1.4 两条直线的交点(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

本高中数学讲义聚焦两条直线的交点这一核心知识点，系统阐述用解方程组求交点坐标的方法，梳理两直线相交、平行、重合的位置关系判断，承接直线方程内容，为解析几何学习提供基础支架。 资料以导弹拦截现实情境引入，激发学生用数学眼光观察现实世界，通过一题多解、母题探究等题型设计，培养数学运算与逻辑推理能力。课中助力教师高效授课，课后练习题分层设计，帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

1.4　两条直线的交点 课标要求 　　能用解方程组的方法求两直线的交点坐标（直观想象、数学运算）. 中程导弹防御系统是用来对敌方弹道导弹进行探测和跟踪，然后发射拦截导弹，在敌方弹道导弹尚未到达目标之前，在空中对其进行拦截并将其摧毁.假若导弹的飞行路线是一条直线，拦截导弹的飞行路线也是直线，则被拦截的一瞬间即为两直线相交的过程. 【问题】　把上述问题放在平面直角坐标系中，如何求解两直线的交点坐标？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　两直线的交点坐标 1.定义：已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，将方程联立，得方程组若方程组有　唯一解　，则两条直线相交，此解就是交点的坐标. 2.两直线l1，l2位置关系的判断方法 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1，l2的公共点 　1　个 无数个 　0　个 直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行 【想一想】 1.如果两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0.l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交于一点A（m，n），则点A的坐标与这两条直线方程有何关系？ 提示：点A的坐标满足直线l1和l2的方程. 2.平面上两条直线的位置关系有哪几种情形？在两条直线的位置关系中有垂直吗？它属于哪种情形？ 提示：相交、平行、重合三种情形；有，它属于相交中的特殊情况. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.（　√　） （2）若两条直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交.（　×　） （3）无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交.（　×　） 2.直线y＝x与直线y＝－x＋2的交点坐标为（　　） A.（－1，－1） B.（1，1） C.（－1，1） D.（1，－1） 解析：B　由解得x＝y＝1，所以交点为（1，1），故选B. 3.方程组解的个数是（　A　） A.0 B.1 C.2 D.无数个 题型一　两直线的交点问题 （链接教科书第29页例1）分别判断下列直线l1与l2是否相交，如果相交，求出交点的坐标： （1）l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0； 解：解方程组得 所以l1与l2相交，交点坐标是. （2）l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0； 解：解方程组 ①×2－②得9＝0，矛盾，这个方程组无解，所以l1与l2无公共点，l1∥l2. （3）l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0. 解：解方程组 ③×2得6x＋8y－10＝0. 即方程组有无数组解，l1与l2重合. 规律方法 两条直线相交的判定方法 （1）联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交； （2）两直线的斜率都存在，且斜率不相等，则两直线相交； （3）两直线的斜率一个存在，另一个不存在，两直线也相交. 判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标： （1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； 解：解方程组得所以直线l1与l2相交，交点坐标为（－1，－1）. （2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0. 解：解方程组 ①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解.所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2. 题型二　由两直线的位置关系求参数 （链接教科书第30页例2、第31页练习3题）（1）〔一题多解〕设a为实数，直线l1：2x＋2y－3＝0，l2：3x＋（a＋1）y－2＝0，若l1∥l2，求a的值； 解：法一　因为l1∥l2，所以方程组无解. 由①×3－②×2得，（4－2a）y＝5，　③ 从而③无解，即4－2a＝0，得a＝2. 法二　由题可知A1＝2，B1＝2，C1＝－3， A2＝3，B2＝a＋1，C2＝－2. 当l1∥l2时， 解得a＝2. （2）若三条直线ax＋2y－8＝0，4x＋3y＝10与2x－y＝10相交于一点，求实数a的值. 解：由⇒即三条直线交于点（4，－2），代入ax＋2y－8＝0，有4a－4－8＝0⇒a＝3. 