专题04 一次函数（河北专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题04 一次函数 考点一、平面直角坐标系 1．（2024·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 考点二、一次函数图象 3．（2024·河北·中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 考点三、动点问题的函数图象 4．（2023·河北·中考真题）如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   考点四、一次函数图象平移 5．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 考点五、一次函数的实际应用问题 6．（2021·河北·中考真题）下图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点）始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点）一直保持在1号机的正下方，2号机从原点处沿仰角爬升，到高的处便立刻转为水平飞行，再过到达处开始沿直线降落，要求后到达处． （1）求的关于的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度； （2）求的关于的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标； （3）通过计算说明两机距离不超过的时长是多少． 【注：（1）及（2）中不必写的取值范围】 考点六、一次函数的纯数学综合问题 7．（2023·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式． 例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．    (1)设直线经过上例中的点，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式； (2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次． ①用含m的式子分别表示； ②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象； (3)在（1）和（2）中的直线上分别有一个动点，横坐标依次为，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式． 8．（2022·河北·中考真题）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为，． (1)求AB所在直线的解析式； (2)某同学设计了一个动画：在函数中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中．当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当时，只发出射线而无光点弹出． ①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系； ②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光，求此时整数m的个数． 专练一、平面直角坐标系的应用 9．（2025·河北·模拟预测）已知平面直角坐标系的原点O是矩形的对角线的中点，如果点D的坐标是，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D．不能确定 10．（2025·河北·一模）长征是中国共产党和中国革命事业从挫折走向胜利的伟大转折点．如图，这是红一方面军的长征路线图，若表示吴起镇会师的点的坐标为，表示湘江战役的点的坐标为，则表示会宁会师的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，若点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C．1 D．5 12．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走，到达点，再向正北方向走到达点，再向正西方向走到达点，再向正南方向走，到达点，再向正东方向走到达点，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 13．（2025九年级下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，点A位于第一象限内，，并且点A到x轴的距离为6，点B对应的坐标为．若为钝角三角形，则a的取值范围是（   ） A． B． C．且，或 D．且，或 14．（2025·河北唐山·二模）在平面直角坐标系中，有一点．P是第一象限内任意一点，其坐标为，连接，，．若，，我们把称为点P的“角坐标”．例如，点P的坐标为，则点P的“角坐标”为． 结论Ⅰ：若点P的“角坐标”为，无论m为何值，一定有； 结论Ⅱ：若点P到y轴的距离为9，则的最小值为150． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 15．（23-24七年级下·北京丰台·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点A第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…．依此规律跳动下去，点的坐标（   ） A． B． C． D． 16．（2025·河北沧州·模拟预测）如图所示，，，作折线关于点的中心对称图形，再作出新的折线关于与x轴的下一个交点的中心对称图形……以此类推，得到一个大的折线，现有一动点P从原点O出发，沿着折线以每秒1个单位的速度移动，设运动时间为t．当时，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 17．（2025·河北保定·一模）在平面直角坐标系中，嘉琪做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…．依此类推，第步的走法是：当能被3整除时，则向上走1个单位；当被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第50步时，棋子所处位置的坐标是 ． 18．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则点到轴的距离是 ． 19．（2025·河北邯郸·二模）如图．已知点，为平面直角坐标系内两点，点为轴上一点，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)当的周长最小时，求点的坐标； (3)点、为坐标内两点，在（）的条件下，若线段始终在内部（含边界），求的取值范围． 专练二、动点问题的函数图象 20．（2025·河北唐山·二模）如图，用四根木条制作一个平行四边形框架，双手将它的两个对角慢慢向两边拉动，直至变为矩形框架停止，在这个变化过程中，设平行四边形的面积为y，高为x，则y与x之间的函数图象可能为（   ） A． B． C． D． 21．（2025·河北·一模）如图，在矩形中，点从点出发，沿着折线以每秒个单位长度的速度匀速运动，设的面积为，点的运动时间为，则在点的运动过程中，关于的函数图象可能是（   ） A． B． C． D． 22．（2025·河北唐山·二模）如图1，点P为等边三角形的边上一点（不与点C重合），过点P作于点Q，设，，y与x的函数关系图象如图2所示，下列结论正确的是（    ） A． B．等边三角形的边长为3 C．当时，的长最小 D．y与x的函数关系为： 23．（2025·河北邢台·二模）沧州市某天的气温随时间t的变化情况如图所示，设表示到，气温值的极差，则与t的函数图象大致是（   ） A．B．C． D． 24．（2025·河北邯郸·一模）如图1，是的半径，点是的中点，点在上从点开始沿逆时针方向运动一周回到点，运动停止，设运动过程中的长为，的长为，图2是随变化的关系图象，则的值为（   ） A．2 B． C． D．3 25．（2025·河北·模拟预测）在中，，点是的中点．动点从三角形某点出发，沿三角形的边按每秒2个单位长度逆时针运动，设运动时间为，线段长度为，则与的函数图象如图所示．已知点的坐标是，点的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 26．（2025·河北保定·一模）如图，在中，，，点在上，，点为上一动点．连接，．设，，图是点从点运动到点的过程中与之间的函数图象，为最低点．甲、乙、丙三名同学分别对点，，进行了如下研究： 甲：点的纵坐标为； 乙：点的纵坐标为； 丙：点的纵坐标为． 则下列判断正确的为（    ） A．甲错，乙、丙都对 B．甲、丙都错，乙对 C．甲、乙、丙都对 D．甲、乙、丙都错 27．（2025·河北保定·二模）如图1，四边形为菱形，动点，同时从点出发，点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动；点沿线段向终点运动，当点运动至终点时，另一点也恰好到达终点．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，图2为关于的函数关系图象．下面四个结论中：①点的运动速度为每秒3个单位长度；②菱形的边长为6；③当时，；④曲线段的函数解析式为，结论正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①④ 专练三、一次函数的图象和性质 28．（2025·河北邯郸·三模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)_____，点的坐标为_____． (2)求出直线的函数解析式． (3)若点是线段上一动点，点从点开始以每秒个单位长度的速度向点运动，过点作轴的垂线，分别与直线，交于点，．设的长为，点的运动时间为，求出与之间的函数解析式．（写出自变量的取值范围） 29．（2025·河北石家庄·二模）如图，直线为常数，与轴交于点，直线与轴交于点，两直线交于点． (1)若点坐标为，求的值和点坐标； (2)规定：横、纵坐标均为整数的点为整点，当为整数时，求为整点时的坐标； (3)设在直线上，且落在内部（不含边界）整点的个数为，直接写出的值． 30．（2025·河北·模拟预测）如图，直线经过点，线段的两个端点坐标分别为，． (1)求a与b之间的关系式； (2)当直线恰好经过线段三等分点时，求a的值； (3)对于直线，无论x取何值，始终有，求n的取值范围． 31．（2025·河北邯郸·一模）如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点． (1)求的值及的解析式； (2)求的值； (3)一次函数的图象为，且不能围成三角形，直接写出的值． 32．（2025·河北石家庄·三模）如图，直线分别与x轴、y轴交于点，与直线相交于点C，点P是射线上一点，作于点D，点E在上点C的左侧，．设点P的横坐标为t． (1)求的解析式及点C的坐标； (2)连接，当时，求的面积； (3)画直线，若表示直线的函数值随x的增大而减小，直接写出t的取值范围． 33．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于B，C两点，直线与直线相交于点A，P为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴，垂足为Q．设P点的横坐标为t，与重叠部分的面积为S．S关于t的函数图象如图2所示，小明在做题的过程中用墨弄污了一部分，请据此回答下面的问题： (1)利用图中残留的信息，推测的面积为_____； (2)求直线的解析式； (3)若． ①判断点P在点A的左侧还是右侧； ②求此时t的值． 34．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点C． (1)求m的值及直线的解析式： (2)求的面积； (3)已知经过某一定点，且与x轴交于点E，当时，直接写出该定点与点E的距离． 35．（2025·河北邢台·三模）嘉嘉在几何画板软件上做数学实验：如图，在平面直角坐标系中，取，构造直线． (1)求直线的解析式． (2)嘉嘉将直线在轴下方的部分沿轴翻折，得到射线，取，线段以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，运动时间为秒． ①点运动到点的初始位置时，用时______秒． ②求点运动到线段上时的坐标； ③直接写出仅有一个点在内部（含角的两边）时的取值范围． 36．（2025·河北唐山·二模）列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同的角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系． 1 2 1 0 2 画出的图象如下． (1)求a和b的值． (2)______，并在如图所示的平面直角坐标系中画出的图象． (3)设直线与直线和分别交于A，B两点，当点A，B关于轴对称时，直接写出的值． 37．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点向上平移4个单位长度到点，点向左平移2个单位长度到点，直线的图象与直线交于点． (1)画出直线并求直线的解析式； (2)嘉嘉说：有唯一值不可取； 淇淇说：无论为何值（唯一不可取的值除外），直线总经过一个定点； 请选择其中一人的说法进行说理． (3)当直线与直线的交点到轴的距离恰为3时，求的值． 专练四、一次函数与几何问题的综合 38．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，将点B绕着点A顺时针旋转得到点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 39．（2025·河北邯郸·二模）如图，点M的坐标为，过点M作垂直于y轴的直线，分别交直线，，于点A，B，C．若一个等腰直角三角形的周长为c，设它的直角边长为x，则点在（   ） A．线段上 B．线段上 C．线段BC在此处键入公式。上 D．点C右侧 40．（2025·河北唐山·三模）如图，直线对应的函数表达式为，在直线上，顺次取点，，，，，，构成的形如“”的图形的阴影部分面积分别为，，；则 ．（用含的式子表示，要化简）． 41．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C．已知直线． (1)点C的坐标为___________； (2)通过计算说明一次函数的图象一定过点P； (3)直线、直线、直线不能组成三角形时，求k的值； (4)当直线与边有交点，且将四边形分成的两部分面积比为时，直接写出k的值． 专练五、一次函数的平移问题 42．（2025·河北沧州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线，将的图象记为G，平移l使得其与G只有一个交点，则平移的最短路程为（    ） A． B． C． D． 43．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A． B． C． D．10 44．（2025·河北保定·二模）如图，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，一次函数的图象经过点． (1)求这个一次函数的表达式． (2)将向左平移，当边的中点落在这个一次函数的图象上时，求平移的距离． 45．（2025·河北张家口·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，有一动直线：，点先向右平移4个单位长度再向下平移8个单位长度得到点． (1)求直线的解析式； (2)①的面积为______； ②判断直线是否经过点； (3)设直线与的边、分别交于点、，如果内部只有5个整点（不包括边界），直接写出的取值范围． 专练六、一次函数行程问题 46．（2025·黑龙江·二模）一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线以千米/时的速度匀速驶向地，货车到达地装货耗时分钟，然后立即以低于来时的速度按原路匀速返回地．巡逻车、货车离地的距离（单位：千米）与货车出发时间（单位：小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)两地之间的距离是_____千米，_____； (2)求巡逻车离地的距离与货车出发时间之间的函数解析式； (3)请直接写出货车出发多长时间与巡逻车相遇． 47．（2025·河北沧州·模拟预测）石家庄正定古城的大型无人机表演，是现代科技与千年古城底蕴的完美交融．如图是监控屏显示一台无人机的飞行图象，分为初始起飞、水平巡航和下降着陆三个阶段．无人机（看成点）从原点起飞沿抛物线状的初始起飞路线飞行，经过抛物线最高点后下降到距地平线高的点便立刻转为以速度匀速飞行的水平巡航状态，飞行一段距离到达点处后进入下降着陆阶段，沿直线降落至地面上的着陆点处．已知初始起飞路线为抛物线的一部分，下降着陆路线为直线的一部分． (1)若点与点的水平距离为，求的值及无人机着陆点的坐标； (2)在（1）的条件下，监测到无人机水平巡航的时间为，求抛物线的解析式； (3)若点与抛物线的最高点的水平距离为． ①求点的横坐标； ②无人机从点开始水平巡航了（单位：）后到达点，且，直接写出的取值范围． 48．（2025·河北保定·一模）媛媛在一段斜坡上进行跑步训练．在训练过程中，始终有一架无人机在媛媛正上方随他一起运动，无人机速度为，距水平地面的高度总为（在直线上运动）现就缓缓训练中部分路段作出如图函数图像：已知，斜坡的坡度，斜坡的坡角为． (1)求点坐标，以及段关于的函数解析式； (2)媛媛在斜坡上的跑步速度是多少； (3)若缓缓沿方向运动，求无人机与缓缓之间距离不超过的时长．（参考数据：， 49．（2025·河北·模拟预测）某摄影团队利用两架无人机进行高空拍摄．1号、2号无人机从海拔高的A处同时出发，分别以、的速度匀速上升．上升了时，1号无人机不再继续上升，悬停在空中，等2号无人机达到同一高度时，1号无人机开始匀速降落，经过了降落到出发点．1号无人机降落过程中，2号无人机继续上升．设1号、2号无人机在飞行过程中的海拔高度分别为，，他们飞行的时间为x，y与x关系的图象如图所示． (1)点C的坐标为______； (2)求段的关于x的函数解析式； (3)在飞行的过程中，当两架无人机竖直方向上的高度差不超过时，远程遥控信号可能会相互干扰，则两架无人机信号受到干扰的时长是多少？ 50．（2025·河北·一模）在距离水平地面高度为的平台A(看作一点)上放有两架无人飞机，甲、乙两人同时操控无人飞机，使其匀速飞行，飞行轨迹可视为直线，设无人飞机与地面的竖直高度为，飞行时间为，得到了如图所示的图象，若甲、乙两人操控的无人飞机降落时的速度相同． (1)求段的h关于t的函数解析式； (2)求乙操控的无人飞机飞行的最大高度； (3)当甲操控的无人飞机飞行达到最大高度时，求乙操控的无人飞机距离地面的竖直高度． 51．（2025·河北保定·一模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，某数学小组对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，相应数据如下表所示，并发现交通量和时间的变化规律符合一次函数的特征，其中． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13 (1)求与的函数解析式； (2)在13时：通过计算判断与的大小关系； (3)如图，该小组希望设置“可变车道”来改善拥堵状况，根据交通量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，交通量较大的为，经查阅资料得：当时，是严重拥堵，需使可变车道行车方向与交通量较大的方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，通过计算判断在严重拥堵时如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵． 52．（2025·河北沧州·模拟预测）“低碳环保，绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人选择自行车作为出行工具． 小明和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再加速骑行到达图书馆，小明始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（单位：米）与时间x（单位：分钟）的关系如图． (1) ， ； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)若小明的速度是120米/分，求爸爸自第二次出发开始计时至到达图书馆前，与小明相距100米时的骑行时间； (4)若小明的行驶速度是v米/分，且在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地），请直接写出v的取值范围． 专练七、一次函数的应用 53．（2025·河北邯郸·二模）某车间接到一批总量为800个零件的加工任务，计划安排20名工人一天完成，零件分为大、中、小三种型号，其中每名工人每天可以加工30个大型零件，或40个中型零件或50个小型零件，已知每名工人只能加工同一种型号的零件，在整个过程中，每个零件的平均成本如条形统计图所示． 设加工大型零件的工人为名，加工中型零件的工人为名， (1)求与的函数关系式； (2)若加工这批零件的总成本为9050元，求加工小型零件的工人人数． 54．（2025·河北邯郸·二模）某公司生产甲、乙两种产品，每件甲种产品的成本为15元，每件乙种产品的成本包括材料成本和制造成本，其中材料成本固定不变，制造成本与生产产品的数量成反比；现计划生产甲、乙两种产品共200件，其中生产乙产品件，乙产品每件成本为元，在生产过程中，可以得到如下数据： （件） 20 40 （元） 20 15 (1)求与之间的函数关系式； (2)若生产甲产品的总成本不少于生产乙产品的总成本，求生产这200件产品的最小成本． 55．（2025·河北·模拟预测）目前，世界上有一少部分国家采用华氏温度预报天气，而我国和世界上绝大部分国家一样，采用的是摄氏温度预报天气．小聪计划在暑假期间去一个用华氏温度预报天气的国家旅游，了解那个国家的风土人情．因此，想了解两种温度之间的关系，于是查阅资料，找到了如下表的一组对应数据： 摄氏温度值x（） 0 5 10 华氏温度值y（F） 5 14 23 32 41 50 (1)你能找到两种温度之间的对应关系吗？如果能，请求出这种关系，并验证（用含x的式子表示y）； (2)小聪所在地的七月的平均气温是，请直接写出对应的华氏温度； (3)小聪了解到，他想去的国家在暑假期间的天气一般在华氏温度的之间，那它对应的摄氏温度是多少？你给小聪的出行提出什么建议？ 56．（2025·河北唐山·二模）如图是8个台阶的示意图（各拐角均为），每个台阶宽、高分别为2和1．为第一个台阶面，为第二个台阶面……以此类推，为第八个台阶面，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求直线的解析式，并判断点是否在直线上； (2)点，，，，，________（填“在”或“不在”）直线上，点，，，，，，，在直线________上（填直线解析式）； (3)嘉琪同学拿着激光笔照射台阶，射出的光线都可以用直线表示，若使光线刚好照到所有台阶（包含点M，N），求m的取值范围； 57．（2025·河北邢台·三模）某商场为推广新品，对商品采取分段折扣促销策略，以下是相关信息： 【基础应用】 若某商品原价为400元，折扣后价格为320元，则该商品应打几折？ 【函数建模】 设商品原价为元，折扣后价格为元，经统计发现： 当时，与满足的关系为． 当时，与成一次函数关系，且当时，，当时，． （1）求当时，与的函数表达式； （2）若小丽在该商场购买了一件商品，共花费240元，求该商品的原价． 【方案决策】 为进一步刺激消费，商场推出两种新方案： 方案一：全店商品统一打折． 方案二：所购商品按原价每满300元减元（，不满300元部分不优惠）． 若某商品原价为600元，分别按方案一和方案二的优惠后价格相同，直接写出与的关系． 58．（2025·河北邯郸·二模）一文具店购进甲、乙两种品牌的书包共80个，其进价与售价情况如下表所示： 甲品牌 乙品牌 进价（元/件） 60 56 售价（元/件） 80 72 设购进甲品牌书包个，销售完这80个书包所获得的总利润是元． (1)求与的函数关系式； (2)该文具店是否会获得利润1406元？说明理由； (3)若该文具店购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的一半，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 59．（2025·河北·一模）如图1，光滑桌面的长为，两端竖直放置挡板和，小球P（看作一点）从挡板出发，匀速向挡板运动，撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，过程中小球和挡板的距离与时间的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计） (1)图中______，______，小球的速度为______． (2)求图2中直线的函数解析式． (3)若小球从挡板向挡板运动的过程中，同时，挡板以的速度匀速向挡板运动，运动过程中（小球与挡板撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中点处时，运动时间为，请直接写出t的值． 60．（2025·河北石家庄·一模）某物流公司推行环保运输政策，通过分段计价引导客户集约化运输，并制定如下计价规则． 计价规则 货物质量不超过时，单价为6元； 货物质量超过但不超过时，超过部分单价为5元； 货物质量超出时，超出的部分单价为4元，并一次性额外收取30元的碳排放附加费． 设货物质量为，运费为y（元）． (1)若货物A质量为，货物B质量为，分别计算两个货物的运费； (2)当时，求y与x的函数解析式； (3)若某货物的运费为170元，求该货物质量为多少？ 61．（2025·河北唐山·二模）情境 如图，在跷跷板（自重忽略不计）的左端有一个固定质量为千克的靠背，质量为千克的小孩紧贴靠背而坐，选定木板中点偏右的位置作为跷跷板的支点，支点与靠背的距离为米，选定支点右侧米处为零刻度线．质量为千克的大人坐在零刻度线的右侧，大人可以通过调整自己的位置使跷跷板两端离地保持平衡． 设大人与零刻度线的距离为米，根据物理学的杠杆原理可得：． 已知，，零刻度线与末刻度线的距离定为米． 操作 （1）①当跷跷板左端不坐小孩，且大人在零刻度线时，跷跷板两端离地平衡，则与的关系式为：______； ②当跷跷板左端坐上质量为千克的小孩，大人从零刻度线移动至末刻度线时，跷跷板两端离地平衡，则与的关系式为：______； （2）由（1）可得：______，______； 探究 （3）根据“操作”的结果， ①要使跷跷板两端离地保持平衡，写出关于的函数关系式；（不必写的取值范围） ②从零刻度线开始，跷跷板左端的质量每增加千克，大人坐在木板上移动一个刻度能使跷跷板两端离地保持平衡，直接写出相邻刻度线之间的距离． 专练八、一次函数背景下的临界点问题 62．（2025·河北·一模）如图，8个边长为1的小正方形按照图中方式放置在平面直角坐标系中，直线经过小正方形的顶点P和Q，则直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 63．（2025·河北唐山·二模）如图，直线交轴、轴于两点，直线交轴、轴于两点，点是内部（不包括边界）的一点，则整数可能是（    ） A．3 B． C．2 D．0 64．（2025·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点关于直线的对称点为点．若点落在内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 65．（2025·河北唐山·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点和，若直线与线段有交点，则的取值范围是 ． 66．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，将一平面镜放置在平面直角坐标系中，其中点．点P，Q的坐标分别为，，从点处发出一道光线． (1)若光线恰好经过平面镜的中点B， ①求光线所在直线的解析式； ②判断点M是否可以落在线段上，说明理由； (2)若从点处发射光线经过点M后，恰好能照射到平面镜上，直接写出符合条件的m的整数值． 67．（2025·河北唐山·二模）如图，已知直线与轴分别交于点，正比例函数的图象与直线交于点． (1)求的值，并求点的坐标； (2)若点为正半轴上的一点，，求点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，若点在轴的正半轴上．约定：将（2）中内部（不含边界）横、纵坐标都是整数的点称为“要点”．若曲线使得这些“要点”分布在它的两侧，且个数的比值为，直接写出符合条件的的整数值． 68．（2025·河北沧州·二模）如图，在平面直角坐标系中有，两点，线段的延长线交x轴于点，直线． (1)求线段所在直线的解析式及m的值； (2)若直线l不经过第一象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴于点，当直线l与线段相交时，直接写出n的取值范围． 69．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，轴上有一点，，过点作轴，设点的纵坐标为，将点先向右平移个单位长度再向上平移个单位长度得到点． (1)在图中画出直线，并求直线的解析式； (2)若直线与线段有交点，求的取值范围； (3)若直线与轴，直线围成的封闭图形（不包括边界）有个整点（横、纵坐标均为整数的点），直接写出的取值范围． 70．（2025·河北沧州·模拟预测）小明利用平面镜成像原理设计了一个游戏，如图，在 轴上放置一平面镜，从点处 向平面镜发射一束光（看成线），经反射后沿直线传播． (1)点在平面镜内的虚像的坐标为 ； 满足的数量关系为 ． (2)当反射光线经过点时，求直线 的解析式（不用写自变量的取值范围）； (3)在 轴上从左到右有两点，且 ，从点向上作 轴，且． 若使 沿 轴左右平移，且保证中的反射光线能照射到边（包括端点）上，求点 的横坐标的最大值与最小值的差； (4)已知点（为正整数），设平面镜的长度足够长，若反射光线经过点，直接写出满足条件的整数的个数． 试卷第2页，共103页 31 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一次函数 考点一、平面直角坐标系 1．（2024·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【详解】解：设，，， ∵矩形， ∴，， ∴，，， ∵，而， ∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B； 故选：B． 2．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移， 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况： ①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立； ②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为， 故选：D． 考点二、一次函数图象 3．（2024·河北·中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设该扇面所在圆的半径为， ， ∴， ∵该折扇张开的角度为时，扇面面积为， ∴， ∴， ∴是的正比例函数， ∵， ∴它的图像是过原点的一条射线． 故选：C． 考点三、动点问题的函数图象 4．（2023·河北·中考真题）如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发， 设圆的半径为R， ∴两个机器人最初的距离是， ∵两个人机器人速度相同， ∴分别同时到达点A，C， ∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C； 当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变， 当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C， 故选：D． 考点四、一次函数图象平移 5．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设直线的解析式为，代入 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵， A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意， B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，， ∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意， D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形内部，不符合题意， 故选：A． 考点五、一次函数的实际应用问题 6．（2021·河北·中考真题）下图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点）始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点）一直保持在1号机的正下方，2号机从原点处沿仰角爬升，到高的处便立刻转为水平飞行，再过到达处开始沿直线降落，要求后到达处． （1）求的关于的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度； （2）求的关于的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标； （3）通过计算说明两机距离不超过的时长是多少． 【注：（1）及（2）中不必写的取值范围】 【答案】（1）， （km/min）（2），（3）min 【详解】解：（1）设线段OA所在直线的函数解析式为: ∵2号机从原点处沿仰角爬升 ∴ 又∵1号机飞到A点正上方的时候，飞行时间（min） ∴2号机的飞行速度为：（km/min） （2） 设线段BC所在直线的函数表达式为： ∵2号机水平飞行时间为1min,同时1号机的水平飞行为1min, 点B的横坐标为：；点B的纵坐标为：4，即, 将,代入中，得： 解得： ∴ 令 ,解得： ∴2号机的着陆点坐标为 （3）当点Ｑ在时，要保证 ，则：； 当点Q在上时，,此时，满足题意,时长为（min）； 当点Q在上时，令 ，解得：，此时（min）， ∴当时，时长为：（min） 考点六、一次函数的纯数学综合问题 7．（2023·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式． 