第二章 分式及分式方程（单元测试·提升卷）数学鲁教版五四制八年级上册

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第二章 分式及分式方程·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B B B D C C B A C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．4 13．  14．  15.3 16． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分） 【解析】】是最简分式（2分） ②不是最简分式，（4分） ③不是最简分式，（6分） 18．（6分） 【解析】原式                                     （3分） 原式 ．（6分） 19．（6分） 【解析】解：（1）去分母，得， 解得．（2分） 经检验，是分式方程的根．（3分）  方程两边同乘， 得， ， ， ，（5分） 当时，， 为分式方程的增根， 原分式方程无解．（6分） 20．（6分） 【解析】                   ，（4分） 当，时， 原式        ． （6分） 21．（8分） 【解析】根据题意得，即或．（4分） 分别去分母，得或． 解得或．（6分） 经检验，或都是分式方程的解． 故的值为或．（8分） 22．（8分） 【解析】将等式的左边相减，得：，（2分） 根据左右两边相等，可得：（4分） 解得：（6分） ． （8分） 23．（8分） 【解析】原式 ．（8分） 24．（12分） 【解析】（3分） （7分） 原式，（10分） 当或时，原式的值为整数，此时，或，或，或． 又原式有意义， ，，，． ． 故取时，该式的值为整数．（12分） 25．（12分） 【解析】设每个类摊位的占地面积为平方米， 则每个类摊位占地面积为平方米，（1分） 根据题意得：，（3分） 解得：，（4分） 经检验，是原方程的解，（5分） 所以， 答：每个类摊位占地面积为平方米，每个类摊位的占地面积为平方米；（6分） 设建摊位个，则建摊位个，（7分） 由题意得：，（9分） 解得，（10分） 建类摊位每平方米的费用为元，建类摊位每平方米的费用为元， 要想使建造这个摊位有最大费用， 所以要多建造类摊位，即取最大值时，费用最大， 此时最大费用为：元，（11分） 答：建造这个摊位的最大费用是元． （12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第二章 分式及分式方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.在下列各式中，是分式的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.若代数式有意义，则的取值范围是． A. B. 且 C. 且 D. 且 3.如果分式的值为，那么的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 4.下列各式中，约分后得的是    ． A. B. C. D. 5.下列说法错误的是(    ) A. 与的最简公分母是 B. 与的最简公分母是 C. 与的最简公分母是 D. 与的最简公分母是 6.下列计算结果正确的有(    ) ；  ； ；  ； ． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7.解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是(    ) A. B. C. D. 8.已知关于的分式方程的解为非负数，则正整数的所有个数为(    ) A. B. C. D. 9.某厂计划加工万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产万个口罩，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 10.对于正数，规定，例如，则的值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.甲从地到地要走小时，乙从地到地要走小时，若甲、乙二人同时从、两地出发， 经过             小时相遇。 12.已知是关于的方程的解，则的值为          ． 13.已知，则代数式的值为_______． 14.一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距蜡烛到凸透镜中心的距离、像距像到凸透镜中心的距离和凸透镜的焦距满足关系，若，，则该凸透镜的焦距        ． 15.已知关于的分式方程无解，则的值为          ． 16.定义一种新运算“”如：则下列结论：的解是 若的值为，则正确的结论是          把所有正确结论的序号都填在横线上． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）判断下列各式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式。 ① ② ③ 18．（6分）计算： （2） 19．（6分）解分式方程：（1）．． 20．（6分）先化简，再求值：，其中，． 21．（8分）在数轴上点对应的数是，且点到原点的距离为，求x的值． 22．（8分）已知其中，为常数，求的值． 23．（8分在学习了分式的乘、除法之后，老师给出了这样一道题，计算： ，同学们都感到无从下手，小明将变形为，然后用平方差公式很容易得出结论你知道他是怎么做的吗 24．（12分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”如：，则是“和谐分式”． 下列分式中，属于“和谐分式”的是          填序号 ． 将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：                               应用：先化简，并回答：取什么整数时，该式的值为整数？ 25．（12分）某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多平方米．建类摊位每平方米的费用为元，建类摊位每平方米的费用为元．用平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的． 求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？ 该社区拟建，两类摊位共个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的倍．求建造这个摊位的最大费用． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第二章 分式及分式方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.在下列各式中，是分式的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B  【解析】分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数，注意不是字母。 ，，这个式子分母中含有字母，因此是分式．其它式子分母中均不含有字母，是整式．故选：． 2.若代数式有意义，则的取值范围是． A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B  【解析】原式． 所以有意义时，且， 即且． 故选B． 3.如果分式的值为，那么的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】B  【解析】若分式的值为零，则分子为零且分母不为零。 根据题意得：且，解得，．故选：． 4.下列各式中，约分后得的是    ． A. B. C. D. 【答案】B  【解析】A.，故A不符合题意； B.，故B符合题意； C.，故C不符合题意； D.为最简分式，但不符合题意． 故选B． 5.下列说法错误的是(    ) A. 与的最简公分母是 B. 与的最简公分母是 C. 与的最简公分母是 D. 与的最简公分母是 【答案】D  【解析】最简公分母找各分母系数的最小公倍数，相同的因式，且指数取最大的。 6.下列计算结果正确的有(    ) ；  ； ；  ； ． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】，  正确； ，则错误； ，  正确； ，则错误； ，正确； 故选C． 7.解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】最简公分母是，方程两边都乘以，把分式方程便可转化成一元一次方程． 方程两边都乘以，得 ， 故选C． 8.已知关于的分式方程的解为非负数，则正整数的所有个数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为非负数，可得不等式，解不等式，可得答案． 去分母，得：， 移项、合并，得：， 分式方程的解为非负数， 且， 解得：且， 正整数解有，，，共个， 故选B． 9.某厂计划加工万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产万个口罩，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】由原计划每周生产的口罩个数结合一周后提高的速度，可得出一周后每周生产万个口罩，根据工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前一周完成任务第一周按原工作效率，即可得出关于的分式方程． 故选：． 10.对于正数，规定，例如，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】由题意得：， 则原式， 故选C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.甲从地到地要走小时，乙从地到地要走小时，若甲、乙二人同时从、两地出发， 经过             小时相遇。 【答案】 【解析】可把路程看作“”，可得甲乙两人的速度分别为、，然后根据“相遇时间路程速度和”列式化简即可． 依题意得：小时， 因此，甲、乙二人同时从、两地出发，经过小时相遇 12.已知是关于的方程的解，则的值为          ． 【答案】  【解析】解：把代入方程得，解得， 经检验得是分式方程的解，故． 13.已知，则代数式的值为_______． 【答案】  【解析】， ， 原式 ． 故答案为． 14.一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距蜡烛到凸透镜中心的距离、像距像到凸透镜中心的距离和凸透镜的焦距满足关系，若，，则该凸透镜的焦距        ． 【答案】  【解析】把，代入得： ， ， 解得： 故答案为：． 15.已知关于的分式方程无解，则的值为          ． 【答案】  【解析】去分母得：， 整理得：， 原方程无解，方程有增根， 将代入，， 解得：， 故答案为． 16.定义一种新运算“”如：则下列结论：的解是若的值为，则正确的结论是          把所有正确结论的序号都填在横线上． 【答案】  【解析】，正确 ，解得，经检验是分式方程的根，正确 ，则且，所以，错误 ，，，所以，正确． 综上，正确结论的序号是． 故答案为：． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）判断下列各式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式。 ① ② ③ 【答案】是最简分式 ②不是最简分式， ③不是最简分式， 【解析】一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题在解题中一定要引起注意 18．（6分）计算： （2） 【答案】解：原式                                     原式 ． 【解析】根据分式的混合运算法则计算 19．（6分）解分式方程：（1）．． 【答案】解：（1）去分母，得， 解得． 经检验，是分式方程的根．  方程两边同乘， 得， ， ， ， 当时，， 为分式方程的增根， 原分式方程无解． 【解析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验 20．（6分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】解：                   ， 当，时， 原式        ．  【解析】根据分式四则运算的顺序和法则进行计算，最后代入求值即可． 21．（8分）在数轴上点对应的数是，且点到原点的距离为，求x的值． 【答案】根据题意得，即或． 分别去分母，得或． 解得或． 经检验，或都是分式方程的解． 故的值为或． 【解析】根据点到原点的距离可以知道点表示的数。然后列分式方程。 22．（8分）已知其中，为常数，求的值． 【答案】解：将等式的左边相减，得：， 根据左右两边相等，可得：解得： ．  【解析】本题主要考查了分式的加减，熟练掌握异分母的分式相减的法则是解决此题的关键．根据分式的加减，先通分，转化为同分母的分式相减，将其相减后，与等号的右边对比，列出关于、的二元一次方程，求出、的值，将其代入计算即可． 23．（8分在学习了分式的乘、除法之后，老师给出了这样一道题，计算：，同学们都感到无从下手，小明将变形为，然后用平方差公式很容易得出结论你知道他是怎么做的吗 【答案】解：原式 ． 【解析】见答案 24．（12分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”如：，则是“和谐分式”． 下列分式中，属于“和谐分式”的是          填序号 ． 将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：                               应用：先化简，并回答：取什么整数时，该式的值为整数？ 【答案】解： 原式， 当或时，原式的值为整数，此时，或，或，或． 又原式有意义， ，，，． ． 故取时，该式的值为整数． 【解析】本题考查了新定义，分式的混合运算和分式有意义的条件． 解，是和谐分式； ，不是和谐分式； ，是和谐分式； ，是和谐分式 故答案为：． 故答案为：． 见答案． 25．（12分）某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多平方米．建类摊位每平方米的费用为元，建类摊位每平方米的费用为元．用平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的． 求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？ 该社区拟建，两类摊位共个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的倍．求建造这个摊位的最大费用． 【答案】解：设每个类摊位的占地面积为平方米， 则每个类摊位占地面积为平方米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 所以， 答：每个类摊位占地面积为平方米，每个类摊位的占地面积为平方米； 设建摊位个，则建摊位个， 由题意得：， 解得， 建类摊位每平方米的费用为元，建类摊位每平方米的费用为元， 要想使建造这个摊位有最大费用， 所以要多建造类摊位，即取最大值时，费用最大， 此时最大费用为：元， 答：建造这个摊位的最大费用是元．  【解析】找等量关系，列分式方程。找不等关系，列不等式。 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第二章 分式及分式方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.在下列各式中，是分式的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.若代数式有意义，则的取值范围是． A. B. 且 C. 且 D. 且 3.如果分式的值为，那么的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 4.下列各式中，约分后得的是    ． A. B. C. D. 5.下列说法错误的是(    ) A. 与的最简公分母是 B. 与的最简公分母是 C. 与的最简公分母是 D. 与的最简公分母是 6.下列计算结果正确的有(    ) ；  ； ；  ； ． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7.解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是(    ) A. B. C. D. 8.已知关于的分式方程的解为非负数，则正整数的所有个数为(    ) A. B. C. D. 9.某厂计划加工万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产万个口罩，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 10.对于正数，规定，例如，则的值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.甲从地到地要走小时，乙从地到地要走小时，若甲、乙二人同时从、两地出发， 经过             小时相遇。 12.已知是关于的方程的解，则的值为          ． 13.已知，则代数式的值为_______． 14.一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距蜡烛到凸透镜中心的距离、像距像到凸透镜中心的距离和凸透镜的焦距满足关系，若，，则该凸透镜的焦距        ． 15.已知关于的分式方程无解，则的值为          ． 16.定义一种新运算“”如：则下列结论：的解是 若的值为，则正确的结论是          把所有正确结论的序号都填在横线上． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）判断下列各式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式。 ① ② ③ 18．（6分）计算： （2） 19．（6分）解分式方程：（1）．． 20．（6分）先化简，再求值：，其中，． 21．（8分）在数轴上点对应的数是，且点到原点的距离为，求x的值． 22．（8分）已知其中，为常数，求的值． 23．（8分在学习了分式的乘、除法之后，老师给出了这样一道题，计算： ，同学们都感到无从下手，小明将变形为，然后用平方差公式很容易得出结论你知道他是怎么做的吗 24．（12分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”如：，则是“和谐分式”． 下列分式中，属于“和谐分式”的是          填序号 ． 将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：                               应用：先化简，并回答：取什么整数时，该式的值为整数？ 25．（12分）某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多平方米．建类摊位每平方米的费用为元，建类摊位每平方米的费用为元．用平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的． 求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？ 该社区拟建，两类摊位共个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的倍．求建造这个摊位的最大费用． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$