心率可能为（   ） A． B． C． D． 变式3-3．已知双曲线C：（，）的两条渐近线分别为，，直线l：（）与，分别交于P，Q两点，若满足，则C的离心率为 . 类型四、根据点的坐标或轨迹方程求离心率 根据点的坐标或轨迹方程求离心率的解题思路： 点在圆锥曲线上⇒由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系 例4．已知双曲线的左、右焦点分别为分别为双曲线的两条渐近线，直线过点，且，直线与交于点，直线与双曲线的右半支交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 变式4-1．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，且，若与一条渐近线平行，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．的面积为 D．直线与圆相切 变式4-2．已知双曲线的左､右焦点分别为，是的右支上一点，在轴上的射影为，为坐标原点.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 类型五、结合三角函数或不等式求离心率 结合三角函数或不等式求离心率的解题思路： 通过三角函数（如正弦定理）转化几何关系，或利用不等式（如三角形三边关系）构造的齐次式求离心率 （注意椭圆，双曲线）. 例5．在平面直角坐标系中，过双曲线 上一点作两条渐近线的平行线分别与两渐近线交于，两点．若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．如图，已知双曲线的焦距为8，点P为双曲线右支上一点（位于第一象限），且，Q为的平分线上一点，满足，，则（   ） A． B． C．离心率 D．的面积为12 变式5-2．在平面直角坐标系中，为双曲线的左顶点，为双曲线上位于第一象限内的一点，点关于轴对称的点为，记，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 变式5-3．已知是双曲线上任意一点，，若恒成立，则的离心率的最大值为 . 一、单选题 1．已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与交于另一点，若与（为原点）的面积之比为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．设点F为椭圆E：（）的右焦点，M是圆O：与x轴正半轴的交点，过点M作圆O的切线，交椭圆E于A，B两点，若△ABF的周长是4b，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．某数学兴趣小组研究发现，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象是双曲线，记其焦点分别为、，若为其图象上任意一点，则（    ） A．轴是的一条渐近线 B．点是的一个焦点 C． D．的离心率为 6．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，过作垂直于直线的直线，垂足为，直线与双曲线在第一象限交于点，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则的周长为 B．若，，则 C．若，则的离心率为 D．若，则的离心率为 7．已知椭圆：（）与双曲线：（，）有公共焦点，，与在第一象限的交点为，且，记，的离心率分别为，．下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．的最小值为1 D．记的内心为，的右顶点为，则轴 三、填空题 8．已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，连接与轴交于点，若是的角平分线，则椭圆的离心率为 ． 9．设椭圆C：的右顶点为，为坐标原点，以为直径的圆与的一个交点为（异于点），若的离心率为，则 ． 10．已知双曲线的左、右焦点分别是，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，且，若，则该双曲线离心率的取值范围是 ． 四、解答题 11．已知椭圆：（）的长半轴长为． （1）若椭圆经过点，求椭圆的方程； （2）为椭圆的右顶点，，椭圆上存在点，使得．求椭圆的离心率的取值范围． 12．