例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．    (1)设直线经过上例中的点，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式； (2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次． ①用含m的式子分别表示； ②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象； (3)在（1）和（2）中的直线上分别有一个动点，横坐标依次为，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式． 【答案】(1)的解析式为；的解析式为； (2)①；②的解析式为，图象见解析； (3) 【详解】（1）设的解析式为，把、代入，得 ，解得：， ∴的解析式为； 将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式为； （2）①∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次， ∴点P按照乙方式移动了次， ∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为； ∴点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标为，纵坐标为， ∴； ②由于， ∴直线的解析式为； 函数图象如图所示：    （3）∵点的横坐标依次为，且分别在直线上， ∴， 设直线的解析式为， 把A、B两点坐标代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵A，B，C三点始终在一条直线上， ∴， 整理得：； 即a，b，c之间的关系式为：． 8．（2022·河北·中考真题）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为，． (1)求AB所在直线的解析式； (2)某同学设计了一个动画：在函数中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中．当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当时，只发出射线而无光点弹出． ①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系； ②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光，求此时整数m的个数． 【答案】(1) (2)①，理由见解析②5 【详解】（1）解：设直线AB的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴AB所在直线的解析式为； （2）解： ，理由如下： 若有光点P弹出，则c＝2， ∴点C（2，0）， 把点C（2，0）代入得： ； ∴若有光点P弹出，m，n满足的数量关系为； ②由①得：， ∴， ∵点，，AB所在直线的解析式为， ∴线段AB上的其它整点为， ∵ 有光点P弹出，并击中线段AB上的整点， ∴直线CD过整数点， ∴当击中线段AB上的整点（-8，19）时，，即（不合题意，舍去）， 当击中线段AB上的整点（-7，18）时，，即， 当击中线段AB上的整点（-6，17）时，17=（-6-2）m，即（不合题意，舍去）， 当击中线段AB上的整点（-5，16）时，16=（-5-2）m，即（不合题意，舍去）， 当击中线段AB上的整点（-4，15）时，15=（-4-2）m，即（不合题意，舍去）， 当击中线段AB上的整点（-3，14）时，14=（-3-2）m，即（不合题意，舍去）， 当击中线段AB上的整点（-2，13）时，13=（-2-2）m，即（不合题意，舍去）， 当击中线段AB上的整点（-1，12）时，12=（-1-2）m，即m=-4， 当击中线段AB上的整点（0，11）时，11=（0-2）m，即（不合题意，舍去）， 当击中线段AB上的整点（1，10）时，10=（1-2）m，即m=-10， 当击中线段AB上的整点（2，9）时，9=（2-2）m，不存在， 当击中线段AB上的整点（3，8）时，8=（3-2）m，即m=8， 当击中线段AB上的整点（4，7）时，7=（4-2）m，即（不合题意，舍去）， 当击中线段AB上的整点（5，6）时，6=（5-2）m，即m=2， 当击中线段AB上的整点（6，5）时，5=（6-2）m，即（不合题意，舍去）， 综上所述，此时整数m的个数为5个． 专练一、平面直角坐标系的应用 9．（2025·河北·模拟预测）已知平面直角坐标系的原点O是矩形的对角线的中点，如果点D的坐标是，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】解：根据矩形的中心对称性质，可得点B与点D关于原点对称， 根据原点对称的特点是横坐标变成相反数，纵坐标也变成相反数，点D的坐标是，则点B的坐标是． 故选：B． 10．（2025·河北·一模）长征是中国共产党和中国革命事业从挫折走向胜利的伟大转折点．如图，这是红一方面军的长征路线图，若表示吴起镇会师的点的坐标为，表示湘江战役的点的坐标为，则表示会宁会师的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 表示会宁会师的点的坐标为； 故选：C 11．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，若点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C．1 D．5 【答案】D 【详解】解：由作法得平分， 即点P在第一象限的角平分线上， 所以， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故选：D． 12．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走，到达点，再向正北方向走到达点，再向正西方向走到达点，再向正南方向走，到达点，再向正东方向走到达点，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，可得点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 根据题意可得，再向北走到达点， ∴点的坐标为 ∴当机器人走到点时，点的坐标是． 故选：A． 13．（2025九年级下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，点A位于第一象限内，，并且点A到x轴的距离为6，点B对应的坐标为．若为钝角三角形，则a的取值范围是（   ） A． B． C．且，或 D．且，或 【答案】D 【详解】解：如图1，当垂直于x轴时，为直角，此时，，即． 当时，为钝角，是钝角三角形， 当时，为钝角，也是钝角三角形． 当点B和点O重合时，围不成三角形，所以． 如图2，当为直角时，过点A作x轴的垂线，垂足为H， 已知，点到轴的距离为，则， 则， ∴， ∴， 当时，为钝角，为钝角三角形． 综上所述，当为钝角三角形时，且或， 故选：D． 14．（2025·河北唐山·二模）在平面直角坐标系中，有一点．P是第一象限内任意一点，其坐标为，连接，，．若，，我们把称为点P的“角坐标”．例如，点P的坐标为，则点P的“角坐标”为． 结论Ⅰ：若点P的“角坐标”为，无论m为何值，一定有； 结论Ⅱ：若点P到y轴的距离为9，则的最小值为150． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】A 【详解】解：结论Ⅰ：若点P的“角坐标”为， 则点P在上，满足， 即；无论m为何值，一定有；故Ⅰ对； 结论Ⅱ：若点P到y轴的距离为9，则点在这条直线上并且在第一象限内，以为圆心，为半径画圆， 要使得取到最小值，则需要使得取到最大值， 由图可知，当圆与的直线交于点时，随着点再继续向上移动，逐渐减小， 当点再继续向下逐渐靠近轴，增大的速度，大于减小的速度，逐渐接近， 故当圆与的直线交于点时，取到最小值， ，即， ，故， ， 取到最小值为，故Ⅱ对， 故选：A． 15．（23-24七年级下·北京丰台·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点A第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…．依此规律跳动下去，点的坐标（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设第次跳动至点， 观察，发现：，，，，，，，，，，…， ∴，，，（n为自然数）． ∵， ∴，即， 故选：B． 16．（2025·河北沧州·模拟预测）如图所示，，，作折线关于点的中心对称图形，再作出新的折线关于与x轴的下一个交点的中心对称图形……以此类推，得到一个大的折线，现有一动点P从原点O出发，沿着折线以每秒1个单位的速度移动，设运动时间为t．当时，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得： ， ， 点从运动到的路程 ， 把点从运动到作为一个循环， ， 把点向右平移个单位，可得时点的坐标， 与关于点中心对称， ， ，， 当时，点的坐标为， 故选：． 17．（2025·河北保定·一模）在平面直角坐标系中，嘉琪做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…．依此类推，第步的走法是：当能被3整除时，则向上走1个单位；当被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第50步时，棋子所处位置的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：根据走法，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位， ， 走完第50步时，棋子所处位置的横坐标是， 走完第50步时，棋子所处位置的坐标是， 故答案为：． 18．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则点到轴的距离是 ． 【答案】 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴点， ∴点到轴的距离是， 故答案为：． 19．（2025·河北邯郸·二模）如图．已知点，为平面直角坐标系内两点，点为轴上一点，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)当的周长最小时，求点的坐标； (3)点、为坐标内两点，在（）的条件下，若线段始终在内部（含边界），求的取值范围． 【答案】(1)直线的函数解析式为；(2)；(3)． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 将点，代入， 得， 解得， ∴直线的函数解析式为； （2）解：当的周长最小时，又为定值， ∴最小即可， 如解图，作点关于轴的对称点，则点坐标为，此时的最小值，即为的长， 设直线的函数解析式为， 将点，代入， 得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 令，则， ∴； （3）解：∵线段始终在内部（含边界），且点在点上方， ∴如解图，点在线段上方，点在线段下方，（包含线段上） 结合图象可知，当时， ∴， ∴的取值范围是． 专练二、动点问题的函数图象 20．（2025·河北唐山·二模）如图，用四根木条制作一个平行四边形框架，双手将它的两个对角慢慢向两边拉动，直至变为矩形框架停止，在这个变化过程中，设平行四边形的面积为y，高为x，则y与x之间的函数图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵平行四边形的面积底高，底是一定的为常数， ∴y与x之间的函数是成正比例关系，且随着x增大而增大， 故选：B． 