1.5 平面上的距离（题型专练）数学苏教版2019选择性必修第一册

1.5 平面上的距离 题型一：求平面两点间的距离 1．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）两点间的距离为（      ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知三点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 4．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 题型二：求点到直线的距离 5．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知点，点B在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 6．已知直线，点，则到直线的距离为 . 7．（22-23高二上·江苏淮安·期中）已知平面上点和直线，点P到直线l的距离为d，则 . 8．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知直线过原点，且，两点到直线的距离相等，则直线方程可以为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边所在的直线方程； (2)求的面积. 题型三：求平行线间的距离 10．（24-25高二上·江苏扬州·期中）若直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高二上·江苏扬州·期中）平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高二上·江苏镇江·期中）已知直线：，点，，点为直线上一动点，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 13．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）两条平行直线和间的距离为，则的值为 ． 题型四：求点关于直线的对称点 14．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（  ） A． B． C． D． 15．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是（    ） A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1) C．(－a，－b) D．(－b，－a) 16．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知点，______，从条件①、条件②中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答． 条件①：点B的坐标为，直线过点且与直线平行； 条件②：点C的坐标为，直线过点且与直线垂直； (1)求直线的方程； (2)求点关于直线的对称点坐标． 17．已知点，求点分别关于原点、轴和轴的对称点的坐标． 题型五：用两点间的距离公式求函数最值 1．（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知，，，点D是直线上的动点，若恒成立，则正整数t的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（22-23高二上·江苏连云港·阶段练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．12 4．（24-25高二上·江苏镇江·期中）函数的最大值为 . 5．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知，点是直线上的动点，若恒成立，则正整数的最小值是 . 6．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知，则的最小值为 . 7．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为 ． 题型六：已知点到直线距离求参数 8．（多选）（24-25高二上·江苏常州·期中）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线l过定点 B．原点O到直线l距离的最大值为 C．若点，到直线l的距离相等，则 D．若直线l不经过第四象限，则． 9．（2023高二上·江苏·专题练习）求经过两直线与的交点，且与点的距离为5的直线l的方程. 10．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知直线：及点 (1)证明直线过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程. 11．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知的顶点，，. (1)若直线过顶点，且顶点A，到直线的距离相等，求直线的方程； (2)数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出：三角形的外心、重心、垂心共线，这条直线称为欧拉线.求的欧拉线方程. 12．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知直线过直线和直线的交点． (1)若坐标原点到直线的距离为，求直线的方程； (2)若直线的倾斜角为，且，求直线的方程． 13．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线过点 (1)若与直线平行，求直线的方程； (2)若原点到直线的距离为2，求直线的方程. 14．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）若直线经过两直线和的交点. (1)若直线在轴上的截距是在轴上截距的2倍，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为5，求直线的方程. 15．（23-24高二上·江苏镇江·开学考试）在△ABC中，，，. (1)求BC边的高线所在的直线的方程； (2)过点A的直线l与直线BC的交点为D，若B､C到l的距离之比为1：2，求D的坐标. 16．（22-23高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线：与直线：的交点为. (1)求过点且与直线：垂直的直线的方程； (2)求过点，且点到它的距离为3的直线的方程. 题型七：求平行线间的距离 17．（24-25高二上·江苏·期中）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 19．（多选）（24-25高二上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（   ） A．直线：，若，则； B．直线的方程为：，直线过定点； C．过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为； D．直线，两直线的距离为 20．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线，平行，则这两条平行直线之间的距离为 . 21．（24-25高二下·江苏盐城·开学考试）已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等边，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，则 ． 题型八：求点关于直线的对称点 22．（多选）（24-25高二上·江苏南京·期末）设为实数，直线的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．当变化时，恒过定点 B．若，则在轴，轴上的截距之和为4 C．若，则的斜率为1 D．当时，点关于直线的对称点坐标为 23．