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，且垂直于x轴，连结并延长交椭圆于另一点Q，设． （1）若点P的坐标为，求椭圆C的方程； （2）若，求椭圆C的离心率e的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 圆锥曲线离心率的取值与范围问题 目录 典例详解 类型一、根据圆锥曲线的定义求离心率 类型二、根据圆锥曲线的性质求离心率 类型三、根据几何图形关系求离心率 类型四、根据点的坐标或轨迹方程求离心率 类型五、结合三角函数或不等式求离心率 压轴专练 类型一、根据圆锥曲线的定义求离心率 1. 根据圆锥曲线的定义求离心率 通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率. 2. 注意： （1） 区分椭圆或双曲线的焦点位置； （2） 椭圆、双曲线离心率自身的范围. 例1．若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为 ． 【答案】或 【分析】直线与坐标轴的交点为和，分两种情况讨论，得到椭圆的离心率. 【详解】直线与坐标轴的交点为和， 若是椭圆的焦点，是椭圆的一个顶点， 此时椭圆的焦点在轴且，所以，离心率， 若是椭圆的焦点，是椭圆的一个顶点， 此时椭圆的焦点在轴且，所以，离心率， 所以椭圆的离心率为或， 故答案为：或. 变式1-1．双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F，则双曲线C的离心率为 . 【答案】 【分析】由点在渐近线上可求得，再根据双曲线的性质计算离心率即可. 【详解】由点在双曲线的一条渐近线上，可得， 记坐标原点为，则，即． 因为，所以，故双曲线的离心率为． 故答案为：. 变式1-2．双曲线的右焦点为，设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设，运用中点坐标公式表示点，由，以及斜率公式解方程组可得，将点A的坐标代入双曲线的方程，结合的关系，求得，即可得离心率. 【详解】由题意，，设， 则，， 因为原点O在以线段为直径的圆上，可得， 所以，即①， 又直线的斜率，可得②， 联立①②可得，即， 又点在双曲线上，可得， 又，解得，所以. 故选：B. 变式1-3．（多选）动点P在椭圆C上，，为C的左、右焦点，直线和直线分别交C于点A，B，若的周长为20，且C的左顶点和上顶点距离为，则（   ） A．椭圆焦距为3 B．离心率 C．面积最大值为12 D．和斜率乘积为定值 【答案】BC 【分析】由焦点弦三角形的周长为得，由左顶点和上顶点距离为得，从而，判断AB选项，由焦点弦三角形的面积判断C选项，由直线斜率公式和椭圆上的点满足椭圆的方程计算判断D选项. 【详解】因为点P，A在椭圆上，所以，， 故的周长为， 解得，因为左顶点和上顶点的距离为， 解得，则，焦距为，故A错误； ，故B正确； ， 当点P位于轴上时，面积取得最大值12，故C正确； 设，则，即， 因为，，所以，， 故不是定值，故D错误. 故选：BC. 类型二、根据圆锥曲线的性质求离心率 1.椭圆的焦点三角形：以椭圆两焦点，及椭圆上任一点（除长轴两端点外）为顶点. （1），周长为定值：； （2）设当点靠近短轴端点时增大，当点靠近长轴端点时减小，与短轴端点重合时最大； （3）三角形面积：，即与短轴端点重合时面积最大； （4）由余弦定理得：. 2. 双曲线的焦点三角形：以双曲线两焦点，及双曲线上任一点（除实轴两端点外）为顶点. （1），的面积 （2）设则. 3. 圆锥曲线的通径：过焦点且垂直于对称轴的弦.通径是所有过该焦点的弦中最短的. （1）椭圆的通径长度为 ； （2）双曲线的通径长度为 ； （3）抛物线的通径长度为2p . 4. 由双曲线的渐近线得到a、b、c的关系转化为关于e的方程求解. 例2．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点（在第四象限），若，则（   ） A． B．的面积为 C．的离心率为 D．直线AB的斜率为 【答案】ABD 【分析】对于A，设，利用双曲线的定义，结合图象和条件求出，即可判断A，对于B，利用A项推出的结论，利用面积公式和计算即得；对于C，在中，利用余弦定理推得即可；对于D，在中，利用余弦定理求得，即可求直线AB的斜率. 【详解】 如图，由题意设，连接， 由题可知，所以，且. 对于A，，故A正确； 对于B，在中，由余弦定理可得， 因，则 ，因，故B正确； 对于C，在中，由余弦定理可得， 所以，即，所以离心率，故C错误； 对于D，由余弦定理，， 因，故， 于是直线AB的斜率为，故D正确. 故选：ABD. 变式2-1．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为的上顶点，直线与交于另一点，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，利用勾股定理求出，求出，然后在中应用余弦定理可求出该椭圆离心率的值. 