21．（2025·河北·一模）如图，在矩形中，点从点出发，沿着折线以每秒个单位长度的速度匀速运动，设的面积为，点的运动时间为，则在点的运动过程中，关于的函数图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，当点位于边上时，的面积随着点的运动匀速增加； 当点位于边上时，的高保持不变， ∴的值保持不变； 当点位于上时，的面积随着点的运动匀速减小， 故选：B． 22．（2025·河北唐山·二模）如图1，点P为等边三角形的边上一点（不与点C重合），过点P作于点Q，设，，y与x的函数关系图象如图2所示，下列结论正确的是（    ） A． B．等边三角形的边长为3 C．当时，的长最小 D．y与x的函数关系为： 【答案】B 【详解】解：观察图象得：当时，，此时点P与点A重合， ∵，三角形是等边三角形， ∴此时点Q是的中点， ∴，， ∴此时， ∴此时， 解得：（负值舍去），故A选项错误； ∴等边三角形的边长为，故B选项正确； 在中，，， ∴， 在中，， ∴当时，取得最小值，的长最小，故C选项错误； ∴，故D选项错误； 故选：B 23．（2025·河北邢台·二模）沧州市某天的气温随时间t的变化情况如图所示，设表示到，气温值的极差，则与t的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵极差是该段时间内的最大值与最小值的差． ∴当t从0时到5时，极差逐渐增大； 当t从5时到10时，极差不变； 当t从10时到14时，极差逐渐增大； 当 t从14时到24时，极差不变， 所以的变化规律是先变大，然后一段时间不变，随后又变大，最后不发生变化， 反映到函数图象上是先上升，然后是一段平行于x轴的线段，再上升，最后是一段平行于x轴的线段． 故选：A． 24．（2025·河北邯郸·一模）如图1，是的半径，点是的中点，点在上从点开始沿逆时针方向运动一周回到点，运动停止，设运动过程中的长为，的长为，图2是随变化的关系图象，则的值为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：结合题图可知，当点与点重合时，的长 ，由图象知此时， ∵点是的中点， ∴，即圆的半径， 当的长时，设， 将，代入可得： 解得：，即此时， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ∵， ，则， 在中，根据勾股定理， 已知，，则， 由图象可知的最大值为， ∴， 故选：C． 25．（2025·河北·模拟预测）在中，，点是的中点．动点从三角形某点出发，沿三角形的边按每秒2个单位长度逆时针运动，设运动时间为，线段长度为，则与的函数图象如图所示．已知点的坐标是，点的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，过点D作交于点，过点D作交于点，连接 ∵在中，，点是的中点 ∴ 由图象得，动点从点A出发，沿三角形的边按每秒2个单位长度逆时针运动， ∵点的坐标是， ∴当时，线段长度 ∴此时点F和点重合 ∴ ∴ 由图象得，点P表示的是点F和点D重合时，点N表示的是当点F和点重合时 ∵，， ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∴运动时间 ∴点的坐标是． 故选：B． 26．（2025·河北保定·一模）如图，在中，，，点在上，，点为上一动点．连接，．设，，图是点从点运动到点的过程中与之间的函数图象，为最低点．甲、乙、丙三名同学分别对点，，进行了如下研究： 甲：点的纵坐标为； 乙：点的纵坐标为； 丙：点的纵坐标为． 则下列判断正确的为（    ） A．甲错，乙、丙都对 B．甲、丙都错，乙对 C．甲、乙、丙都对 D．甲、乙、丙都错 【答案】A 【详解】解：当点在点位置时， ，， ， 点的纵坐标为， 故甲错； 当点在点位置时，如下图所示， ， 在中，，， ， ， 点的纵坐标为， 故乙对； 如下图所示， 作点关于的对称点，连接，， 则，， ， 点的纵坐标为， 故丙对． 综上所述，甲错，乙、丙对， 故选：A． 27．（2025·河北保定·二模）如图1，四边形为菱形，动点，同时从点出发，点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动；点沿线段向终点运动，当点运动至终点时，另一点也恰好到达终点．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，图2为关于的函数关系图象．下面四个结论中：①点的运动速度为每秒3个单位长度；②菱形的边长为6；③当时，；④曲线段的函数解析式为，结论正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①④ 【答案】A 【详解】解：∵动点，同时从点出发，同时到达点D， ∴点Q的速度是点P速度的3倍， ∵点以每秒1个单位长度的速度运动， ∴点的运动速度为每秒3个单位长度，故①正确； 由图象可知，2秒后点Q到达点B， ∴，即菱形的边长为6，故②正确； 作于点H，由图象可知，点Q到达点B时，即时，的面积为5，此时， ∴， ∴， ∴， 作于点T，则， ∴， ∴， 当时， ∴ 解得， ∴ 故③正确； 当点Q运动到点D时，， 当点Q运动到的中点时，作交的延长线于E，此时，，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 当在上运动时， ∵， ∴ ∴ 则， ∴ 即曲线段的函数解析式为，故④正确． 故选A． 专练三、一次函数的图象和性质 28．（2025·河北邯郸·三模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)_____，点的坐标为_____． (2)求出直线的函数解析式． (3)若点是线段上一动点，点从点开始以每秒个单位长度的速度向点运动，过点作轴的垂线，分别与直线，交于点，．设的长为，点的运动时间为，求出与之间的函数解析式．（写出自变量的取值范围） 【答案】(1)1；(2)(3) 【详解】（1）解：把点代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴直线的函数解析式为， 把代入，得，即， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为，把点，代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为； （3）解：把代入，得， 解得， ∴， ， 由题可知点的坐标为， 将分别代入直线，的解析式，得，， ， ． 29．（2025·河北石家庄·二模）如图，直线为常数，与轴交于点，直线与轴交于点，两直线交于点． (1)若点坐标为，求的值和点坐标； (2)规定：横、纵坐标均为整数的点为整点，当为整数时，求为整点时的坐标； (3)设在直线上，且落在内部（不含边界）整点的个数为，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3)或 【详解】（1）解：把点坐标代入，得， ∴，， 联立， 解得：， ∴点C的坐标为； （2）解：联立， 解得：， ∴， ∵为整点， ∴为整数，为整数， 又∵，为整数， ∴， ∴点C的坐标为； （3）解：把代入得：， 把代入得：， ∵， ∴直线与直线和的两个交点间距离为，且， 当直线与直线和的两个交点中有一个点是整点时； 当直线与直线和的两个交点中都不是整点时； 综上分析可知：或． 30．（2025·河北·模拟预测）如图，直线经过点，线段的两个端点坐标分别为，． (1)求a与b之间的关系式； (2)当直线恰好经过线段三等分点时，求a的值； (3)对于直线，无论x取何值，始终有，求n的取值范围． 【答案】(1)；(2)或；(3)且． 【详解】（1）解：将点代入中得， 即a与b之间的关系式为； （2）解：∵，． ∴， ∴三等分点为和 ， 当经过时，解得 当经过时，解得 或； （3）解：，无论x取何值，始终有 ，且在上方， ， ， 解得 n的取值范围是且 31．（2025·河北邯郸·一模）如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点． (1)求的值及的解析式； (2)求的值； (3)一次函数的图象为，且不能围成三角形，直接写出的值． 【答案】(1)，直线的解析式为(2)7(3)或或 【详解】（1）解：将点代入一次函数得：， 解得； ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为． （2）解：对于一次函数， 当时，，解得，即， 当时，，即， 由（1）已得：， ∴的边上的高为4，的边上的高为6， ∴． （3）解：∵一次函数的图象为，且不能围成三角形， ∴①当经过点时，则，解得； ②当时，则； ③当时，则； 综上，的值为或或． 32．（2025·河北石家庄·三模）如图，直线分别与x轴、y轴交于点，与直线相交于点C，点P是射线上一点，作于点D，点E在上点C的左侧，．设点P的横坐标为t． (1)求的解析式及点C的坐标； (2)连接，当时，求的面积； (3)画直线，若表示直线的函数值随x的增大而减小，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)，；(2)；(3)． 【详解】（1）解：由题意，得 ， 解得， 的解析式为：． 把代入， 得，解得． ∴． （2）解：当时， ． 的面积为． （3）解：． 理由：当点E在点A的正上方时，点E的横坐标为． 此时， ， 即， ． 的取值范围是． 33．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于B，C两点，直线与直线相交于点A，P为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴，垂足为Q．设P点的横坐标为t，与重叠部分的面积为S．S关于t的函数图象如图2所示，小明在做题的过程中用墨弄污了一部分，请据此回答下面的问题： (1)利用图中残留的信息，推测的面积为_____； (2)求直线的解析式； (3)若． ①判断点P在点A的左侧还是右侧； ②求此时t的值． 【答案】(1)(2)(3)①点P在点A的右侧；② 【详解】（1）解：由图可得当时，， 故答案为：； （2）解：由图可得当时，， ∴，即点B的坐标为； 又∵，即， 解得， 把代入得到， ∴点A的坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （3）解：①过A点作轴于点D，则， ∴， 当时，， 由图象可得S随x的增大而减小， ∴点P在点A的右侧； ②当时， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得（负值舍去）． 34．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点C． (1)求m的值及直线的解析式： (2)求的面积； (3)已知经过某一定点，且与x轴交于点E，当时，直接写出该定点与点E的距离． 【答案】(1)，(2)8(3)或 【详解】（1）解：把代入中，解得， ∴， 将，代入中， 得 解得， ∴直线的解析式为； （2）令，解得， ∴点的坐标为， ∴； （3） ∴当时，， ∴该定点为， ∵ ∴ 当时，该定点与点E的距离为： 当时，该定点与点E的距离为： 综上所述，该定点与点E的距离为或 35．（2025·河北邢台·三模）嘉嘉在几何画板软件上做数学实验：如图，在平面直角坐标系中，取，构造直线． (1)求直线的解析式． (2)嘉嘉将直线在轴下方的部分沿轴翻折，得到射线，取，线段以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，运动时间为秒． ①点运动到点的初始位置时，用时______秒． ②求点运动到线段上时的坐标； ③直接写出仅有一个点在内部（含角的两边）时的取值范围． 【答案】(1) (2)①2；②；③或 【详解】（1）解：设直线的解析式为． ， ， 解得， 直线的解析式为． （2）解：①， ， （秒）． 故答案为：2； ②， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， 直线的解析式为， 联立直线和直线的解析式，得， 解得， 点运动到线段上时的坐标为． ③或． 由②得，点运动到线段上时的坐标为， ∴秒后点运动到上， 由①得点运动到点的初始位置时，用时2秒， ∴，即秒后点运动到上， ∵直线在轴下方的部分沿轴翻折，得到射线，， ∴当时，， ∴点在直线上，则点在上， 又点在上， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， 得直线， 故联立直线和直线的解析式，得， 解得， 直线与的交点为， ， 到秒，都在内部，秒后点运动到上，再过2秒，即秒后点运动到上， 或． 36．（2025·河北唐山·二模）列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同的角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系． 1 2 1 0 2 画出的图象如下． (1)求a和b的值． (2)______，并在如图所示的平面直角坐标系中画出的图象． (3)设直线与直线和分别交于A，B两点，当点A，B关于轴对称时，直接写出的值． 【答案】(1)(2)，图见详解(3) 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，即， ，解得： （2）解：当时，， ∴， 画图如下： （3）解：令，则，， 当点A，B关于轴对称时，， 解得：． 37．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点向上平移4个单位长度到点，点向左平移2个单位长度到点，直线的图象与直线交于点． (1)画出直线并求直线的解析式； (2)嘉嘉说：有唯一值不可取； 淇淇说：无论为何值（唯一不可取的值除外），直线总经过一个定点； 请选择其中一人的说法进行说理． (3)当直线与直线的交点到轴的距离恰为3时，求的值． 【答案】(1)见解析，直线的解析式为(2)见解析(3)或 【详解】（1）解：由题意得， 设直线的解析式为 ，解得 直线的解析式为； （2）解：嘉嘉：直线与直线交于点 直线与直线不平行， 有唯一值不可取 淇淇：直线 无论为可取的任意值，时 直线始终过； （3）解：由题意得：点在直线上且纵坐标为3或， 当， 过， ，解得， 当， 过， ，解得， 或． 专练四、一次函数与几何问题的综合 38．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，将点B绕着点A顺时针旋转得到点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：直线， 当时，； 当时，，解得， ∴，． 过点作x轴的垂线，垂足为点H， 则， ∴， ∵将点B绕着点A顺时针旋转得到点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 故选：B． 39．（2025·河北邯郸·二模）如图，点M的坐标为，过点M作垂直于y轴的直线，分别交直线，，于点A，B，C．若一个等腰直角三角形的周长为c，设它的直角边长为x，则点在（   ） A．线段上 B．线段上 C．线段BC在此处键入公式。上 D．点C右侧 【答案】B 【详解】解：由题意得，． ， ∴点P在线段上． 故选：B． 40．（2025·河北唐山·三模）如图，直线对应的函数表达式为，在直线上，顺次取点，，，，，，构成的形如“”的图形的阴影部分面积分别为，，；则 ．（用含的式子表示，要化简）． 【答案】 【详解】解：∵； ； ； ； ； ∴ ， 故答案为：． 41．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C．已知直线． (1)点C的坐标为___________； (2)通过计算说明一次函数的图象一定过点P； (3)直线、直线、直线不能组成三角形时，求k的值； (4)当直线与边有交点，且将四边形分成的两部分面积比为时，直接写出k的值． 【答案】(1)(2)见解析(3)k的值为0，或(4)或 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，过点A作轴于点C． ∴点C的坐标为； （2）解：当时，， ∴一次函数的图象一定过点P； （3）解：当时，直线，符合题意； 当直线过点C时，，解得，符合题意； 设直线的函数解析式为． 将，代入解析式，得， 解得， 当直线与直线平行时，，符合题意． 综上，k的值为0，或； （4）解：四边形的面积为，； 如图1，当直线过点C时，，当时，， ∴， ， ∴符合题意； 如图2，当直线与边，交于M，N时， 令，得， ∴． 令，得， ∴． 或， 解得，或（舍）， 综上所述，k的值为或． 专练五、一次函数的平移问题 42．（2025·河北沧州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线，将的图象记为G，平移l使得其与G只有一个交点，则平移的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，当时， 设平移后的直线解析式为， 当直线恰好经过时，则， ∴， 当直线与只有一个交点时，则方程有两个相等的实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； 设直线，，分别与y轴交于A、B、C， ∴， ∴； 设直线与x轴交于F，则， ∴， 又∵， ∴， 如图所示，过点A作分别交直线，于D、E 由平移的性质可， ∴， ∴， ∵， ∴平移l使得其与G只有一个交点，则平移的最短路程为， 故选：A． 43．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A． B． C． D．10 【答案】B 【详解】解：由图象可知，直线经过时移动距离为3，经过时移动距离为7，经过时移动距离为8， ， 如图，当直线经过点时，交于点，作垂直于于点， 由图2可知， ∵轴，直线 ∴直线与夹角为，， ， ∴面积为． 故选：B． 44．（2025·河北保定·二模）如图，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，一次函数的图象经过点． (1)求这个一次函数的表达式． (2)将向左平移，当边的中点落在这个一次函数的图象上时，求平移的距离． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：点在的图象上， 一次函数的表达式； （2）解：，， 的中点的坐标为，即， ∴平移后点D的对应点的纵坐标为， 在，当时，，解得， 平移的距离为 45．（2025·河北张家口·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，有一动直线：，点先向右平移4个单位长度再向下平移8个单位长度得到点． (1)求直线的解析式； (2)①的面积为______； ②判断直线是否经过点； (3)设直线与的边、分别交于点、，如果内部只有5个整点（不包括边界），直接写出的取值范围． 【答案】(1)(2)①20；②经过(3) 【详解】（1）解：点先向右平移4个单位长度再向下平移8个单位长度得到点， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：如图，记直线与轴的交点为， 当时，则， 解得：，即， ∴的面积为； 故答案为：20； ②∵直线：， 当时，， ∴直线：过． （3）解：如图， 当直线：过时，此时内部4个整点， ∴， 解得：， 如图，当直线：过时，此时内部5个整点， ∴， 解得：， 综上：内部只有5个整点（不包括边界），的取值范围为：． 专练六、一次函数行程问题 46．（2025·黑龙江·二模）一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线以千米/时的速度匀速驶向地，货车到达地装货耗时分钟，然后立即以低于来时的速度按原路匀速返回地．巡逻车、货车离地的距离（单位：千米）与货车出发时间（单位：小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)两地之间的距离是_____千米，_____； (2)求巡逻车离地的距离与货车出发时间之间的函数解析式； (3)请直接写出货车出发多长时间与巡逻车相遇． 【答案】(1)60，1(2)(3)， 【详解】（1）解：千米， ∴A，B两地之间的距离是60千米， ∵货车到达B地填装货物耗时15分钟， ∴， 故答案为：60，1； （2）解：由题意得，巡逻车的速度为：， 故 则点，点， 设巡逻车对应的函数表达式为：， ∴， 解得， ∴巡逻车对应的函数表达式为：； （3）解：由题意得，点，点，点， 设所在直线的函数解析式为 故解得 所以， 货车对应的函数表达式为：， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上所述：巡逻车与货车相遇时间为小时或小时． 47．（2025·河北沧州·模拟预测）石家庄正定古城的大型无人机表演，是现代科技与千年古城底蕴的完美交融．如图是监控屏显示一台无人机的飞行图象，分为初始起飞、水平巡航和下降着陆三个阶段．无人机（看成点）从原点起飞沿抛物线状的初始起飞路线飞行，经过抛物线最高点后下降到距地平线高的点便立刻转为以速度匀速飞行的水平巡航状态，飞行一段距离到达点处后进入下降着陆阶段，沿直线降落至地面上的着陆点处．已知初始起飞路线为抛物线的一部分，下降着陆路线为直线的一部分． (1)若点与点的水平距离为，求的值及无人机着陆点的坐标； (2)在（1）的条件下，监测到无人机水平巡航的时间为，求抛物线的解析式； (3)若点与抛物线的最高点的水平距离为． ①求点的横坐标； ②无人机从点开始水平巡航了（单位：）后到达点，且，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，(2)抛物线的解析式为(3)①；② 【详解】（1）解：点距地平线高，，点与点的水平距离为， ∴， 把点代入直线得，， 解得，， ∴一次函数解析式为：， 当时，， 解得，， ∴； （2）解：水平巡航状态的速度为，水平巡航的时间为， ∴， ∴点与点的水平距离为， ∴， 把点代入抛物线得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （3）解：①抛物线， ∴顶点的横坐标为，纵坐标为， ∴解得，，则，即抛物线对称轴直线为， ∴二次函数解析式为， 当时，，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴点的横坐标为； ②∵，水平巡航状态的速度为， ∴当时，，此时点到点的水平距离为， ∴， 在中，， 解得，； 当时，，此时点到点的水平距离为， ∴， 在中，， 解得，； 综上所述，． 48．（2025·河北保定·一模）媛媛在一段斜坡上进行跑步训练．在训练过程中，始终有一架无人机在媛媛正上方随他一起运动，无人机速度为，距水平地面的高度总为（在直线上运动）现就缓缓训练中部分路段作出如图函数图像：已知，斜坡的坡度，斜坡的坡角为． (1)求点坐标，以及段关于的函数解析式； (2)媛媛在斜坡上的跑步速度是多少； (3)若缓缓沿方向运动，求无人机与缓缓之间距离不超过的时长．（参考数据：， 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ， ， ，斜坡的坡度， ∴，则， ， ∴点坐标为， 设段y关于的函数解析式为， 代入， 解得：， 段关于的函数解析式； （2）解：在，，， ， ， 在训练过程中，始终有一架无人机在媛媛正上方随他一起运动，无人机速度为， 媛媛在斜坡上跑步的时间为：， 媛媛在斜坡上的跑步速度是：． （3）解：在段上无人机与媛媛之间的距离为时，则有：， 解得：， 无人机飞行的时间为， ， ， ， 设段关于的函数解析式为：， 代入，，得：， 解得：， 段关于的函数解析式为， 在段上，无人机与媛媛之间距离为时，则有：， 解得：， 无人机飞行的时间为， 无人机与奴媛之间距离不超过的时长为：． 49．（2025·河北·模拟预测）某摄影团队利用两架无人机进行高空拍摄．1号、2号无人机从海拔高的A处同时出发，分别以、的速度匀速上升．上升了时，1号无人机不再继续上升，悬停在空中，等2号无人机达到同一高度时，1号无人机开始匀速降落，经过了降落到出发点．1号无人机降落过程中，2号无人机继续上升．设1号、2号无人机在飞行过程中的海拔高度分别为，，他们飞行的时间为x，y与x关系的图象如图所示． (1)点C的坐标为______； (2)求段的关于x的函数解析式； (3)在飞行的过程中，当两架无人机竖直方向上的高度差不超过时，远程遥控信号可能会相互干扰，则两架无人机信号受到干扰的时长是多少？ 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：， ∴， ， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意，， 点D的坐标为， 设段的关于x的函数解析式为， 将，的坐标代入， 得， 解得， 段的关于x的函数解析式为； （3）解：由题意，段的关于x的函数解析式为， 段的关于x的函数解析式为， 分以下三种情况讨论： 在，当时，即， 解得， 在，当时，即， 解得， 在，当时，即， 解得， ， 两架无人机信号受到干扰的时长是． 50．（2025·河北·一模）在距离水平地面高度为的平台A(看作一点)上放有两架无人飞机，甲、乙两人同时操控无人飞机，使其匀速飞行，飞行轨迹可视为直线，设无人飞机与地面的竖直高度为，飞行时间为，得到了如图所示的图象，若甲、乙两人操控的无人飞机降落时的速度相同． (1)求段的h关于t的函数解析式； (2)求乙操控的无人飞机飞行的最大高度； (3)当甲操控的无人飞机飞行达到最大高度时，求乙操控的无人飞机距离地面的竖直高度． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：设段的h关于t的函数解析式为， 把，代入解析式可得， 解得， 段的h关于t的函数解析式为； （2）解：把代入解析式可得， 甲无人机下落的速度为， 甲、乙两人操控的无人飞机降落时的速度相同， 乙操控的无人飞机飞行的最大高度； （3）解：， 当甲操控的无人飞机飞行达到最大高度时，乙操控的无人飞机距离地面的竖直高度为． 51．（2025·河北保定·一模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，某数学小组对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，相应数据如下表所示，并发现交通量和时间的变化规律符合一次函数的特征，其中． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13 (1)求与的函数解析式； (2)在13时：通过计算判断与的大小关系； (3)如图，该小组希望设置“可变车道”来改善拥堵状况，根据交通量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，交通量较大的为，经查阅资料得：当时，是严重拥堵，需使可变车道行车方向与交通量较大的方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，通过计算判断在严重拥堵时如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵． 【答案】(1)(2)(3)时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东 【详解】（1）解：设与的函数解析式为． 将代入， 得 解得 与的函数解析式为； （2）解：当时， ， ， 与的大小关系为； （3）解：当时，． 再结合（2）中的结果，可得当时，； 当时，． ． 当时，； 当时，， 时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东． 52．（2025·河北沧州·模拟预测）“低碳环保，绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人选择自行车作为出行工具． 小明和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再加速骑行到达图书馆，小明始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（单位：米）与时间x（单位：分钟）的关系如图． (1) ， ； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)若小明的速度是120米/分，求爸爸自第二次出发开始计时至到达图书馆前，与小明相距100米时的骑行时间； (4)若小明的行驶速度是v米/分，且在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地），请直接写出v的取值范围． 【答案】(1)10；15(2)(3)爸爸自第二次出发至到达图书馆前，骑行2.5分钟和5分钟时与小明相距100米(4) 【详解】（1）解：（分钟）， （分钟）， 故答案为：10；15． （2）解：设线段所在直线的函数解析式为， 将和代入，得： ， 解得，， 线段所在直线的函数解析式为； （3）解：∵小明的速度是120米/分， ∴线段所在直线的函数解析式为， 根据题意，得， 解得，， （分）， （分）． 答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，骑行分钟和5分钟时与小明相距100米； （4）解：当线段过点B时，小明的速度为（米/分）； 当线段过点C时，小明的速度为（米/分）． 结合图形可知，当时，小明在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地）． 专练七、一次函数的应用 53．（2025·河北邯郸·二模）某车间接到一批总量为800个零件的加工任务，计划安排20名工人一天完成，零件分为大、中、小三种型号，其中每名工人每天可以加工30个大型零件，或40个中型零件或50个小型零件，已知每名工人只能加工同一种型号的零件，在整个过程中，每个零件的平均成本如条形统计图所示． 设加工大型零件的工人为名，加工中型零件的工人为名， (1)求与的函数关系式； (2)若加工这批零件的总成本为9050元，求加工小型零件的工人人数． 【答案】(1)(2)加工小型零件的工人人数为5 【详解】（1）解：由题意得，， 即， 与的函数关系式为； （2）解：由题意得，这批零件的总成本为， 即， 解得. 加工小型零件的工人人数为 54．（2025·河北邯郸·二模）某公司生产甲、乙两种产品，每件甲种产品的成本为15元，每件乙种产品的成本包括材料成本和制造成本，其中材料成本固定不变，制造成本与生产产品的数量成反比；现计划生产甲、乙两种产品共200件，其中生产乙产品件，乙产品每件成本为元，在生产过程中，可以得到如下数据： （件） 20 40 （元） 20 15 (1)求与之间的函数关系式； (2)若生产甲产品的总成本不少于生产乙产品的总成本，求生产这200件产品的最小成本． 【答案】(1) (2)最小成本2640元 【详解】（1）解：设，由题意得， 解得， 所以； （2）解：由题意得，， 解得， 设生产这200件产品的成本为， 则 因为， 所以随的增大而减小； 所以当时，最小，最小值2640元． 55．（2025·河北·模拟预测）目前，世界上有一少部分国家采用华氏温度预报天气，而我国和世界上绝大部分国家一样，采用的是摄氏温度预报天气．小聪计划在暑假期间去一个用华氏温度预报天气的国家旅游，了解那个国家的风土人情．因此，想了解两种温度之间的关系，于是查阅资料，找到了如下表的一组对应数据： 摄氏温度值x（） 0 5 10 华氏温度值y（F） 5 14 23 32 41 50 (1)你能找到两种温度之间的对应关系吗？如果能，请求出这种关系，并验证（用含x的式子表示y）； (2)小聪所在地的七月的平均气温是，请直接写出对应的华氏温度； (3)小聪了解到，他想去的国家在暑假期间的天气一般在华氏温度的之间，那它对应的摄氏温度是多少？你给小聪的出行提出什么建议？ 【答案】(1)能，，验证见解析(2)(3)，建议小聪准备春秋季的衣服出行． 【详解】（1）解：能，两种温度之间存在着一次函数关系； ∵表中每两组数据的差之比为定值，故其存在一次函数关系， ∴设，把代入得： ， 解得， 华氏温度和摄氏温度的关系是：． 验证：当时，， 当时，， 当时，， 当时，． ∴正确． （2）当时，， 当时，， ∴小聪所在地的七月的平均气温是，对应的华氏温度为； （3）∵当时，， 解得， 当时，， 解得 即小聪要去的国家暑假期间平均气温在之间，建议小聪准备春秋季的衣服出行． 56．（2025·河北唐山·二模）如图是8个台阶的示意图（各拐角均为），每个台阶宽、高分别为2和1．为第一个台阶面，为第二个台阶面……以此类推，为第八个台阶面，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求直线的解析式，并判断点是否在直线上； (2)点，，，，，________（填“在”或“不在”）直线上，点，，，，，，，在直线________上（填直线解析式）； (3)嘉琪同学拿着激光笔照射台阶，射出的光线都可以用直线表示，若使光线刚好照到所有台阶（包含点M，N），求m的取值范围； 【答案】(1)，在 (2)在， (3) 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， 每个台阶宽、高分别为2和1， ，， 将和代入解析式得：， 解得 ， 当时，， 在直线上； （2）解：由（1）问可得， 当时，， 在直线， 同理可得均在直线上； ∵，， ∴由图可知：将直线向上平移一个单位长度可得：， 点在直线， 故答案为：在；； （3）解：把代入， ， 得， 把代入， ， 得， ． 57．（2025·河北邢台·三模）某商场为推广新品，对商品采取分段折扣促销策略，以下是相关信息： 【基础应用】 若某商品原价为400元，折扣后价格为320元，则该商品应打几折？ 【函数建模】 设商品原价为元，折扣后价格为元，经统计发现： 当时，与满足的关系为． 当时，与成一次函数关系，且当时，，当时，． （1）求当时，与的函数表达式； （2）若小丽在该商场购买了一件商品，共花费240元，求该商品的原价． 【方案决策】 为进一步刺激消费，商场推出两种新方案： 方案一：全店商品统一打折． 方案二：所购商品按原价每满300元减元（，不满300元部分不优惠）． 若某商品原价为600元，分别按方案一和方案二的优惠后价格相同，直接写出与的关系． 【答案】基础应用：该商品打8折；函数建模：（1）；（2）该商品的原价为元或350元；方案决策： 【详解】解：基础应用 ∴该商品打8折． 函数建模： （1）设当时，与的函数关系式为， 当时，，当时，， ， 解得． ． （2）当时，， 解得． 当时，， 解得． 当小丽在该商场购买了一件商品，共花费240元，则该商品的原价为元或350元． 方案决策： 按照方案一：元； 按照方案二：（）元； 若某商品原价为600元，按方案一和方案二折扣后价格相同， ． 58．（2025·河北邯郸·二模）一文具店购进甲、乙两种品牌的书包共80个，其进价与售价情况如下表所示： 甲品牌 乙品牌 进价（元/件） 60 56 售价（元/件） 80 72 设购进甲品牌书包个，销售完这80个书包所获得的总利润是元． (1)求与的函数关系式； (2)该文具店是否会获得利润1406元？说明理由； (3)若该文具店购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的一半，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)(2)该文具店不会获得利润1406元(3)当时，该文具店获得利润最大，最大利润为1384元 【详解】（1）解：， 与的函数关系式为． （2）解：该文具店不会获得利润1406元．理由如下： 当时，得， 解得． 为整数， 该文具店不会获得利润1406元． （3）解：该文具店购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的一半， ． ． 在中，随的增大而增大， 为整数， 当时，该文具店获得利润最大，最大利润为1384元． 59．（2025·河北·一模）如图1，光滑桌面的长为，两端竖直放置挡板和，小球P（看作一点）从挡板出发，匀速向挡板运动，撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，过程中小球和挡板的距离与时间的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计） (1)图中______，______，小球的速度为______． (2)求图2中直线的函数解析式． (3)若小球从挡板向挡板运动的过程中，同时，挡板以的速度匀速向挡板运动，运动过程中（小球与挡板撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中点处时，运动时间为，请直接写出t的值． 【答案】(1)24，120，10；(2)(3) 【详解】（1）解：由函数图象可知，小球到达时， ∴小球的速度为． ∵撞击挡板后反弹，以原速返回挡板， ∴． 故答案为：24，120，10； （2）解：直线的函数解析式为，把代入，得 ， 解得， ∴； （3）解：设挡板运动后的位置为，由题意，得 ， ∵小球恰好位于这两个挡板中点， ∴， 解得， ∴t的值为． 60．（2025·河北石家庄·一模）某物流公司推行环保运输政策，通过分段计价引导客户集约化运输，并制定如下计价规则． 计价规则 货物质量不超过时，单价为6元； 货物质量超过但不超过时，超过部分单价为5元； 货物质量超出时，超出的部分单价为4元，并一次性额外收取30元的碳排放附加费． 设货物质量为，运费为y（元）． (1)若货物A质量为，货物B质量为，分别计算两个货物的运费； (2)当时，求y与x的函数解析式； (3)若某货物的运费为170元，求该货物质量为多少？ 【答案】(1)货物A的运费为48元；货物B的运费为85元(2)(3)27.5千克 【详解】（1）解：由题意可得：当时，元； 当时，元； （2）解：由题意可得：当时，； （3）解：∵当时，； ∴当运费为170元时，， ∴， 解得． ∴包裹质量为27.5千克． 61．（2025·河北唐山·二模）情境 如图，在跷跷板（自重忽略不计）的左端有一个固定质量为千克的靠背，质量为千克的小孩紧贴靠背而坐，选定木板中点偏右的位置作为跷跷板的支点，支点与靠背的距离为米，选定支点右侧米处为零刻度线．质量为千克的大人坐在零刻度线的右侧，大人可以通过调整自己的位置使跷跷板两端离地保持平衡． 设大人与零刻度线的距离为米，根据物理学的杠杆原理可得：． 已知，，零刻度线与末刻度线的距离定为米． 操作 （1）①当跷跷板左端不坐小孩，且大人在零刻度线时，跷跷板两端离地平衡，则与的关系式为：______； ②当跷跷板左端坐上质量为千克的小孩，大人从零刻度线移动至末刻度线时，跷跷板两端离地平衡，则与的关系式为：______； （2）由（1）可得：______，______； 探究 （3）根据“操作”的结果， ①要使跷跷板两端离地保持平衡，写出关于的函数关系式；（不必写的取值范围） ②从零刻度线开始，跷跷板左端的质量每增加千克，大人坐在木板上移动一个刻度能使跷跷板两端离地保持平衡，直接写出相邻刻度线之间的距离． 【答案】（1）①，②；（2），；（3），米 【详解】（1）①由题意可得：，，，， ， ， 故答案为：； ②由题意可得：，，，， ， ， 故答案为：； （2）联立， 解得：， 故答案为：，； （3）①，，，， ， 整理得：； ②， 当时，；当时，； 相邻刻度线之间的距离为米． 专练八、一次函数背景下的临界点问题 62．（2025·河北·一模）如图，8个边长为1的小正方形按照图中方式放置在平面直角坐标系中，直线经过小正方形的顶点P和Q，则直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从图示来看，点P和Q的坐标分别是、， 设直线l的解析式为，将点P和Q的坐标代入直线l的解析式得：， ∴． ∴直线l的解析式为． 故选：D． 63．（2025·河北唐山·二模）如图，直线交轴、轴于两点，直线交轴、轴于两点，点是内部（不包括边界）的一点，则整数可能是（    ） A．3 B． C．2 D．0 【答案】D 【详解】解：∵点是内部（包括边上）的一点， 故点P在直线上，如图所示， 当P为直线与直线的交点时，m取最大值， 当P为直线与直线的交点时，m取最小值， 由解得，即m的最大值为2； 由解得，即m的最小值为． ∴只有0符合题意， 故选：D． 64．（2025·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点关于直线的对称点为点．若点落在内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作轴的平行线，分别交，于点，， ∵，∴直线， 点落在内，由对称的性质可知点在直线上， ， 设所在直线为， 将，两点坐标代入得， 解得， 即， 当时，，，即， 当点与点重合时， 直线， 设所在直线为， 将，两点坐标代入得， 解得， 即， 当时，，，即， 当点与点重合时，直线， ． 65．（2025·河北唐山·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点和，若直线与线段有交点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】解：当点在上时， ∴，解得， 当在代入上时，， ∵直线与线段有交点， ∴的取值范围或， 故答案为：或． 66．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，将一平面镜放置在平面直角坐标系中，其中点．点P，Q的坐标分别为，，从点处发出一道光线． (1)若光线恰好经过平面镜的中点B， ①求光线所在直线的解析式； ②判断点M是否可以落在线段上，说明理由； (2)若从点处发射光线经过点M后，恰好能照射到平面镜上，直接写出符合条件的m的整数值． 【答案】(1)①；②点M可以落在线段上，见解析(2)，0 【详解】（1）①， ∴， 设光线所在直线的解析式为为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得 ∴光线所在直线的解析式为； ②点可以落在线段上．理由如下： 将坐标代入，得， 解得， ， ∴点可以落在线段上，此时点的坐标为； （2）当光线经过点时， 设光线所在直线的解析式为为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴光线所在直线的解析式为； 当光线经过点时，设光线所在直线的解析式为为常数，且， 将坐标和分别代入，得， 解得， ∴光线所在直线的解析式为； 将代入，得, 解得， 将代入，得， 解得， ∴符合条件的的整数值为或 0 ． 67．（2025·河北唐山·二模）如图，已知直线与轴分别交于点，正比例函数的图象与直线交于点． (1)求的值，并求点的坐标； (2)若点为正半轴上的一点，，求点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，若点在轴的正半轴上．约定：将（2）中内部（不含边界）横、纵坐标都是整数的点称为“要点”．若曲线使得这些“要点”分布在它的两侧，且个数的比值为，直接写出符合条件的的整数值． 【答案】(1)，1，(2)(3) 【详解】（1）解：根据题意得：将点分代入直线和， 得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为； （2）∵点为正半轴上的一点，，高相等， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）根据图象得：要点共有6个，分别为：， 当反比例函数恰好经过点时，， 当时，， 由图得反比例函数上面有2个要点，下面有4个要点，符合题意； ∴． 68．（2025·河北沧州·二模）如图，在平面直角坐标系中有，两点，线段的延长线交x轴于点，直线． (1)求线段所在直线的解析式及m的值； (2)若直线l不经过第一象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴于点，当直线l与线段相交时，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）解：设直线的解析式为：，将，代入可得 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为：， 将代入可得：，解得； （2）解：若直线l不经过第一象限，则时，解得； （3）解：由直线整理可得， 当时， ∴直线必经过定点， 当直线经过B点时，此时直线与线段有交点， 将代入，可得， 解得， 此时函数解析式为， 将代入解析式可得，解得； 当直线经过A点时，此时直线与线段有交点， 将代入，可得， 解得， 此时函数解析式为， 将代入解析式可得，解得， ∴n的取值范围为． 69．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，轴上有一点，，过点作轴，设点的纵坐标为，将点先向右平移个单位长度再向上平移个单位长度得到点． (1)在图中画出直线，并求直线的解析式； (2)若直线与线段有交点，求的取值范围； (3)若直线与轴，直线围成的封闭图形（不包括边界）有个整点（横、纵坐标均为整数的点），直接写出的取值范围． 【答案】(1)画图见解析，直线的解析式为；(2)；(3)的取值范围是． 【详解】（1）解：∵将点先向右平移个单位长度再向上平移个单位长度得到点，， ∴， 如图， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由（）得，直线的解析式为， ∵轴， ∴的横坐标为， ∵直线与线段有交点， ∴， 解得：； （3）解：由， ∴经过定点， 如图， ∵直线围成的封闭图形（不包括边界）有个整点， ∴当时，，当时，， 联立得：， 解得：， ∴的取值范围是． 70．（2025·河北沧州·模拟预测）小明利用平面镜成像原理设计了一个游戏，如图，在 轴上放置一平面镜，从点处 向平面镜发射一束光（看成线），经反射后沿直线传播． (1)点在平面镜内的虚像的坐标为 ； 满足的数量关系为 ． (2)当反射光线经过点时，求直线 的解析式（不用写自变量的取值范围）； (3)在 轴上从左到右有两点，且 ，从点向上作 轴，且． 若使 沿 轴左右平移，且保证中的反射光线能照射到边（包括端点）上，求点 的横坐标的最大值与最小值的差； (4)已知点（为正整数），设平面镜的长度足够长，若反射光线经过点，直接写出满足条件的整数的个数． 【答案】(1)；(2)直线的解析式为(3)点的横坐标的最大值与最小值的差为 (4)满足条件的整数的值有个 【详解】（1）解：点在平面镜内的虚像，即点关于轴对称， ∴， 如图所示，连接交轴于点，直线与轴交于点，过点作轴，则， ∴，， 当时，，当时，，则， ∴， ∴， ∴， 根据反射原理得到，， ∴，且， ∴， ∴，即， 整理得，； （2）解：反射光线经过点时， ∴， 由（1）得，， ∴， 解得，， ∴， ∴直线 的解析式为； （3）解：已知， 当点过直线时，如图所示， 即时，， 解得，， ∴， ∴，； 当点过直线时，如图所示， 令，则， 解得，， ∴， ∴点的横坐标的最大值与最小值的差； （4）解：反射光线经过点， ∴，且， ∴， 整理得，， ∵为正整数，为整数， ∴能被整除， ∴， 经验证当：时，，符合题意， 时，，符合题意， ∴时符合题意， ∴满足条件的整数的值有个． 试卷第2页，共103页 1 / 89 学科网（北京）股份有限公司 $$