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知直线，点，求： (1)经过点且与直线垂直的直线方程； (2)点关于直线的对称点. 24．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知点，直线. (1)求点到直线的距离； (2)求点关于直线l的对称点的坐标. 25．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知，点在直线上. (1)若点的横坐标为，求的面积； (2)若的周长最小，求点的坐标及的周长. 26．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知，，动点在直线上. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 27．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知，直线. (1)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）､（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程. 题型九：直线关于直线对称问题 28．（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 29．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）两直线方程为，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 30．（22-23高二上·江苏南京·期中）直线与直线关于直线对称，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 31．（多选）（22-23高二上·江苏南通·期中）已知直线：，则（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形面积为 C．点到直线的距离为2 D．直线关于轴对称的直线方程为 32．（多选）（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）已知直线,，，以下结论正确的是（    ） A．无论a为何值，与都互相垂直 B．当a变化时，表示过定点的所有直线 C．无论a为何值，与都关于直线对称 D．若与交于点M，则（O为坐标原点）的最大值是 33．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）直线关于直线的对称直线方程为 ． 题型十：直线关于直线对称——光线反射问题 34．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）如图已知，，，若光线从点射出，直线反射后到直线上，再经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 35．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知，，，，，一束光线从F点出发射到上的D点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 36．（多选）（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．直线一定经过第四象限 D．点到直线的最大距离为 37．（22-23高二上·江苏镇江·期中）从点发出的光线经过直线反射，反射光线刚好通过坐标原点，则反射光线所在直线的方程为 ． 38．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求第三个顶点的坐标． 39．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线过点，直线：． (1)若直线，求直线的方程； (2)若直线为入射光线，经直线反射，其反射光线经过点，求的方程． 题型十一：将军饮马问题求最值 40．（多选）（23-24高二上·江苏·开学考试）已知点，，且点在直线：上，则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．的最小值为 D．最大值为3 41．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知点，，点在直线上，则的最小值为 . 42．（23-24高二上·江苏·单元测试）已知点，点分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值等于 ． 43．（2022高二·江苏·专题练习）已知点，直线． (1)在上求一点，使的值最小； (2)在上求一点，使的值最大． 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏徐州·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）已知两平行直线分别过点和，并且各自绕点A，B旋转，但始终保持平行，则平行直线间的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）下列结论错误的是（   ） A．过两点的所有直线，其方程均可写为 B．已知点，则过点A且与B距离为1的直线的方程为 C．直线与直线之间的距离为 D．已知点，点P在直线上，则的最小值为10 4．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（   ） A．若点，则 B．若点，则在x轴上存在点P，使得 C．若点M在上，点N在直线上，则的值可以是4 D．若点，点P在直线上，则的最小值是2 三、填空题 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线平行，则与之间的距离是 ． 6．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”.已知点为直线上一点，为直线上一点，则的最小值为 ，的最小值为 . 7．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 . 四、解答题 8．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知△的三个顶点为，，. (1)求证：△为直角三角形； (2)求边上的中线长及中线所在的直线方程. 9．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知点、，设过点的直线与的边交于点（其中点异于、两点），与边交于（其中点异于、两点），若设直线的斜率为. (1)试用来表示点和的坐标； (2)求的面积关于直线的斜率的函数关系式； (3)当为何值时，取得最大值？并求此最大值. 10．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）如图，，设射线所在直线的斜率为，点在内，于，于. (1)若，，求的值； (2)若，求面积的最大值，并求出相应的值； (3)已知为常数，，的中点为，且，当变化时，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5 平面上的距离 题型一：求平面两点间的距离 1．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）两点间的距离为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】由两点间距离公式可得. 【详解】由两点间距离公式得. 故选：C 2．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知三点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】直接根据两点间距离公式计算得到答案. 【详解】，则，解得. 故选：D. 3．