【详解】如下图所示： 由题意可知，设，则， 因为，由勾股定理可得， 即，解得，故， 所以， 由余弦定理可得， 即，因为，故， 故选：A. 变式2-2．已知椭圆的左，右焦点分别为、，过且斜率为的直线l与椭圆C在x轴上方的交点为，的角平分线与线段交于点N，若，则椭圆C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用角平分线定理以及椭圆定义得出，再在中利用余弦定理即可求出离心率. 【详解】设椭圆的半焦距为，因为的角平分线， 则在中利用角平分线定理可知，， 因，，则，则， 由椭圆的定义可知，，则， 由直线的斜率为，则， 则在中利用余弦定理可得，， 即，得或（舍）， 则椭圆C的离心率是. 故选：A      类型三、根据几何图形关系求离心率 · 结合圆锥曲线与直线、三角形、圆等的位置关系（如相切、相交），利用几何性质（如距离公式、边角关系）建立a、b、c的等量关系，进而求离心率. 1.中点弦（点差法） 设椭圆弦的两个端点为, 中点为, 则 2. 过圆锥曲线上一点的切线方程 （1）椭圆，是椭圆上一点，则过该点的切线方程为：； （2）双曲线，是双曲线上一点，则过该点的切线方程为：. 3. 圆锥曲线的第二定义：平面上到一个定点（焦点）的距离与到一条定直线（准线）的距离之比为常数（离心率）的点的轨迹，称为圆锥曲线. 当 () 时，轨迹是椭圆；当 () 时，轨迹是抛物线；当 () 时，轨迹是双曲线. 4. 圆锥曲线的第三定义（针对椭圆和双曲线） （1）椭圆：平面上，到两个定点（焦点）的连线的斜率之积为常数 （为长半轴，为短半轴）的点的轨迹（不与两焦点共线）. （2）双曲线：平面上，到两个定点（焦点）的连线的斜率之积为常数 （为实半轴，为虚半轴）的点的轨迹（不与两焦点共线）. 例3．过双曲线右支上的点作的切线，，为双曲线的左右焦点，为切线上的一点，且若，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】先设出的坐标写出切线方程从而得到切线与轴交点的横坐标，再利用双曲线第二定义表示出的值，再根据得到相似比即可求的值进而求离心率. 【详解】设，则切线的方程为， 设切线与轴交点为，令可得点的横坐标， 根据双曲线第二定义可得， 由，即， 也即，解得， 则，故. 故答案为：. 变式3-1．已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为△BPQ的重心，则椭圆的离心率为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点M，可得点M为的中点，设.根据点为△BPQ的重心，列方程可求得点的坐标.由点差法可得.将代入整理得，再结合即可求解. 【详解】延长交于点M，所以点M为的中点，设. 因为，点为△BPQ的重心， 所以即，所以. 因为点在椭圆上， 所以，两式相减得，即， 整理得. 因为，所以，即， 所以，解得或. 又因为，所以，，所以. 故选：D. 变式3-2．（多选）已知、分别是双曲线的左右焦点，过与双曲线渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则此双曲线的离心率可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先求出点坐标表达式，由点在以线段为直径的圆外，于是有，然后解出的取值范围即可. 【详解】设，，则过与双曲线渐近线平行的直线方程为， 由，解得，又点在以线段为直径的圆外， 为锐角，则， 即，解得 故选：ABD 变式3-3．已知双曲线C：（，）的两条渐近线分别为，，直线l：（）与，分别交于P，Q两点，若满足，则C的离心率为 . 【答案】 【分析】联立方程求出P，Q两点坐标，利用得到斜率关系，求得，即可求解离心率. 【详解】不妨设：，：． 联立解得故， 同理可得，故线段PQ的中点， 而，故，解得， 故． 故答案为： 类型四、根据点的坐标或轨迹方程求离心率 根据点的坐标或轨迹方程求离心率的解题思路： 点在圆锥曲线上⇒由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系 例4．已知双曲线的左、右焦点分别为分别为双曲线的两条渐近线，直线过点，且，直线与交于点，直线与双曲线的右半支交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】不妨设直线的方程为，与的方程联立得的坐标，由得的坐标，将的坐标代入双曲线方程即可求解. 【详解】 由题意，得渐近线的方程为． 不妨设直线的方程为，． 由解得． 又，且 解得，代入双曲线，得， 解得双曲线的离心率． 故选：A． 变式4-1．