规律方法 利用两直线的位置关系求参数的方法 （1）将两直线的位置关系转化为由两直线组成的方程组的解的个数问题，进而求得参数； （2）利用直线的一般式方程系数的关系，即已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0；若l1∥l2，则A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0（或A1C2－A2C1≠0）；若l1与l2重合，则A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0（或A1C2－A2C1＝0），列出方程求参数. 设m为实数，已知直线l1：3x＋（m＋1）y－6＝0，l2：mx＋2y－（m＋2）＝0，当m为何值时，l1与l2： （1）相交；（2）l1∥l2. 解：（1）∵l1与l2相交，∴A1B2－A2B1≠0，即3×2－m（m＋1）≠0， 即m2＋m－6≠0，解得m≠－3且m≠2， 即当m≠－3且m≠2时，直线l1与l2相交. （2）∵l1∥l2，则解得m＝－3. 题型三　求过两直线交点的直线 〔一题多解〕（链接教科书第30页例3）求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程. 解：法一　解方程组得交点坐标为（－1，2）. 又由直线l3的斜率为，得直线l的斜率为－， 则直线l的方程为y－2＝－（x＋1），即5x＋3y－1＝0. 法二　设所求直线l的方程为3x＋2y－1＋λ（5x＋2y＋1）＝0， 即（3＋5λ）x＋2（1＋λ）y－1＋λ＝0，　① 又l⊥l3，则3×（3＋5λ）＋（－5）×（2＋2λ）＝0， 解得λ＝， 将λ＝代入①式得5x＋3y－1＝0. 【母题探究】 （变条件）本例中若将“垂直”改为“平行”，其他条件不变，试求直线l的方程. 解：解方程组得交点坐标为（－1，2）， 又由直线l3的斜率为， 得直线l的斜率为， 故直线l的方程为y－2＝（x＋1）， 即3x－5y＋13＝0. 规律方法 过两条直线交点的直线方程的求法 （1）常规解法（方程组法）：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程； （2）特殊解法（直线系法）：先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程. 提醒：过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0）. 直线l经过点（1，2），且经过直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为（　　） A.2x＋y＝0 B.2x－y＝0 C.x＋2y＝0 D.x－2y＝0 解析：B　设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ（x－y－1）＝0，即（2＋λ）x＋（3－λ）y＋8－λ＝0.因为l过点（1，2），所以（2＋λ）＋2（3－λ）＋8－λ＝0，解得λ＝8.则直线l的方程为2x－y＝0.故选B. 1.直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是（　　） A.（2，2）　　　　　B.（1，1） C.（1，2） D.（2，1） 解析：C　由得交点坐标为（1，2），故选C. 2.已知直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：2x－by－1＝0相交于点M（1，1），则a＋b＝（　　） A.－1 B.1 C.2 D.－2 解析：A　∵ 点M（1，1）在直线l1和l2上，∴解得∴a＋b＝－1.故选A. 3.斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为　2x＋y－4＝0　. 解析：设所求直线方程为3x－y＋4＋λ（x＋y－4）＝0，即（3＋λ）x＋（λ－1）y＋4－4λ＝0，∴k＝＝－2，解得λ＝5.∴所求直线方程为2x＋y－4＝0. 4.已知直线l过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点，且与直线l3：4x＋3y－2＝0平行，求直线l的方程. 解：联立方程得l1与l2的交点为（－2，2）.∵直线l3的斜率为－，l∥l3，∴直线l的斜率为k＝－，故直线l的方程为y－2＝－（x＋2），即4x＋3y＋2＝0. 1.直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是（　　） A.（2，0） B.（2，1） C.（0，2） D.（1，2） 解析：C　解方程组得即直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是（0，2）. 2.已知三条直线2x＋y－4＝0，kx－y＋3＝0，x－y－2＝0交于一点，则实数k＝（　　） A.－1 B.1 C.－ 解析：C　由⇒即两直线交点坐标为（2，0），代入kx－y＋3＝0得：2k－0＋3＝0⇒k＝－.故选C. 3.直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k＝（　　） A.－24 B.24 C.6 D.±6 解析：A　因为直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，可设交点坐标为（a，0），所以解得故选A. 4.已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，交点坐标为（1，c），则a＋b＋c的值为（　　） A.20 B.－4 C.0 D.24 解析：B　已知直线l1的斜率为－，直线l2的斜率为.由两直线垂直，可知－×＝－1，解得a＝10.将交点坐标（1，c）代入直线l1的方程中，得c＝－2.将点（1，－2）代入直线l2的方程中，得b＝－12.所以a＋b＋c＝10－12－2＝－4.故选B. 5.〔多选〕下列选项中，正确的有（　　） A.