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】先求出BC的中点D的坐标，利用两点间的距离公式求出BC边上的中线长. 【详解】设BC的中点为D， 因为，，所以, 所以BC边上的中线长. 故选：B 4．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知两点求斜率、求平面两点间的距离、直线的倾斜角 【分析】利用倾斜角求出，然后利用两点间距离公式即可得出答案. 【详解】由题知，， 解得，故， 则两点间的距离为. 故选：C 题型二：求点到直线的距离 5．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知点，点B在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【知识点】求点到直线的距离 【分析】根据点到直线的距离即可求解. 【详解】由于不在直线上，所以当时，此时最小， 故, 故选:C 6．已知直线，点，则到直线的距离为 . 【答案】 【知识点】求点到直线的距离 7．（22-23高二上·江苏淮安·期中）已知平面上点和直线，点P到直线l的距离为d，则 . 【答案】/4.5 【知识点】求点到直线的距离 【分析】根据直线的特征，直接列式计算作答. 【详解】依题意，直线，而点， 所以. 故答案为： 8．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知直线过原点，且，两点到直线的距离相等，则直线方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】求点到直线的距离、已知点到直线距离求参数 【分析】由题意先设出方程，根据已知条件建立方程解出直线的斜率即可 【详解】直线过原点，且，两点到直线的距离相等， 斜率必存在，设所求直线的方程为， 由已知及点到直线的距离公式可得： ， 解得或， 即所求直线方程为或. 故选：AC. 9．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边所在的直线方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)15 【知识点】直线两点式方程及辨析、求点到直线的距离 【分析】（1）由B，C两点的坐标，得直线的两点式方程，化简得一般式方程； （2）用两点间距离公式求B，C两点间的距离，计算点A到直线BC的距离可得三角形的高，得三角形的面积. 【详解】（1）因为，，所以BC所在的直线方程为， 即. （2）B，C两点间的距离为， 点A到直线BC的距离， 所以的面积为. 题型三：求平行线间的距离 10．（24-25高二上·江苏扬州·期中）若直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】首先根据两直线平行求出，再利用两平行线间距离公式求解即可. 【详解】依题意可得，解得， 则直线方程为， 而方程，即， 所以两条平行线间的距离为. 故选：B. 11．（22-23高二上·江苏扬州·期中）平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求点到直线的距离、求平行线间的距离 【分析】利用点到直线的距离公式即可求得平行直线与之间的距离 【详解】在直线上取点 则点到直线的距离 则平行直线与之间的距离为 故选：D 12．（22-23高二上·江苏镇江·期中）已知直线：，点，，点为直线上一动点，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】三角形面积公式及其应用、求平行线间的距离 【分析】根据两点求得直线方程，利用平行线距离公式，结合三角形面积公式，可得答案. 【详解】直线的方程为，所以，所以边上的高为两平行线之间的距离，记为，因为，，所以． 故选：A． 13．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）两条平行直线和间的距离为，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】求平行线间的距离 【分析】两直线平行则斜率相等，则求出参数的值，再将两直线整理成系数相同的方程后代入平行线距离公式即可得到距离的值. 【详解】∵两直线平行，∴，即，∴， 直线整理为：， ∴. 故答案为： 题型四：求点关于直线的对称点 14．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】由对称可知直线，且中点在上，设点坐标，可得方程组，解方程组即可. 【详解】设，则中点，且， 由，两点关于直线对称，且， 则，解得， 即， 故选：B. 15．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是（    ） A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1) C．(－a，－b) D．(－b，－a) 【答案】B 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】结合中点和斜率求得对称点的坐标. 【详解】设对称点为，则. 所以对称点的坐标为. 故选：B. 16．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知点，______，从条件①、条件②中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答． 条件①：点B的坐标为，直线过点且与直线平行； 条件②：点C的坐标为，直线过点且与直线垂直； (1)求直线的方程； (2)求点关于直线的对称点坐标． 【答案】(1)所选条件见解析，直线的方程； (2). 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点、由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）由所选条件，根据直线平行、垂直关系求斜率，应用点斜式写出直线方程； （2）设，利用中点在直线上且对称点所在直线斜率与直线垂直列方程组求点坐标. 【详解】（1）选①：，则，故直线的方程为， 所以； 选②：，则，故直线的方程为， 所以. （2）令，故中点在直线上， 所以且，可得， 所以. 17．已知点，求点分别关于原点、轴和轴的对称点的坐标． 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】根据点关于原点、轴和轴的对称点坐标之间的关系可得出结果. 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为，点关于轴的对称点的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标为. 题型五：用两点间的距离公式求函数最值 1．（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知，，，点D是直线上的动点，若恒成立，则正整数t的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】直线截距式方程及辨析、用两点间的距离公式求函数最值 【分析】 求出直线AC的方程，设.由，列不等式，利用判别式法求出t的范围，即可求解. 【详解】由题意知直线AC的方程为. 因为点D是直线上的动点，所以可设. 因为，所以， 化简得：对任意x恒成立, 所以，化简得, 解得或,结合t为正整数得：t的最小值为4. 故选：B 2．（22-23高二上·江苏连云港·阶段练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值 【分析】记点、、，可得出，数形结合可求得的最小值. 【详解】因为， 记点、、，则， 当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，即的最小值为. 故选：C. 3．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．