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，且，若与一条渐近线平行，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．的面积为 D．直线与圆相切 【答案】ACD 【分析】设直线平行于双曲线的渐近线，得到直线的方程为，联立方程组求得坐标，代入方程化简得，利用双曲线的离心率公式判断A，利用双曲线渐近线方程判断B，结合纵坐标求得面积判断C，利用点到直线的距离公式判断D. 【详解】不妨设直线平行于双曲线的渐近线， 从而可得是线段的垂直平分线，且直线的方程为， 设直线与直线相交于点， 联立方程组，解得，即， 又，结合中点坐标公式，可得， 代入双曲线，可得，整理得，， 对于A，双曲线的离心率，故A正确； 对于B，双曲线的渐近线，故B错误； 对于C，的面积，故C正确； 对于D，圆心到直线的距离， 故直线与圆相切，故D正确. 故选：ACD 变式4-2．已知双曲线的左､右焦点分别为，是的右支上一点，在轴上的射影为，为坐标原点.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与交于点，根据条件可得，，求出点的坐标，由 关系求出点的坐标，利用得到关系，运算得解. 【详解】如图，设与交于点， 由，且是的中点，所以，又， 所以，又，易得， ， 则，代入双曲线方程可得， 设点，则，， 又设，由可得，即， 由，得，即， 化简整理得， ，解得或， 又，，解得. 故选：D. 类型五、结合三角函数或不等式求离心率 结合三角函数或不等式求离心率的解题思路： 通过三角函数（如正弦定理）转化几何关系，或利用不等式（如三角形三边关系）构造的齐次式求离心率 （注意椭圆，双曲线）. 例5．在平面直角坐标系中，过双曲线 上一点作两条渐近线的平行线分别与两渐近线交于，两点．若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】做出图形，求出渐近线方程，求出两平行线间的距离，再结合三角恒等变以及斜率关系换化简可得，最后构造齐次式求出离心率即可； 【详解】 由题意可得双曲线的渐近线方程为， 设交直线于点， 则点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 因为，由正弦定理可得， 即， 设，即， 因为， ， 所以，即， 所以，即， 所以离心率. 故选：C. 变式5-1．如图，已知双曲线的焦距为8，点P为双曲线右支上一点（位于第一象限），且，Q为的平分线上一点，满足，，则（   ） A． B． C．离心率 D．的面积为12 【答案】ACD 【分析】根据直角三角形的性质计算判断A；延长交于点H，结合直角三角形的性质，根据正弦定理及两角差的正余弦公式求解，进一步求解，判断B，利用双曲线定义求出，进而求出离心率判断C，利用直角三角形面积求解面积判断D. 【详解】对于A，因为，O为中点，所以． 已知双曲线焦距为8，即，所以，A正确. 对于B，因为，Q为的平分线上一点，所以， 记，则，在中，由正弦定理得， 所以，从而，延长交于点H， 则，且H为线段的中点，在中，， 所以， 所以，B错误. 对于C，由B可得，， 所以，所以，所以， 所以离心率，C正确． 对于D，的面积，D正确． 故选：ACD 变式5-2．在平面直角坐标系中，为双曲线的左顶点，为双曲线上位于第一象限内的一点，点关于轴对称的点为，记，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由点在双曲线上得到，再由图中角度关系结合两角差的正切展开式得到，然后结合已知得到，最后由离心率的齐次式得到结果； 【详解】    设，则，， ，则，① 则， 所以， ， 所以，② 将①代入②得， ， 因为， 所以， 所以双曲线的离心率为， 故选：A. 变式5-3．已知是双曲线上任意一点，，若恒成立，则的离心率的最大值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出的最小值并建立不等式，求解不等式即可得解. 【详解】设，双曲线的半焦距为，离心率为，则， 于是 ，当且仅当时取等号， 依题意，，整理得，解得， 即，解得，因此，即 所以的离心率的最大值为. 故答案为： 一、单选题 1．已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据椭圆的定义可得，从而得到点为椭圆的上顶点或下顶点，在中由余弦定理可得的值，最后在中由余弦定理可得结果. 【详解】设，则，， 由，可得， ，所以点为椭圆的上顶点或下顶点， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，即，. 故选：B. 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与交于另一点，若与（为原点）的面积之比为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意易得，可得，进而设，列方程求解即可. 【详解】由题意，，，所以，则， 所以，由，，设，则，， 则，解得，，即， 因为点在椭圆上，所以，化简得， 所以． 故选：B． 3．设点F为椭圆E：（）的右焦点，M是圆O：与x轴正半轴的交点，过点M作圆O的切线，交椭圆E于A，B两点，若△ABF的周长是4b，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的坐标，代入椭圆方程可求得的坐标，进而可求的周长，结合离心率公式求解即可. 【详解】如图，易知，， 将代入椭圆E：得：，解得 不妨设，则， 因为，所以，所以， ， 因为的周长是4b，所以， 即，所以. 故选：B 4．已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，证明出，可得出，求得的值，结合余弦定理可得出关于、的齐次等式，即可解得该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示： 因为，、分别为、的中点，则， 又因为，，故， 所以， 由题意可知，故为钝角， 所以，， 故， 在中，，，， 由余弦定理可得， 解得． 故选：A. 二、多选题 5．某数学兴趣小组研究发现，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象是双曲线，记其焦点分别为、，若为其图象上任意一点，则（    ） A．轴是的一条渐近线 B．点是的一个焦点 C． D．的离心率为 【答案】ACD 【分析】利用反比例函数的对称轴可判断A选项；分析可知双曲线为等轴双曲线，可得出双曲线的离心率，可判断D选项；将直线的方程与反比例函数解析式联立，可求出双曲线的顶点坐标，可判断B选项；求出双曲线的实半轴长，结合双曲线的定义可判断C选项. 【详解】对于A选项，反比例函数的两条渐近线为轴和轴，A对； 对于D选项，反比例函数的两条渐近线垂直，故双曲线为等轴双曲线， 因此，双曲线的离心率为，D对； 对于B选项，反比例函数的图象分布在第一、三象限，且第一、三象限的角平分线方程为， 联立解得或， 所以，双曲线的一个顶点为，B错； 对于C选项，双曲线的实半轴长为， 故，C对. 故选：ACD. 6．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，过作垂直于直线的直线，垂足为，直线与双曲线在第一象限交于点，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则的周长为 B．若，，则 C．若，则的离心率为 D．若，则的离心率为 【答案】ABD 【分析】A选项，利用点到直线距离得到，由勾股定理得到，根据，，求出三边长，得到三角形周长；B选项，方法一：表达出的方程，联立，求出，求出，故；方法二：表达出的方程，联立，求出，求出，，故B正确；C选项，，由，知，从而求出的离心率；D选项，作出辅助线，得到，，根据三角函数关系得到，，由双曲线的定义得到方程，求出，从而求出离心率. 【详解】选项A：设双曲线的半焦距为，则， ，于是， 故， 若，，则，，由勾股定理得， 则的周长为，故A正确. 选项B：方法一：若，，则的方程为， 焦点坐标，渐近线方程为， 故的方程为，联立并化简得， 解得或， 当时，，当时，， 又点在第一象限，故， 又，，所以，， ，故； 方法二：若，，则的方程为， 焦点坐标，渐近线方程为， 故的方程为，联立并化简得，解得或， 当时，，当时，， 又点在第一象限，故， 直线的斜率，， ，故，故B正确； 选项C：若，则，由，知， 则的离心率，故C错误； 选项D：如图，过作于点，则， 而为线段的中点，故，， 由，得，故，， 由双曲线的定义知，即，解得， 所以的离心率，故D正确. 故选：ABD 7．已知椭圆：（）与双曲线：（，）有公共焦点，，与在第一象限的交点为，且，记，的离心率分别为，．下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．的最小值为1 D．记的内心为，的右顶点为，则轴 【答案】ABD 【分析】运用椭圆与双曲线的定义、离心率、焦点三角形等知识，通过利用椭圆和双曲线的定义以及勾股定理求出相关量，再根据离心率的定义对各选项进行判断. 【详解】对于选项A，根据椭圆定义，已知，， 则，所以. 根据双曲线定义，则， 所以. 因为，根据勾股定理，将， 代入得，即，，解得. 双曲线的离心率，因为，，所以，故选项A正确.   对于选项B，设，，由椭圆定义，由双曲线定义， 解得，. 因为，所以，即，化简得. 已知，设，，代入得，解得. 双曲线的离心率，故选项B正确.   对于选项C，由，则. 