1.4 两条直线的交点（教学课件）数学苏教版2019选择性必修第一册

1.4 两条直线的交点 第一章 直线与方程 苏教版2019选择性必修第一册•高二 学 习 目 标 1 2 3 能理解两条直线的交点坐标的意义，明确交点是两条直线的公共点，其坐标同时满足两条直线的方程。 学会用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，掌握求解的具体步骤和方法。 理解两条直线的三种位置关系与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系，并能运用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系。 两条直线垂直的判定 类型 斜率都存在 一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0 图示     对应关系 l1⊥l2⇔k1k2=-1  ⇒l1⊥l2 知识回顾 我们已经知道，在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用方程来表示，那么， ● 能否用直线方程来研究两条直线的交点问题? 设两条直线的方程分别是 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解； 反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线 l1 和 l2 的交点. 新知探究 设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 方程组 的解 一组 无数组 _____ 直线l1，l2的公共点 一个 _______ 零个 直线l1，l2的位置关系 _____ 重合 _____ 无解 无数个 相交 平行 新知探究 5 例1.分别判断下列直线与是否相交，若相交，求出它们交点的坐标： (1) l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0； (2) l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0； (3) l1：4x＋2y＋4＝0， l2：y＝－2x＋3. 典例分析 (2) 因为方程组有无数组解，所以直线重合. 解 (1) 因为 l1∥l2，所以方程组的解为 所以直线 l1 和 l2 相交，且交点坐标为 (3，－1). (3) 因为方程组无解，所以 l1∥l2. 教材P27 例题 方法技巧 解题的关键：求两直线的交点坐标可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系. 例2.设 a 为实数，直线 l1：2x＋3y－1＝0，l2：x＋(a－1)y＋2＝0. 若 l1∥l2，求 a 的值. 由②x2-①，得(2a-5)y=-5 ③ 从而③无解，即2a-5=0， 解得 解法1 因为 l1∥l2，所以方程组无解. 典例分析 教材P28 例题 解法2：由直线的方程可知，它的斜率． 因为，所以直线的斜率存在，设为，且． 又由直线的方程可知，它的斜率， 所以，解得． 将代入直线得即， 所以当时两直线平行且不重合. 例2.设 a 为实数，直线 l1：2x＋3y－1＝0，l2：x＋(a－1)y＋2＝0. 若 l1∥l2，求 a 的值. 典例分析 教材P28 例题 例3.已知直线 l 经过原点，且经过如下两条直线 2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0 的交点，求直线 l 的方程. 典例分析 解：因为方程组的解为 所以两条直线和的交点坐标为， 从而由题意知直线l经过点． 又直线l经过原点，所以直线l的方程为，即． 教材P28 例题 已知直线 l1：2x＋3y＋8＝0，l2：x－y－1＝0， 则方程 2x＋3y＋8＋λ(x－y－1) ＝0 (λ为任意实数) 表示的直线有什么特点? 过两条已知直线的交点 思考 总结： 1.平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C). 2.垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. 3.过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 1. 与直线 2x－y－3＝0 相交的直线的方程是( ). A. 4x－2y－6＝0 B. y＝2x C. y＝2x＋5 D. y＝－2x＋3 D 2. 判断下列各组直线 l1 与 l2 是否相交. 若相交，求出它们的交点. (1) l1：2x＋y－3＝0， l2：x＋2y－3＝0； (2) l1：3x＋4y－1＝0， l2：6x＋8y－3＝0. 