12 【答案】A 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值、求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】依题意，设点，推得点，利用两点间距离公式计算，利用距离公式表示的几何意义将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和最小问题解决. 【详解】不妨设点在点的左边，因直线的倾斜角为， 且，则点的坐标为， 则， 记， 则可将理解为点到的距离之和， 即点到直线的距离之和，依题即需求距离之和的最小值. 如图，作出点关于直线的对称点,则， 连接，交直线于点,则即的最小值， 且, 故的最小值为. 故选：A. 4．（24-25高二上·江苏镇江·期中）函数的最大值为 . 【答案】 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值 【分析】可表示为点与点的距离减去点与点的距离，然后可得答案. 【详解】， 表示为点与点的距离减去点与点的距离， 所以， 又，当共线，且P在B的外侧时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 5．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知，点是直线上的动点，若恒成立，则正整数的最小值是 . 【答案】4 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、用两点间的距离公式求函数最值、直线两点式方程及辨析、求平面两点间的距离 【分析】求出直线AC的方程，设.由，列不等式，利用判别式法求出t的范围，即可求解. 【详解】由题意知直线AC的方程为. 因为点D是直线上的动点，所以可设. 因为，所以， 化简得：对任意x恒成立, 所以，化简得, 解得或，结合t为正整数得：t的最小值为4. 故答案为：4 6．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值 【分析】根据给定条件，利用各算术根的几何意义，结合几何图形求出最小值. 【详解】依题意，取点，顺次连接得矩形， 设，，显然点在矩形内， 因此 而，当且仅当点在线段上（除端点外）时取等号， ，当且仅当点在线段上（除端点外）时取等号， 因此，当且仅当是与的交点时取等号，此时， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 7．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】求平面两点间的距离、用两点间的距离公式求函数最值 【分析】依题意转化为动点到的距离之和，结合图象得到为矩形对角线交点时距离最小，进而得到答案. 【详解】 相当于动点到的距离之和， 因为四边形为矩形，所以， 所以当为矩形对角线交点时，， 此时最小，最小为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据几何意义，转化为动点到的距离之和问题，画出图象，，当为矩形对角线交点时，距离最小. 题型六：已知点到直线距离求参数 8．（多选）（24-25高二上·江苏常州·期中）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线l过定点 B．原点O到直线l距离的最大值为 C．若点，到直线l的距离相等，则 D．若直线l不经过第四象限，则． 【答案】ABD 【知识点】直线过定点问题、已知点到直线距离求参数、直线图象的辨析、求平面两点间的距离 【分析】A选项，变形后，得到方程组，求出定点坐标；B选项，直线l过定点，故最大值为；C选项，由点到直线距离公式得到方程，求出或-2；D选项，数形结合得到时满足要求，从而得到不等式，求出答案. 【详解】A选项，， 令，解得， 故直线l过定点，A正确； B选项，由A选项知，直线l过定点， 故原点O到直线l距离的最大值为，B正确； C选项，点，到直线l的距离相等， 故， 故，解得或-2，C错误； D选项，直线不经过第四象限， 当时，满足要求，此时斜率为0， 当经过原点时，，解得， 此时，斜率为1， 数形结合得到，当时，满足要求， 即，解得，D正确. 故选：ABD 9．（2023高二上·江苏·专题练习）求经过两直线与的交点，且与点的距离为5的直线l的方程. 【答案】或 【知识点】求直线交点坐标、已知点到直线距离求参数 【分析】先求出交点坐标，对直线l的斜率分类讨论，结合点到直线的距离公式即可得到答案. 【详解】联立方程，解得，即直线与直线的交点为， 当直线l的斜率不存在时，直线， 可知点到直线l的距离为5，满足题意； 当直线l的斜率存在时，可设直线，即， 所以点到直线l的距离为，解得， 此时直线l的方程为，即； 综上所述：直线l的方程为或. 10．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知直线：及点 (1)证明直线过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【知识点】直线过定点问题、已知点到直线距离求参数 【分析】（1）直线方程整理为关于的方程，然后由的系数为0求得定点坐标； （2）记定点为，由直线可得． 【详解】（1）直线方程整理为， 由解得， 所以直线过定点． （2）记定点为，易知点到直线的距离，当时，， ，∴， 直线方程为，即． 11．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知的顶点，，. (1)若直线过顶点，且顶点A，到直线的距离相等，求直线的方程； (2)数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出：三角形的外心、重心、垂心共线，这条直线称为欧拉线.求的欧拉线方程. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、已知点到直线距离求参数、直线一般式方程与其他形式之间的互化、求平面两点间的距离 【分析】（1）根据题意可设直线，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）根据外心在的中垂线为可设，及到顶点距离相等列方程可得，结合重心求直线方程. 【详解】（1）若直线的斜率不存在，显然不合题意，可设直线，即， 由题意可得：， 整理得，解得或， 所以直线的方程或. （2）因为的中垂线为，可设的外心， 又因为，可得， 则，解得，即， 由题意可知：的重心，则欧拉线的斜率为， 故的欧拉线的方程为，即. 12．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知直线过直线和直线的交点． (1)若坐标原点到直线的距离为，求直线的方程； (2)若直线的倾斜角为，且，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】求直线交点坐标、直线的点斜式方程及辨析、已知点到直线距离求参数 【分析】（1）联立两直线方程求出交点，分类讨论斜率是否存在两种情况，利用点到直线的距离分别求解直线方程； （2）由同角三角函数的关系知弦求切，得到直线的斜率，再由点斜式方程可得. 【详解】（1）由得：，∴ 点的坐标为， 当直线的斜率不存在时，其方程为，适合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 即 ∵ 坐标原点到直线的距离为， ∴ ，解得， 此时直线的方程为 ∴ 直线的方程为或． （2）∵ 直线的倾斜角为，且， 由，， ∴ ， ∴ 当时，直线的方程为； 当时，直线的方程为. ∴ 直线的方程为或 13．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线过点 (1)若与直线平行，求直线的方程； (2)若原点到直线的距离为2，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】由两条直线平行求方程、已知点到直线距离求参数、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）根据已知设出方程，代入点的坐标，即可得出答案； （2）先考虑直线斜率不存在的情况；当斜率存在时，设出直线方程，根据点到直线的距离公式列出关系式，求解即可得出答案. 【详解】（1）由已知可设直线的方程为， 将点代入方程可得，， 解得，， 所以，直线的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，方程为， 此时原点到直线的距离为2，满足题意； 当直线的斜率存在时，设为， 则直线的方程为，即. 由已知可得，， 整理可得，解得， 所以，直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 14．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）若直线经过两直线和的交点. (1)若直线在轴上的截距是在轴上截距的2倍，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为5，求直线的方程. 【答案】(1)或 (2)或. 【知识点】直线截距式方程及辨析、已知点到直线距离求参数、求直线交点坐标 【分析】（1）求出交点，讨论直线不过原点，直线过原点，利用截距式得出直线的方程； （2）讨论直线的斜率，设直线方程，由距离公式得出直线的方程. 【详解】（1）由，解得，即交点坐标为， 当直线过原点时，满足直线在轴上的截距是在轴上截距的2倍，此时方程为； 当直线不过原点时，设方程为，代入得出， 即. 综上，直线的方程为或 （2）若直线过点且斜率不存在，则直线方程为，满足点到直线的距离为5； 当直线过点且斜率存在时，设直线方程为， 即， 点到直线的距离，解得， 所以直线方程为. 综上，直线的方程为或. 15．（23-24高二上·江苏镇江·开学考试）在△ABC中，，，. (1)求BC边的高线所在的直线的方程； (2)过点A的直线l与直线BC的交点为D，若B､C到l的距离之比为1：2，求D的坐标. 【答案】(1) (2)或 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、已知点到直线距离求参数、已知两点求斜率、求直线交点坐标 【分析】（1）先求直线BC的斜率，根据垂直关系可得高线所在的直线斜率，进而可得结果； （2）先求直线的方程，分类讨论直线l的斜率是否存在，利用点到直线的距离公式可得直线l的方程，进而可求交点坐标. 【详解】（1）由题意可知：直线BC的斜率为，则BC边的高线所在的直线斜率为， 所以BC边的高线所在的直线方程为，即. （2）由（1）可知直线的方程为：，即， 若直线l的斜率不存在，则直线l：， 可知B､C到l的距离分别为，不合题意； 若直线l的斜率存在，设为，则直线l：，即， 由题意可得：，即或， 当，则直线l：， 联立方程，解得，即； 当，则直线l：， 联立方程，解得，即； 综上所述：D的坐标为或. 16．（22-23高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线：与直线：的交点为. (1)求过点且与直线：垂直的直线的方程； (2)求过点，且点到它的距离为3的直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【知识点】由两条直线垂直求方程、已知点到直线距离求参数、直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】（1）先联立，方程得，再根据垂直关系求解即可； （2）根据题意分直线斜率存在与直线斜率不存在两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：根据题意联立方程得，即 因为直线：的斜率为，所求直线与直线垂直， 所以，所求直线的斜率为，方程为，即 所以，所求直线方程为 （2）解：由（1）知， 所以，当直线斜率不存在时，所求直线方程为，点(4，0)到它的距离为3，满足题意； 当直线斜率存在时，设所求直线方程为，即， 所以点到它的距离为，解得， 所以，所求直线方程为， 所以，所求直线方程为或. 题型七：求平行线间的距离 17．（24-25高二上·江苏·期中）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】根据两直线平行的充要条件求出，利用两平行线间距离公式求解. 【详解】由题可得，解得， 所以两直线分别为，， 所以这两条直线间的距离为. 故选：B. 18．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】求平面两点间的距离、求平行线间的距离 【分析】表示两点与之间的距离，表示两点与之间的距离，进而可得点的轨迹方程为两平行直线，可求最小值. 【详解】表示两点与之间的距离， 表示两点与之间的距离， 又点是直线上的动点，点是直线上的动点， 且直线与直线平行， 所以的最小值即为直线与直线之间的距离， 所以的最小值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于把两根式转化两点间的距离问题，进而可得的最小值即为直线与直线之间的距离，从而求解. 19．（多选）（24-25高二上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（   ） A．直线：，若，则； B．直线的方程为：，直线过定点； C．过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为； D．直线，两直线的距离为 【答案】ABD 【知识点】已知直线垂直求参数、直线截距式方程及辨析、直线过定点问题、求平行线间的距离 【分析】对于A：由可判断，对于B：由可判断， 对于C：由截距为0的情况可判断，对于D：由平行线间距离公式可判断. 【详解】对于A：当，可得：，解得：，正确； 对于B：由方程，可得：，由， 解得：，过定点，正确； 对于C：过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线，当截距为0时，方程为：，故C错误； 对于D:由两平行线间距离公式可得：两直线的距离为，故正确； 故选：ABD 20．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线，平行，则这两条平行直线之间的距离为 . 【答案】 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】利用两直线平行的性质即可判断，然后利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】已知两直线平行, 则，解得或， 当时，两直线方程相同，舍去， 当时，，， 则两直线间距离为. 故答案为： 21．（24-25高二下·江苏盐城·开学考试）已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等边，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，则 ． 【答案】1 【知识点】求平面两点间的距离、求平行线间的距离 【分析】根据题意画出图形，求出点与的坐标，即可求出的长，进而求出等边三角形的高，由和的面积相等，得到点与点到直线的距离相等，利用平行线距离列出直线方程，把点P代入CP直线方程求解即可． 【详解】如图所示：    因为直线与轴，轴分别交于点，， 所以，，所以. 又和的面积相等， 所以，所以可设直线的方程为. 依题意，得点到直线的距离为，即，所以或（舍）， 所以直线的方程为.又点在直线上， 所以，即. 故答案为：1 题型八：求点关于直线的对称点 22．（多选）（24-25高二上·江苏南京·期末）设为实数，直线的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．当变化时，恒过定点 B．若，则在轴，轴上的截距之和为4 C．若，则的斜率为1 D．当时，点关于直线的对称点坐标为 【答案】AC 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线过定点问题、求点关于直线的对称点 【分析】对于A，将直线方程转化为，由解方程组即可；对于B，求出直线在轴，轴上的截距即可；对于C，化为斜截式即可得解；对于D，根据点关于直线的对称的求法，求得对称点的坐标. 【详解】对于A项，直线的方程为化为， 由，解得，所以直线恒过定点，A正确； 对于B项，时，，令，，令，， 此时在轴，轴上的截距之和为，B错误； 对于C项，由B项可知，故的斜率为1，C正确； 对于D项，时，， 设关于直线对称点坐标为， 则，解得， 即点关于直线的对称点坐标为，D错误. 故选：AC 23．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知直线，点，求： (1)经过点且与直线垂直的直线方程； (2)点关于直线的对称点. 【答案】(1) (2) 【知识点】由两条直线垂直求方程、求点关于直线的对称点、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）由垂直直线可得斜率，结合点斜式方程，可得答案； （2）设出对称点，利用中点坐标与垂直直线的斜率关系，建立方程组，可得答案. 【小题1】由直线，可得其斜率为2， 所以可得与之垂直的直线的斜率为， 所以过点与垂直的直线的方程为，即 【小题2】设的坐标为，则直线是线段的中垂线， 所以 解得 所以的坐标为 24．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知点，直线. (1)求点到直线的距离； (2)求点关于直线l的对称点的坐标. 【答案】(1) (2) 【知识点】求点到直线的距离、求点关于直线的对称点 【分析】（1）根据条件，利用点到直线的距离公式，即可求解； （2）设对称点坐标为，利用两直线垂直的性质与中点坐标公式列方程组即可得解. 【详解】（1）因为点，直线， 所以点到直线的距离为. （2）设，则，即，解得， 所以点关于直线l的对称点的坐标为. 25．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知，点在直线上. (1)若点的横坐标为，求的面积； (2)若的周长最小，求点的坐标及的周长. 【答案】(1) (2)， 【知识点】三角形面积公式及其应用、求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离、用两点间的距离公式求函数最值 【分析】（1）先求点，再根据向量数量积求夹角进而求面积；应用点到直线距离求高进而求面积； （2）应用点关于线对称，求出距离和最小，进而求点的坐标及的周长. 【详解】（1），代入，解得，即， 解法一：， . 解法二：根据得出， 到的距离为， . （2）设点关于直线的对称点为， 由题意得，解得，即， 因为， 所以三点共线距离和最小，即的周长最小， ，交于点，解得， 此时. 26．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知，，动点在直线上. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求平面两点间的距离、求二次函数的值域或最值、求点关于直线的对称点 【分析】（1）由题先得出、在直线的同侧并作图，求出关于直线的对称点为，数形结合即可得最小值情况从而可计算得解. （2）由题意设点，代入结合一元二次函数性质即可得的最小值. 【详解】（1）由题，则、在直线的同侧，如图，    设关于直线的对称点为， 则且，解得，即， 由图可知当三点共线时最小， 所以的最小值为. （2）由题可设， 则 ， 所以当时，取得最小值为. 27．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知，直线. (1)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）､（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程. 【答案】(1)； (2). 【知识点】直线的一般式方程及辨析、求点关于直线的对称点、直线过定点问题 【分析】（1）整理得到，从而得到方程组，求出定点坐标；求出定点在直线上，且，由得到，设出,，由向量比例关系得到点坐标，得到直线方程； （2）作出辅助线，确定关于和的对称点，，得到，由对称性得，写成直线方程． 【详解】（1）因为，所以，由题意得直线方程为， 直线可化为， 令，解得，故直线经过的定点坐标为， 易知直线经过的定点在直线上，所以， 设直线与交于点，所以， 即，所以， 设，所以，即， 所以，所以， 将点坐标代入直线的方程，解得，所以直线的方程为； （2）设关于的对称点，关于的对称点， 直线的方程为，即， 直线的方程为，所以， 解得，所以， 由题意得四点共线，，由对称性得， 所以入射光线的直线方程为，即. 题型九：直线关于直线对称问题 28．（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点关于直线的对称点、直线关于直线对称问题、直线的点斜式方程及辨析 【分析】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 29．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）两直线方程为，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线关于直线对称问题 【分析】先求出两直线的交点，再在直线取点，并求其关于直线的对称点，由两点即可求出结果. 【详解】联立直线和的方程，得到，故直线和的交点为， 在上取一点，设它关于直线的对称点为， 则有，整理得，解得，即， 由，，可得所求直线方程为，即， 故选：C. 30．（22-23高二上·江苏南京·期中）直线与直线关于直线对称，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线关于直线对称问题、直线的倾斜角 【分析】分别求出直线和直线的倾斜角，再求出直线与直线的夹角，再根据对称性即可得出答案. 【详解】解：直线的倾斜角为， 直线的倾斜角为， 则直线与直线的夹角为 设直线与直线的夹角为，则， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 31．（多选）（22-23高二上·江苏南通·期中）已知直线：，则（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形面积为 C．点到直线的距离为2 D．直线关于轴对称的直线方程为 【答案】ACD 【知识点】直线斜率的定义、求点到直线的距离、直线关于直线对称问题 【分析】由斜率与倾斜角的关系可判断A；求出直线与坐标轴的截距可判断B；由点到直线的距离公式可判断C；由点关于轴对称的特征，代入求解可判断D 【详解】对于A：因为直线：的斜率为， 所以直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：令，则；令，则； 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，故B错误； 对于C：点到直线的距离为，故C正确； 对于D：设在直线关于轴对称的直线上， 则关于轴对称的点在直线上， 则有，即， 所以直线关于轴对称的直线方程为，故D正确； 故选：ACD 32．（多选）（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）已知直线,，，以下结论正确的是（    ） A．无论a为何值，与都互相垂直 B．当a变化时，表示过定点的所有直线 C．无论a为何值，与都关于直线对称 D．若与交于点M，则（O为坐标原点）的最大值是 【答案】AD 【知识点】直线过定点问题、直线关于直线对称问题、由斜率判断两条直线垂直、求直线交点坐标 【分析】对A：讨论与时对应直线的位置关系即可； 对B：讨论斜率不存在时的情况，即可判断； 对C：讨论与平行的状态，即可判断； 对D：点的轨迹为圆，数形结合即可求的最大值. 【详解】对A：当时，方程为：，方程为：，两直线垂直； 当时，直线的斜率，直线的斜率，满足，两直线垂直； 故无论a为何值，与都互相垂直，A正确； 对B：，也即，其表示过点，斜率为的直线； 若直线过点且斜率不存在时，该方程无法表示，B错误； 对C：当时，直线,的方程分别为： ，，此时与平行， 关于的对称直线为，不是，故C错误； 对D：由A可得：直线垂直，且直线恒过定点，直线恒过定点， 故点的轨迹是以为直径的圆，此时恰有点也在该圆上，    故的最大值为圆的直径，故D正确. 故选：AD. 33．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）直线关于直线的对称直线方程为 ． 【答案】 【知识点】直线关于直线对称问题 【分析】两直线方程联立可求得交点在所求对称直线上；在直线上取一点，求得其关于直线对称的点的坐标，该点也在对称直线上；由直线两点式可整理得到结果. 【详解】设直线关于直线对称的直线为， 由得：，则点在直线上； 在直线上取一点，设其关于直线对称的点为， 则，解得：，即； 直线的方程为：，即. 故答案为：. 题型十：直线关于直线对称——光线反射问题 34．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）如图已知，，，若光线从点射出，直线反射后到直线上，再经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】由点关于轴的对称点，设点关于直线的对称点列方程组求出，，从而求出直线，联立，得点坐标，由此能求出光线所在的直线方程． 【详解】由题意知，过点和点的直线为，且点， 设光线分别射在上的处， 由于光线从点经两次反射后又回到点， 根据反射规律，则 作出点关于的对称点，作出点关于的对称点， 则 所以共线， 因为，所以， 点关于轴的对称点 设点关于直线的对称点 所以，解得， 所以直线，即 联立，得， 所以直线，即光线L所在的直线方程为 故选：C． 35．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知，，，，，一束光线从F点出发射到上的D点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知两点求斜率、光线反射问题(2)——直线关于直线对称、求点关于直线的对称点 【分析】先作出关于的对称点，再作关于的对称点，因为光线从点出发射到上的点经反射后，入射光线和反射光线都经过关于直线的对称点点，又因为再经反射，反射光线经过关于直线的对称点，所以只需连接、交与点，连接、分别交为点、，则，之间即为点 的变动范围．再求出直线，的斜率即可． 【详解】已知，，， 则直线方程为，直线方程为 如图，作关于的对称点，，解得，故， 再作关于的对称点，则，得， 连接，连接交与点，则直线方程为，得， 连接、分别交为点、， 则直线方程为，得， 直线的斜率，方程为，与直线联立方程组，解得， 连接，，则，之间即为点的变动范围． 直线方程为，斜率为0， 直线的斜率为， 所以斜率的范围为， 故选：D． 36．（多选）（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．直线一定经过第四象限 D．点到直线的最大距离为 【答案】ABD 【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】根据即可求解定点判断A，根据对称即可求解B，当时，直线，即可求解C，根据到定点的距离即可求解D. 【详解】对于选项A，由直线，得所以直线过定点，所以选项A正确； 对于选项B，当时，直线，所以关于轴的对称直线为，所以选项B正确； 对于选项C，当时，直线，不经过第四象限，所以选项C错误； 对于选项D，点到定点的距离为到直线的最大距离为，所以选项D正确． 故选：ABD． 37．（22-23高二上·江苏镇江·期中）从点发出的光线经过直线反射，反射光线刚好通过坐标原点，则反射光线所在直线的方程为 ． 【答案】 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、直线的点斜式方程及辨析 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可求出反射光线的斜率，进而可求得反射光线所在直线的方程. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，则，① 因为直线的斜率为，直线与直线垂直，则，② 联立①②可得，即点， 因为反射光线过原点，所以，反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线的方程为，即． 故答案为：． 38．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求第三个顶点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】（1）根据点关于直线对称列方程组求点即可； （2）根据点关于直线对称列方程组求点即可. 【详解】（1）设点关于直线的对称点的坐标为， 则有，解得，故点的坐标为 （2）设，则有，解得，故点的坐标为. 39．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线过点，直线：． (1)若直线，求直线的方程； (2)若直线为入射光线，经直线反射，其反射光线经过点，求的方程． 【答案】(1)； (2). 【知识点】由两条直线垂直求方程、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】（1）根据两直线垂直，可求斜率，结合点斜式即可求解. （2）求得点关于直线的对称点，则反射光线上的两点知道，进而可求斜率，应用点斜式即可求解. 【详解】（1）因为直线, 所以，即, 因为，所以，即， 从而直线的方程为：即; （2）设点关于直线的对称点为， ，解得：， 入射光线的斜率为，从而入射光线的直线方程为， 即. 题型十一：将军饮马问题求最值 40．（多选）（23-24高二上·江苏·开学考试）已知点，，且点在直线：上，则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．的最小值为 D．最大值为3 【答案】BCD 【知识点】求平面两点间的距离、将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点 【分析】设，利用斜率公式判断A，利用距离公式判断B，化折线为直线，利用两点之间线段最短判断C，根据几何意义判断D. 【详解】对于A：设，若时，此时的斜率不存在， ，与不垂直，同理时与不垂直， 当且时，， 若，则， 去分母整理得，，方程无解，故与不垂直，故A错误； 对于B：设，若，则， 即，由，所以方程有解，则存在点，使得，故B正确； 对于C：如图设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以， 当且仅当、、三点共线时取等号（在线段之间），故C正确；    对于D：如下图，，当且仅当在的延长线与直线的交点时取等号，故D正确.    故选：BCD 41．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知点，，点在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值、求平面两点间的距离 【分析】首先求出点关于直线的对称点，将目标式子转换为结合三角形三边关系即可求解. 【详解】如图所示，    设点关于直线的对称点为，则， 解得，即， 所以，等号成立当且仅当点与点重合，其中点为与直线的交点. 故答案为：. 42．（23-24高二上·江苏·单元测试）已知点，点分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值等于 ． 【答案】 【知识点】将军饮马问题求最值、求点到直线的距离 【分析】作关于轴的对称点，由此将问题转化为“求的最小值”，然后判断出最小值即为到的距离，代入公式可求结果. 【详解】如图，作点关于轴的对称点，则， 此时最小值即为到直线的距离，即， 所以的最小值为， 故答案为：. 43．（2022高二·江苏·专题练习）已知点，直线． (1)在上求一点，使的值最小； (2)在上求一点，使的值最大． 【答案】(1) (2) 【知识点】求直线交点坐标、将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点 【分析】（1）由题意先作出点关于直线的对称点，然后连接，则直线与的交点为所求； （2）连接，则与直线的交点即为所求． 【详解】（1）解：由题意知，点、在直线的同一侧． 由平面几何的知识可知，先作出点关于直线的对称点， 然后连接，则直线与的交点为所求． 设，则且， 解得，，， 直线的方程为． 