直线l1：x－y＋2＝0和l2：2x＋y－5＝0的交点坐标为（1，3） B.直线l1：x－2y＋4＝0和l2：2x－4y＋8＝0的交点坐标为（2，1） C.直线l1：2x＋y＋2＝0和l2：y＝－2x＋3交点坐标为（－2，2） D.直线l1：x－2y＋1＝0和l2：y＝x，l3：2x＋y－3＝0相交于一点 解析：AD　方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为（1，3），A正确；方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合，B错误；方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2，C错误；方程组的解为将点（1，1）代入l3得2＋1－3＝0，所以三条直线相交于一点（1，1），D正确.故选A、D. 6.〔多选〕若三条直线l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0不能围成三角形，则m的值可以是（　　） A.2 B.－2 C. D.－ 解析：ABC　三条直线不能围成三角形，分为以下三种情况：l1∥l2，则有－＝，解得m＝－2；l1∥l3，则有－＝－6，解得m＝；l1，l2，l3相交于同一个点，由解得代入3x＋my－1＝0，可得3－m－1＝0，解得m＝2.故选A、B、C. 7.已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y－12＝0互相垂直，则垂足的坐标为　（1，－2）　. 解析：由两直线垂直得－×＝－1，解得a＝10.由解得则垂足的坐标为（1，－2）. 8.已知直线l：（λ－1）x＋y－λ＝0（λ∈R）恒过定点，则该定点坐标为　（1，1）　. 解析：直线l：（λ－1）x＋y－λ＝0整理得（x－1）λ－x＋y＝0，令则x＝y＝1，故直线l恒过定点（1，1）. 9.若两条直线l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交点在第四象限，则k的取值范围是　　. 解析：由方程组解得∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限，∴解得即－＜k＜－.则k的取值范围为. 10.已知直线l1的方程为x＋2y－4＝0，l2在x轴上的截距为，且l1⊥l2. （1）求直线l1与l2的交点坐标； （2）已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求l3的方程. 解：（1）设l2的方程为2x－y＋m＝0. 因为l2在x轴上的截距为. 所以2×－0＋m＝0，解得m＝－3， 即l2：2x－y－3＝0. 由得 所以直线l1与l2的交点坐标为（2，1）. （2）当l3过原点时，l3的方程为y＝x； 当l3不过原点时，设l3的方程为＋＝1， 则＋＝1，得a＝， 所以l3的方程为2x＋y－5＝0. 综上，l3的方程为y＝x或2x＋y－5＝0. 11.直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P（－1，2），则直线l的方程为（　　） A.3x－y＋1＝0 B.x－3y＋1＝0 C.3x＋y＋1＝0 D.x＋3y＋1＝0 解析：C　设直线l与l1的交点为A（x0，y0）.由已知条件，得直线l与l2的交点为B（－2－x0，4－y0），且满足即解得即A（－2，5），所以直线l的方程为＝，即3x＋y＋1＝0. 12.△ABC的三个顶点分别为A（0，3），B（3，3），C（2，0），如果直线x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，则实数a＝（　　） A. B.1＋ C.1＋ D.2－ 解析：A　lAC：＋＝1，即3x＋2y－6＝0.由得因为S△ABC＝，所以×a×（3－）＝，得a＝或a＝－（舍去）. 13.〔多选〕已知直线l1：x－y－1＝0和直线l2：（k＋1）x＋ky＋k＝0（k∈R），则下列结论正确的是（　　） A.存在实数k，使得直线l2的倾斜角为 B.对任意的实数k，直线l1与直线l2都有公共点 C.对任意的实数k，直线l1与直线l2都不重合 D.对任意的实数k，直线l1与直线l2都不垂直 解析：ABD　对于A项，当k＝0时，直线l2的方程为x＝0，此时直线l2的倾斜角为，故A项正确；对于B项，当k＝－时，直线l2的方程为x－y－1＝0，与l1重合，此时两直线有公共点；当k≠－时，有1×k－（－1）×（k＋1）＝2k＋1≠0，即l1，l2一定相交.综上所述，对任意的实数k，直线l1与直线l2都有公共点，故B项正确；对于C项，由B可知，当k＝－时，直线l2与l1重合，故C项错误；对于D项，要使直线l1与直线l2垂直，则应有k＋1－k＝0，该方程无解，所以对任意的实数k，直线l1与直线l2都不垂直，故D项正确.故选A、B、D. 14.已知△ABC的顶点B（5，1），AB边上的高所在的直线方程为x－2y－5＝0，BC边上的中线所在的直线方程为2x－y－5＝0. （1）求直线AB的方程； （2）求直线AC的方程. 解：（1）因为△ABC的顶点B（5，1），且AB边上的高所在的直线方程为x－2y－5＝0， 可得AB边所在直线的斜率为k＝－2， 所以AB所在直线的方程为y－1＝－2（x－5），即2x＋y－11＝0. （2）因为BC边上的中线所在直线的方程为2x－y－5＝0， 联立方程组解得x＝4，y＝3，即点A（4，3）， 设点C（x1，y1），则BC的中点在直线2x－y－5＝0上， 所以2×－－5＝0，即2x1－y1－1＝0，即点C在直线2x－y－1＝0上， 又由点C在直线x－2y－5＝0上， 联立方程组解得x＝－1，y＝－3，即C（－1，－3）， 所以kAC＝＝，所以直线AC的方程为6x－5y－9＝0. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $