1.5.3两平行直线间的距离 限时训练-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

两平行直线间的距离 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分 【基础巩固】 1．两平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋＝0的距离等于(　　) A．1 B．0 C. D．3 2．两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0之间的距离是(　　) A. B. C. D. 3．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　) A．4 B. C. D. 4．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　) A. B. C. D. 5．(多选)下列结论错误的是(　　) A．过点A(1,3)，B(－3,1)的直线的倾斜角为 B．若直线2x－3y＋6＝0与直线ax＋y＋2＝0垂直，则a＝ C．直线x＋2y－4＝0与直线2x＋4y＋1＝0之间的距离是 D．已知A(2,3)，B(－1,1)，点P在x轴上，则PA＋PB的最小值是6 6．(多选)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2，则m＋n的可能值为(　　) A．3 B．－17 C．－3 D．17 7．(5分)在梯形ABCD中，CD＝2AB＝6，且AB和CD所在直线的方程分别是x＋2y－3＝0与x＋2y＋7＝0，则梯形ABCD的面积为__________． 8．(5分)若两条平行直线Ax－2y－1＝0与6x－4y＋C＝0之间的距离为，则C＝________. 9．(10分)(1)求平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程；(5分) (2)求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是的直线方程．(5分) 10．(10分)设直线l1：x－2y－1＝0与l2：(3－m)x＋my＋m2－3m＝0. (1)若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；(5分) (2)若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程．(5分) 【综合运用】 11．已知在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，且对角线交于点E，过点E作AB所在直线的平行线l.若AB和CD所在直线的方程分别是3x＋4y－6＝0与3x＋4y＋9＝0，则直线l与CD所在直线的距离为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 12．(多选)两条平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能取值为 (　　) A．1 B．3 C．5 D．7 13．(5分)已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6,3a＋4b＝1，则的最小值为__________． 14．(5分)若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为________． 【创新拓展】 15．(5分)如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，则l2的方程为_______________． 16．(12分)已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是. (1)求a的值；(4分) (2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．(8分) 两平行直线间的距离 1．A　[l1，l2的距离为d＝＝1.] 2．C　[5x＋12y＋3＝0可化为10x＋24y＋6＝0. 由平行线间的距离公式可得d＝＝.] 3．D　[因为3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行， 所以3∶2＝6∶m，所以m＝4. 直线6x＋4y＋1＝0可以转化为3x＋2y＋＝0， 由两条平行直线间的距离公式可得d＝＝＝.] 4．B　[由题意知，直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行， 则3＝a(a－2)，即a2－2a－3＝0， 解得a＝3或a＝－1， 当a＝3时，直线l1：x＋3y＋6＝0与l2：x＋3y＋6＝0重合，不符合题意，舍去； 当a＝－1时，直线l1：x－y＋6＝0与l2：x－y＋＝0平行， 两直线之间的距离为＝.] 5．AD　[对于A，直线AB的斜率k＝＝， 设其倾斜角为θ， 则tan θ＝<， 由于y＝tan x在上单调递增，故θ<， 故倾斜角小于，A错误； 对于B，由直线2x－3y＋6＝0与直线ax＋y＋2＝0垂直，得2a－3＝0， 解得a＝，B正确； 对于C，直线x＋2y－4＝0化为2x＋4y－8＝0， 因此两平行直线的距离d＝＝，C正确； 对于D，点B(－1,1)关于x轴的对称点为B′(－1，－1)， 连接AB′交x轴于点P0，点P是x轴上任意一点， 连接BP0，AP，BP，PB′，如图， 于是PA＋PB＝PA＋PB′≥AB′＝AP0＋B′P0＝AP0＋BP0， 当且仅当点P与P0重合时取等号， 因此(PA＋PB)min＝AB′＝＝＝5，D错误．] 6．AB　[由题意，n≠0，－＝， 所以n＝－4， 所以l2：2x－4y－6＝0，即x－2y－3＝0， 由两平行直线间的距离公式得 ＝2， 解得m＝7或m＝－13， 所以m＋n＝3或m＋n＝－17.] 7．9 解析　直线AB和CD之间的距离d＝＝2， 即梯形的高为 2， 又CD＝2AB＝6， 所以梯形ABCD的面积S＝×(3＋6)×2＝9. 8．11或－15 解析　由直线Ax－2y－1＝0与6x－4y＋C＝0平行，可得A＝3，即两直线方程分别为6x－4y－2＝0,6x－4y＋C＝0，两平行直线间的距离为，可得＝，解得C＝11或－15. 9．解　(1)设所求直线方程为3x＋4y＋m＝0. 由题意知＝1， 解得m＝3或－7， 所以所求直线方程为 3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0. (2)设所求直线方程为3x－y＋c＝0，由题意，可得点P到直线的距离等于， 即d＝＝， 解得c＝9或c＝－3， 所以所求直线方程为 3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 10．解　(1)若l1∥l2，则m≠0， ∴＝－，∴m＝6， ∴l1：x－2y－1＝0，l2：x－2y－6＝0， ∴l1，l2之间的距离d＝＝. (2)由题意，得∴0＜m＜3， 直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积 S＝m(3－m)＝－2＋， ∴当m＝时，S的最大值为， 此时直线l2的方程为2x＋2y－3＝0. 11．B　[由题意得△ABE∽△CDE，则AE∶EC＝1∶2，点E到CD所在直线的距离为AB和CD所在直线距离的，又AB和CD所在直线的距离为＝3，则直线l与CD所在直线的距离为2.] 12．ABC　[当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，两平行直线l1，l2间的最大距离为 PQ＝＝5，所以l1，l2之间距离的取值范围是(0,5]．] 13．1 解析　设点A(m，n)，B(a，b)，直线l1：3x＋4y＝6，直线l2：3x＋4y＝1.由题意知点A(m，n)在直线l1：3x＋4y＝6上，点B(a，b)在直线l2：3x＋4y＝1上，AB＝，由l1∥l2，得ABmin＝＝1. 14．15°或75° 解析　由两平行直线的距离公式，可得直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0的距离为d＝＝，又直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，即该直线与直线l1所成角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°. 15．x＋y－3＝0 解析　设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)， 则题图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)． 所以AD＝，BC＝b. 梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离， 故h＝＝(b>1)， 由梯形面积公式得×＝4， 所以b2＝9，b＝±3.又b>1，所以b＝3. 所以所求直线l2的方程是x＋y－3＝0. 16．解　(1)l2的方程即为2x－y－＝0， ∴l1和l2的距离d＝＝， ∴＝.∵a>0，∴a＝3. (2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上， 且＝×， 即c＝或c＝. ∴2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0. 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，得 ＝•， ∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0. ∵点P在第一象限，∴3x0＋2＝0不符合题意． 联立方程 解得x0＝－3，y0＝，应舍去． 联立 解得x0＝，y0＝. ∴P即为同时满足三个条件的点． 学科网（北京）股份有限公司 $$