精品解析：福建省福州高级中学2024-2025学年高三上学期第一次阶段考试数学试卷

福州高级中学2024—2025学年高三上学期第一次阶段考试 数学试题 命卷教师：张平 审卷教师：翁金雄 试卷总分：150分 完卷时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数单调性得出集合，再应用并集定义计算求解. 【详解】因为集合， 则 故选：D. 2. 设，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当时，令，，满足，此时， 所以由“”不能推出“”； 反之，当时，所以，当且仅当时等号成立， 所以，所以由“”能推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数、幂函数性质比较大小. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：A 4. 的展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. 40 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】写出展开式的通项，然后即可算出答案. 【详解】的展开式的通项为： 所以的展开式中含项的系数为 故选：B 【点睛】本题考查的是二项式定理的应用，考查了二项展开式的通项公式，较简单. 5. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆切线的性质及已知求得，再由二倍角正切公式求值. 【详解】化，圆心为，半径为2 所以点到圆心的距离为，则切线长为， 所以，则. 故选：D 6. 牛皮鼓，又称堂鼓、喜庆鼓，多用于江南祠堂内婚嫁迎娶和迎新年等.牛皮鼓的制作工艺考究，有数十道工序，包括处理牛皮、创制鼓腔、蒙皮、拉皮、钉钉，每道工序都考验着手艺人的技艺和耐心.如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为，鼓身高度为，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为，若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的表面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆台知识求母线，再计算底面面积和侧面积，然后根据图像确定牛皮鼓的表面是由圆台的侧面和上底面构成计算即可. 【详解】依题意可得：圆台上底面半径为，圆台下底面半径为，高为， 所以母线长为， 故圆台的上底面面积即牛皮鼓的鼓面面积为， 圆台侧面积为， 该牛皮鼓的表面积为两个圆台的侧面积加上两个圆台的上底面面积即牛皮鼓的鼓面面积为. 故选：C 7. 若函数图象在点处的切线方程为，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，表示出切线方程，再求出的表达式，最后借助导数即可作答. 【详解】由求导得：，于是得， 函数图象在点处的切线方程为， 整理得：，从而得，， 令，则，当时，，当时，， 于是得在上单调递减，在上单调递增，则， 所以的最小值为. 故选：B 8. 已知双曲线C：的右焦点为F，过F作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点，且，则该双曲线的离心率为（    ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得，，，利用，借助正切值列方程求双曲线的离心率. 【详解】双曲线的右焦点为，渐近线方程为， ，则有，到渐近线的距离，    ，，∴，， 则，，， 由，有，即， 解得，则有，所以离心率. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若一组不完全相同的数据，，…，的平均数为，极差为a，中位数为b，方差为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，，，…，，其平均数为，极差为，中位数为，方差为，则下列判断一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据均值、极差、中位数、方差的定义判断． 【详解】，，，…，中最大值和最小值不变，极差不变； 而，因此平均数不变， 如果原来是偶数个数，中位数是中间两个数的均值，现在变成奇数个数， 中位是中间的一个数，两个中位数可能不相等，中位数可能改变， 而方差为，，两者一定不相同. 故选：AB. 10. 已知函数，则（    ） A. 直线与的图象有四个交点 B. 有两个零点 C. 直线与的图象至多有两个交点 D. 存在两点同时在的图象上 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数图象可得ABC；D选项，转化为与在第一象限内有交点即可，由函数单调性及特殊点的函数值，得到答案. 【详解】画出的图象，如下：     A选项，在同一坐标系内画出与直线的图象，     可知直线与的图象有2个交点，A错误； B选项，有两个零点，即和0，B正确； C选项，由图象可得，可能有三个交点，故C错误； D选项，点是关于对称的两点， 因为，故是位于第一象限的点，位于第二象限， 在上，要想满足同时在的图象上， 只需与在第一象限内有交点， 因为，故， 又，故， 两函数均在单调递增，故一定存在，使得，D正确. 故选：BD. 11. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，则（    ） A. 三棱锥体积为 B. 点到直线的距离为 C. 二面角的正切值为 D. 三棱锥外接球的球心到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项利用等体积法可求解；B选项证明即为点到直线的距离，再利用勾股定理可求解；C选项利用B选项可找到二面角的平面角，即可求解；D选项作出球心所在的矩形，再利用的外心即可求解. 【详解】 对于A选项，取的中点，连接， ，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 取的中点，连接， ，，，， 则， ， ， 三棱锥的体积为，故A正确； 对于B选项，取的中点，连接，，则，， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面，， ， 点到直线的距离为，故B错误； 对于C选项，由B的解析可知是二面角的平面角， 则， 二面角的正切值为，故C正确； 对于D选项，设，的外心分别为，则， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 设三棱锥外接球的球心为，则平面，平面， 四边形为矩形，则， 三棱锥外接球的球心到平面的距离为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 现有两个罐子，1号罐子中装有3个红球､2个黑球，2号罐子中装有2个红球､3个黑球.