根据均值不等式，所以，当且仅当时取等号， 椭圆和双曲线离心率不可能取等，故选项C错误.   对于选项D，设的内切圆半径为. 根据三角形面积公式，. 又，，可得，，. ，. 设，的横坐标为，（，为，的横坐标）， 因为，，，所以轴，选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题 8．已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，连接与轴交于点，若是的角平分线，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】利用角平分线定理，转化线段之比，再利用已知线段以及抛物线焦半径公式可求出点，从而可得方程求解，最后可求得离心率. 【详解】 利用角平分线定理： 因为是的角平分线，所以有， 设，根据抛物线的定义可得， 由图可知与之比等于点横坐标与之比， 则有，解得，根据，交点在第一象限， 所以，即把点代入椭圆方程可得： ， 又因为， 所以联立上面两式可得：， 解得， 所以， 即离心率， 故答案为： 9．设椭圆C：的右顶点为，为坐标原点，以为直径的圆与的一个交点为（异于点），若的离心率为，则 ． 【答案】 【分析】法一：连接OP，，过点P向x轴作垂线，垂足为B，确定点的坐标为，代入椭圆方程，化简进而可求解；法二：由离心率得到，进而可对椭圆方程进行变形，与圆联立可求出点的坐标，进而求出相应的边长，进而求角的余弦值. 【详解】解法一 不妨设点在第一象限，如图1， 连接OP，因为为以为直径的圆与C的一个交点，所以． 设，易知，所以，． 过点P向x轴作垂线，垂足为B，则，，所以， 所以点的坐标为． 因为离心率，所以，所以， 将点代入椭圆方程，得，即， 即，解得或，又α为锐角， 所以，即． 解法二  如图2，不妨设点在第一象限，因为离心率，所以， 所以，，C的方程可化为， 以为直径的圆的方程为， 联立椭圆与圆的方程得， 化简得，解得或． 因为恰好是椭圆与圆的交点坐标，且为长轴端点， 所以时，，所以点P的坐标为． 连接，则， 所以，又，所以． 故答案为： 10．已知双曲线的左、右焦点分别是，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，且，若，则该双曲线离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用双曲线的定义、几何性质结合向量的数量积，直线与双曲线的位置关系求解即可. 【详解】如图，由双曲线的定义可知，，两式相加得，即，因为， 所以，即，所以为等腰三角形． 设，由于，所以． （当直线与轴重合时，，不满足题意，所以） 取线段的中点，连接，则，且，，于是．在中，，，， 所以由余弦定理可得， 整理得，所以， 由于，所以，即，所以， 故该双曲线离心率的取值范围是． 故答案为： 四、解答题 11．已知椭圆：（）的长半轴长为． （1）若椭圆经过点，求椭圆的方程； （2）为椭圆的右顶点，，椭圆上存在点，使得．求椭圆的离心率的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由椭圆的长轴长、所过的点坐标求椭圆参数，进而写出椭圆方程. （2）设，由题设可得、，根据已知条件及两点距离公式得，联立方程求参数b的范围，利用椭圆参数关系求离心率的取值范围． 【详解】（1）由题意可得：，又椭圆过， ∴，解得．故椭圆的方程为． （2）由（1）知：，设，则．① 由，则， ∴，即．② 联立①②，解得． 由，即，故，解得， 于是，即，即，即． 故椭圆的离心率的取值范围是． 12．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，且垂直于x轴，连结并延长交椭圆于另一点Q，设． （1）若点P的坐标为，求椭圆C的方程； （2）若，求椭圆C的离心率e的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由已知可得，将点代入椭圆方程，联立求得，，则椭圆方程可求； （2）由轴，不妨设，，设，由P在椭圆上，求得，结合，利用向量等式求得Q坐标，结合点Q在椭圆上，列式可得，结合的范围求椭圆C的离心率的取值范围． 【详解】(1)∵垂直于轴，且点的坐标为 ∴，，解得， ∴椭圆C的方程为. (2)∵轴，不妨设在轴上方，，，设 ∵P在椭圆上，∴.解得，即 ∵，由得， 解得，∴ ∵点在椭圆上 ∴，即 ∴，从而 ∵，∴ 解得 ∴椭圆C的离心率的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是利用向量关系表示点的坐标，得，代入椭圆得，从而利用反比例函数可得范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$