由，解得， 即为所求； （2）连接，则与直线的交点即为所求， 易得直线的方程为， 联立，解得， 即为所求． 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏徐州·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线平行的充要条件求出，再由平行线间的距离公式求解. 【详解】因为直线与平行， 所以且，解得， 所以直线方程为与， 故， 故选：C 2．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）已知两平行直线分别过点和，并且各自绕点A，B旋转，但始终保持平行，则平行直线间的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两直线之间距离介于两直线重合和两直线与直线垂直这两种情况之间，故求出两种临界情况即可得到两直线之间的距离的取值范围. 【详解】当两直线都与垂直时，它们之间的距离达到最大， 此时， 当两直线重合时其距离为0. 所以． 故选：B. 二、多选题 3．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）下列结论错误的是（   ） A．过两点的所有直线，其方程均可写为 B．已知点，则过点A且与B距离为1的直线的方程为 C．直线与直线之间的距离为 D．已知点，点P在直线上，则的最小值为10 【答案】ABD 【分析】利用直线的两点式方程的意义判断A；根据点到线的距离，分直线斜率存在和不存在研究直线方程判断B；求出平行线间距离判断C；利用对称思想求出的最小值判断D； 【详解】对于A，当或时，过两点的直线方程不能用表示，A错误； 对于B，当过点斜率不存在时，直线方程为，此时到的距离为1，符合题意， 当过点斜率存在时，设直线方程为，即， 当过点A且与B距离为1时，则，即，所以直线方程为， 所以过点A且与B距离为1的直线的方程为或，故B错误； 对于C，直线化为：，所求距离为，C正确； 对于D， 作点关于轴的对称点，设，则， 解得，所以，连接交轴于点，连接， 则， 当且仅当点与点重合时取等号，因此，D错误； 故选：ABD. 4．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（   ） A．若点，则 B．若点，则在x轴上存在点P，使得 C．若点M在上，点N在直线上，则的值可以是4 D．若点，点P在直线上，则的最小值是2 【答案】ACD 【分析】利用“曼哈顿距离”的定义计算判断A；结合绝对值的意义判断B；作出图形，借助几何意义求解判断C、D. 【详解】对于A，由曼哈顿距离的定义知，A正确； 对于B，设，则，B错误； 对于C，如图所示，取，，则，C正确． 对于D，作轴，交直线于，过作，垂足为， 如图所示： 由曼哈顿距离的定义可知，而点， 当不与重合时，由直线的斜率为，得， 则， 当与重合时，，于是， 因此，D正确． 故选：ACD. 三、填空题 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线平行，则与之间的距离是 ． 【答案】/0.8 【分析】根据直线平行求出，再由平行线间的距离公式得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以且， 解得， 所以两平行线间的距离， 故答案为： 6．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”.已知点为直线上一点，为直线上一点，则的最小值为 ，的最小值为 . 【答案】 /0.5； 4. 【分析】设出点的坐标，利用给定的定义列出函数关系，借助分段函数求出最小值即得. 【详解】设，则， 当时，；当时，；当时，， 因此对任意，，所以当，即点时，取得最小值； 设，则，令，于是， 显然，当时，；当时，； 当时，，因此对任意，， 所以当，即时，如点，取得最小值4. 故答案为：；4. 7．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到最小值即为所求. 【详解】由直线与间的距离为得，过作直线垂直于，如图，    则直线的方程为：，将沿着直线往上平移个单位到点，有， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，有，即四边形为平行四边形， 则，即有，显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值，而， 所以的最小值为= 故答案为： 【点睛】思路点睛：（1）合理的利用假设可以探究取值的范围，严谨的思维是验证的必要过程. （2）转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径. （3）数形结合使得问题更加具体和形象，从而使得方法清晰与明朗. 四、解答题 8．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知△的三个顶点为，，. (1)求证：△为直角三角形； (2)求边上的中线长及中线所在的直线方程. 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】（1）根据两点间距离公式求出,,的长度，可得，即证△为直角三角形； （2）边上的中线长为，求出中点的坐标，再根据点斜式求出边上的中线所在的直线方程. 【详解】（1）由已知条件得， ,, 则, 所以△为直角三角形； （2）设的中点坐标为，则边上的中线, 由中点坐标公式可得，，即的坐标为， 直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线方程为，即. 9．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知点、，设过点的直线与的边交于点（其中点异于、两点），与边交于（其中点异于、两点），若设直线的斜率为. (1)试用来表示点和的坐标； (2)求的面积关于直线的斜率的函数关系式； (3)当为何值时，取得最大值？并求此最大值. 【答案】(1)， (2) (3)当时，取最大值为 【分析】（1）由直线与线段有公共点，可得的取值范围，联立直线可得交点坐标； （2）根据点到直线的距离及两点间距离可得三角形面积； （3）设，结合基本不等式可得最值. 【详解】（1）如图所示， 设直线， 又直线与线段，均相交， 则， 直线方程为， 直线方程为， 联立，解得，即， 联立，解得，即； （2）又，又，则， 点到直线，即点到直线的距离， 所以的面积， （3）由（2）得， 设，即， 则， 又，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立， 即当时，取最大值为. 10．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）如图，，设射线所在直线的斜率为，点在内，于，于. (1)若，，求的值； (2)若，求面积的最大值，并求出相应的值； (3)已知为常数，，的中点为，且，当变化时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)面积的最大值为； (3) 【分析】（1）求出，利用点到直线的距离求出，再利用勾股定理求解即可； （2）根据基本不等式以及点到直线的距离公式求解即可； （3）设直线的倾斜角为，则，利用弦化切分别求出和，利用三角形的面积公式得到，根据，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1），， 若，则直线的方程为，即， 则点到直线的距离， ； （2）直线的方程为，即，， ，，， ， 当且仅当时等号成立， 此时点到直线的距离，解得（舍）或， 面积的最大值为，此时； （3） 设直线的倾斜角为，，即，则， ， ， 代入，得， 为，的中点，， ， 即，当且仅当时等号成立， 的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问的关键点之一在于设直线的倾斜角，将角的三角函数值用斜率表示；其二在于利用向量结合基本不等式求模的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$