现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设事件，由全概率公式求解即可. 【详解】设事件表示“从2号罐子中取出的球是红球”， 事件表示“从1号罐子中取出的球是红球”， 事件表示“从1号罐子中取出的球是黑球”， ， 则 . 故答案为：. 13. 已知点，符合点A，B到直线l的距离分别为1，2的直线方程为____（写出一条即可）. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意可知直线l是圆与圆的公切线，先判断两圆外离，可得直线l有四条，再根据几何性质（相似三角形的性质）和点到直线的距离公式即可求解直线l的方程． 【详解】由题意可知直线l是圆与圆的公切线， 两圆圆心距为，则两圆为外离关系，所以满足条件的直线l有四条． 如图，当直线l是两圆的外公切线时， 有，则， 所以，则，即为中点，则， 设直线l的方程为，则，解得， 此时直线l的方程为或； 如图，当直线l是两圆的内公切线时， 根据对称性，可得，又， 则，所以，则，即， 设直线l的方程为，则，解得， 此时直线l的方程为或． 综上所述，所求直线方程为或或或. 故答案为：（答案不唯一）． 14. 已知函数的最大值为M，最小值为m，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】令，可得为上的奇函数，由，即可求解. 【详解】， 令， ， 所以为上的奇函数， 则. 故答案为：2. 四、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，. （1）求； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求的面积. 条件①：；条件②：边上中线的长为；条件③：. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）2 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解， （2）选择条件①时根据大边对大角即可说明三角形不存在， 选择条件②时，在中，由余弦定理得角的余弦值再根据同角关系求正弦值，最后由面积公式计算即可， 选择条件③时根据倍角公式即可求，再用余弦定理求，最后由面积公式计算即可. 【小问1详解】 因为， 在△中，由正弦定理，可得：， 又因为， 所以 【小问2详解】 选择条件①；由，故此时三角形不存在，故不能选择条件① 选择条件②，设边上的中线为，则，， 在中，由余弦定理得： ， 因为，所以， 所以的面积为 选择条件③，由题设，因为，所以， 因为，所以 因为，所以，所以， 由余弦定理可得：， 整理得，解得（舍）， 因为，所以， 所以的面积为 16. 已知各项均为正数的数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，若，求满足条件的最小正整数. 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）将递推公式进行化简可得数列是等差数列，进而可求解； （2）利用裂项相消法可求得，再通过解不等式求得的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 ， ， ，，又， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ； 【小问2详解】 ， ， ，，， 或（舍去）， ，满足条件的最小正整数为 17. 如图，四棱锥中，底面四边形是直角梯形，，，直线与所成的角为． （1）求证：平面平面； （2）点为线段上一点，若二面角的大小为，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线线垂直可证明线面垂直，即可得面面垂直， （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解. 【小问1详解】 证明：平面， 平面． 又平面， 平面平面． 【小问2详解】 在平面内，过作轴，建立空间直角坐标系（如图）． 由题意有，设，则， ， 由直线与直线所成的角为，得，即，得，所以． 由直角梯形可知，则可设． 由题意可得，设平面的一个法向量为， 则，取，得． 平面的法向量取， 则，解得（负值舍去），则． 18. 2022年11月4日上午，福建省福州市教育局对2023年初中毕业生体育考试抽考类、抽选考类项目进行摇号抽签，最终确定排球对墙垫球为抽考项目，立定跳远、50米跑、双手头上前掷实心球三项为抽选考项目（考生从这三个项目中自选两项考试）.此外，体育中考还有必考项目：1000米跑（男）、800米跑（女）或200米游泳（泳姿不限），考生按性别从2个项目中自选1项考试.若某初三男生参加中考体育测试的项目为排球对墙垫球、立定跳远、双手头上前掷实心球、1000米跑.为了提高成绩，该男生决定每天进行多次训练（一次练一项），第一次，在4个项目中等可能地随机选一项开始训练，从第二次起，每次都是从上一次未训练的3个项目中等可能地随机选1项训练. （1）若该男生某天进行了3次训练，求第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率； （2）若该男生某天进行了5次训练，4个项目都有训练，且第一次训练的是“1000米跑”，前后训练项目不同视为不同的训练顺序，设5次训练中选择“1000米跑”的次数为，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）设第一次训练的是“排球对墙垫球”的概率为，第一次训练的不是“排球对墙垫球”的概率为，则所求概率为； （2）由题可得的所有可能取值为1，2. 说明后4次训练中除“1000米跑”外的3项中有1项训练了2次，余下的2项都各训练一次，说明“1000米跑”训练了2次，第三次或第四次或第五次也训练了“1000米跑”，据此可得分布列及期望. 【小问1详解】 第一次训练的是“排球对墙垫球”，且第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率为， 第一次训练的不是“排球对墙垫球”，且第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率为， 所以第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率为. 【小问2详解】 由题意知“1000米跑”最多训练2次，所以的所有可能取值为1，2. ①说明后4次训练中除“1000米跑”外的3项中有1项训练了2次，余下的2项都各训练一次， 从除“1000米跑”外的3项中选一项训练2次有种方法，不妨设训练了2次“排球对墙垫球”，可分为以下两类： 第一类，第二次训练的是“排球对墙垫球”，则第四次或第五次也训练了“排球对墙垫球”，有种方法； 第二类，第三次训练的是“排球对墙垫球”，则第五次也训练了“排球对墙垫球”，有种方法，因此共有种方法. ②说明“1000米跑”训练了2次，第三次或第四次或第五次也训练了“1000米跑”，故有种方法. 