答案： (1) 相交、(1，1)； (2) 不相交. 3．设k为实数，若三条直线2x+3y+8＝0，x﹣y﹣1＝0和x+ky+＝0相交于一点，则k的值为（　　） A．﹣2 B． C．2 D． B 教材P29 练习 4. 已知直线 l 过两条直线 2x＋3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点，且与直线 3x＋y－1＝0 平行，求直线 l 的方程. 答案： 15x＋5y＋16＝0. 5. 已知直线 l 过两条直线 x－y＋2＝0 和 2x＋y＋1＝0 的交点，且与直线 x－3y－2＝0 垂直，求直线 l 的方程. 答案： 3x＋y＋2＝0. 教材P29 练习 两条直线相交求参数时考虑不全面致错 易错题 题型探究 1.［陕西宝鸡2025高二期中］已知三条直线，， 不能围成三角形，则实数 的取值集合为( ) C A., B.,, C.,2, D., 解析 由题知直线,,的斜率分别为,,， 纵截距分别为1,4, .由 解得 即直线,的交点为 . 由直线,,不能围成三角形， 得直线或或点在直线上， 则或 或， 解得或或， 所以实数的取值集合为,2, .故选C. 易错警示 根据三条直线不能围成三角形可分为：至少有两条直线互相平行或三条直线相交于同一个点求解，容易忽略其中的一种或者多种情况.解决此类问题时，一定要考虑全面，必要时可画图，数形结合帮助理解. 两条直线相交坐标的应用 题型 题型探究 例1. ［广东广州2025高二联考］若直线 经过两直线 和的交点， 则 ( ) C A.2 B.4 C.6 D.8 解析 联立解得 则直线经过点 ， 则，解得 .故选C. 方法技巧 本题与教材第30页例3类似，考查过两直线交点的直线方程的求法： 方法一:利用解方程组求已知两直线的交点,然后根据其他已知条件确定所求直线的斜率,从而确定所求直线的方程. 方法二:根据已知条件设出含参数的直线方程,利用已知两条直线的交点也在该直线上求得直线方程. 1.［天津北辰区2025高二期中］过直线和 的交点，且与直线 垂直的直线方程是( ) D A. B. C. D. 变式训练 解析 联立解得所以交点坐标为 . 因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率为 ， 由点斜式方程得所求直线方程为，即 .故选D. 15 2.［江苏扬州2024高二月考］已知直线与垂直，且垂足为 ， 则 的值为( ) B A. B. C.0 D.4 解析 由题意可知 解得 则 .故选B. 变式训练 16 3.［吉林长春吉大附中2025高二期中］若直线与直线 的交点位于第一象限，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 变式训练 解析 联立 解得即直线与直线的交点为 ， 由题意可得解得，即实数的取值范围是 ，故选A. 17 4.若三条直线，，将平面划分成6个部分，则实数 的取值情况是 ( ) C A.只有唯一值 B.有两个不同的值 C.有三个不同的值 D.无穷多个值 变式训练 解析 若三条直线，， 将平面划分成6个部分，则其中有两条直线 互相平行，第三条直线和这两条平行线相交，此时或 ； 或者三条直线经过同一个点， 解得 则点在直线上，此时 . 综上，或或 .故选C. 18 5.［江苏泰州2025高二期中］若直线与轴交于点，直线与 轴交于点，直线与交于点，则 ( ) D A. B. C. D. 变式训练 解析 直线与轴交于点，令得，即 . 直线与轴交于点，令得，即 . 由得则直线与的交点为,，则， ， 则,，又,，则, ，则 .故选D. 19 6.已知两点,，两直线, ，求： （1）过点且与直线 平行的直线方程； 【解析】设与直线平行的直线方程为,将点 的 坐标代入,得,解得 所求直线方程是 . 变式训练 （2）过线段的中点以及直线与 的交点的直线方程. [解析] 设线段的中点为 . ，， . 设直线,的交点为 , 由解得 . 直线的斜率 , 所求直线的方程为，即 . 20 设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 方程组 的解 一组 无数组 _____ 直线l1，l2的公共点 一个 _______ 零个 直线l1，l2的位置关系 _____ 重合 _____ 无解 无数个 相交 平行 课堂小结 21 1.平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C). 2.垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. 3.过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 课堂小结 22 感谢聆听! $$