所以， . 所以的分布列为： 1 2 所以. 19. 已知函数. （1）当时，确定函数的零点个数； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （3）若，证明：. 【答案】（1）个零点 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）令，结合，等价于的解，令，求导得到函数的单调性，结合零点存在定理，即可求解； （2）求出导函数，由在上恒成立，分离参数化为，再求出新函数的最大值即得； （3）不等式变形为，然后由导数求出不等式左右两边两个函数的最值，从而证得不等式成立. 【小问1详解】 当时，，令，即， ， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增. ， 在上有且只有一个零点，在上有且只有一个零点， 在上只有个零点，即在上只有个零点. 【小问2详解】 由题意知，. 因为函数在上单调递增， 所以当时，，即恒成立. 令 ，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，所以. 故实数的取值范围是. . 【小问3详解】 若，要证， 只需证，即. 令 ，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以 令 ，则，令 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，所以，故原不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州高级中学2024—2025学年高三上学期第一次阶段考试 数学试题 命卷教师：张平 审卷教师：翁金雄 试卷总分：150分 完卷时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则等于（    ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则（    ） A. B. C. D. 4. 的展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. 40 D. 80 5. 过点与圆相切两条直线的夹角为，则（    ） A. B. C. D. 6. 牛皮鼓，又称堂鼓、喜庆鼓，多用于江南祠堂内婚嫁迎娶和迎新年等.牛皮鼓的制作工艺考究，有数十道工序，包括处理牛皮、创制鼓腔、蒙皮、拉皮、钉钉，每道工序都考验着手艺人的技艺和耐心.如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为，鼓身高度为，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为，若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的表面积为（    ） A. B. C. D. 7. 若函数图象在点处的切线方程为，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线C：的右焦点为F，过F作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点，且，则该双曲线的离心率为（    ） A. B. C. 2 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若一组不完全相同的数据，，…，的平均数为，极差为a，中位数为b，方差为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，，，…，，其平均数为，极差为，中位数为，方差为，则下列判断一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（    ） A. 直线与的图象有四个交点 B. 有两个零点 C. 直线与图象至多有两个交点 D. 存在两点同时在的图象上 11. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，则（    ） A. 三棱锥的体积为 B. 点到直线的距离为 C. 二面角的正切值为 D. 三棱锥外接球的球心到平面的距离为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 现有两个罐子，1号罐子中装有3个红球､2个黑球，2号罐子中装有2个红球､3个黑球.现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为___________. 13. 已知点，符合点A，B到直线l距离分别为1，2的直线方程为____（写出一条即可）. 14. 已知函数的最大值为M，最小值为m，则___________. 四、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，. （1）求； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求面积. 条件①：；条件②：边上中线的长为；条件③：. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 16. 已知各项均为正数的数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，若，求满足条件的最小正整数. 17. 如图，四棱锥中，底面四边形是直角梯形，，，直线与所成的角为． （1）求证：平面平面； （2）点为线段上一点，若二面角的大小为，求的长． 18. 2022年11月4日上午，福建省福州市教育局对2023年初中毕业生体育考试抽考类、抽选考类项目进行摇号抽签，最终确定排球对墙垫球为抽考项目，立定跳远、50米跑、双手头上前掷实心球三项为抽选考项目（考生从这三个项目中自选两项考试）.此外，体育中考还有必考项目：1000米跑（男）、800米跑（女）或200米游泳（泳姿不限），考生按性别从2个项目中自选1项考试.若某初三男生参加中考体育测试的项目为排球对墙垫球、立定跳远、双手头上前掷实心球、1000米跑.为了提高成绩，该男生决定每天进行多次训练（一次练一项），第一次，在4个项目中等可能地随机选一项开始训练，从第二次起，每次都是从上一次未训练的3个项目中等可能地随机选1项训练. （1）若该男生某天进行了3次训练，求第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率； （2）若该男生某天进行了5次训练，4个项目都有训练，且第一次训练的是“1000米跑”，前后训练项目不同视为不同的训练顺序，设5次训练中选择“1000米跑”的次数为，求的分布列及数学期望. 19. 已知函数. （1）当时，确定函数的零点个数； （2）若函数在上单调递增，求实数取值范围； （3）若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $