湖南省天壹名校联盟2025-2026学年高一上学期期末大联考数学试题

2025年上学期高一期末质量检测·数学 参考答案、提示及评分细则 1【答案】A 【解析】由题意可设x=i(3一i)=1十3i,由复数的概念可知：的实部为1，故选A. 2.【答案】C 【解析】由题意可得A={x11<x<10},故A∩B={5,9},其元索之积为45，故选C. 3.【答案】D 【解析设小球的半径为，由题意可得号-}xX3X16,解得=3m,经验证符合题息，故选D 4.【答案】A 【解析】甲、乙两人恰好有一人投中的概率为0.7×(1一0.8)十0.8×(1-0.7)=0.38，故选A. 5.【答案】D 【解析】若m∥a,n∥a,则m,n平行、相交或异面，故A错误：若m∥3，nC3,则m,n平行或异面，故B错误： 若m∥n,n∥a,则m∥a或mCa,故C错误；若a∥B,nCa,由面面平行的性质有n∥B,故D正确，故选D. 6.【答案】B 【条标1如图.设D0,则AQ=+1,因为△QDC△QAP,所以器是解得AP=Q、 2+2,所以△APQ的面积为2AP·AQ=2(x+1D(2+)=2(2x+是+4)= x++2.因为x+>2·工=2，当且仅当x=,即x=1时取等，所以△APQ的面积的最小值为 2十2=4，故选B. 7.【答案】A 【解析】由6×65%=3.9∈(3,4)可知要求对象为这组数据由小到大排列后的第四个数字.不妨令α≤b,注意 到这组数据的极差为4.当a=2时，b∈[2,6]，此时这组数据可写为2,3,4,4,6，b,此时第四个数字必为4：当 b=7时，a∈[3,7]，此时这组数据可写为3,4,4,6,7，a,对a进行讨论.当a≤4时，第四个数字为4：当 a∈(4,6]时，第四个数字为a;当a>6时，第四个数字为6.综上，第四个数字的取值范围为[4,6们，故选A. 【高一数学试题参考答案第1页（共6页）】 8.【答案】B 【解析】由题意可得cosB=（1-snB)XmC,整理得sinCeos=cmsC-coCsiB,移项得到sinCcosB十 cosCsinB=-cosC,故sin(B+C)=cosC,因为在△ABC中，A+B十C=x,C∈(0，x),A∈(0,2），所以 sin(B+C)=sinA=cos(受-A）=osC,所以受-A=C,故B=受故选B 9.【答案】BC 【解析】f(x)的定义域为(0，十©∞)，故A错误：函数y=logx单调递增且值域为R,y=8单调递增且值域为 (0,+∞)，所以f()单调递增且值域为R.故B正确：f(3)=1og31+=-1+2=1,故C正确：f(日)》 =1og3+厉=-2+万<0，因为f(x)单调递增，所以f(x)的零点大于g,故D错误：故选BC. 10.【答案】ACD 【解析】因为复数之，w是方程x2一2x十2=0的两根，由求根公式可得，x=2生8 2 =1士i,因为x在复平 面内对应的点在心的上方，所以之的虚部更大，故x=1十i,=1一i,故A正确：由复数的几何意义可得 M(1,1),N(1,-1),故OM.ON=1-1=0,故B错误：易得：-20=-1+3i,故之-2w=√-1)+3 =0.故C正确：设名}CD+Di,所以s==i=i,故D正确：故选ACD, 11.【答案】BC 【解析】f(x)的最大值与g(x)的最小值之差为5，显然g(x)的最小值为一1，所以f(x)的最大值为4，故 △=士4，故A错误：记f(x)的最小正周期为T,(x)相邻零点之间的距离为分，所以？=红=艺，解得 。=2,故B正确：因为直线x=一音既是y=f)的对称轴也是y=gú)的对称轴，所以-子十9，=x k∈Z,一名十=受十x,∈Z解得9=行=一行故y=fx)的对称轴方程为2x十行=kx,∈乙， 解得=一看+经kEZy=双)的对称轴方程为一吾-=号十，k∈Z,解得=晋+6红=一后+6 6 k∈Z,所以存在一条直线是y=f(x)的对称轴但不是y=g(x)的对称轴，故C正确：y=f(x)的对称中心 为2十号-受十x6∈7解得=登+经：k∈7y=8（)的对称中心为一音=∈7解得x=音 十kπ，k∈Z,不存在一个k值使两个解相等，故D错误；故选BC 【高一数学试题参考答案第2页（共6页）】 12.【答案】8或-8（少写不给分） 【解析】由题意可得向量A与AD的夹角为管或经。当夹角为时，店，币==·1·s吾 8,当夹角为时..币=A1·币1·0s--8,故容案为8或-8. 13.【答案】[-1，十∞) 【解析】由题意得力：“3r>≥1，x-二-a<0”为真命题，所以a≥r二在区间[1，十©)内有解，又知y= x- 二在区间[1，十∞)内单调递增，所以≥(-)=-1，故a的取值范围为[-1，+o0)故答案为 [-1,+∞). 14【答案)号 【解析]由题意可得B=一C.A士，由B>0得C∈(o,),在△ABC中，由正弦定理得 BC AC sinA sinB C AB AB+AC 1 C sinC sinB+sinc sinB+sinC,所以BC= cos 2 3C_ 3C .又cos2=cos2cosC- sin sinc cos -+sinC C C C cos 2 cos 2 1 代人BC= 得BC= 3C C C cos2+sinc 4cos°9-3cos号+2sin2cos7 4 cos2-3+2sin 1 4 -4 sin +2c令1m专0）·则C--4+2+￥4(ty 时，BC取得最小值号故答案为 15.【解析】(1)若a⊥b,则a·b=2sinx十3C0sx=0,…2分 3 故tan.x= …3分 所以sinx-3cosx tanx-3 9 cos.x十2sin.x 1+2tan.x4: 6分 (2)x=0时，b=(0,1), ……7分 a十mb=(2,3十m）,……… 8分 【高一数学试题参考答案第3页（共6页）】 若a与a十mb的夹角为锐角，则a·(a十mb)>0,且a与a十mb不共线（同向），…10分 13 由a·(a十mb)>0,可得3m+13>0.解得m> 3, 11分 由a与a十mb不共线（同向），所以m≠0，… 12分 综上m的取值范图为（0）U(0,十). 13分 16.【解析】(1)f(x)为偶函数，… …1分 理由如下：易得f(x)的定义域{xx≠0}，定义域关于原点对称，…3分 又f-x)=(-x)(2十）=-r(2）=r(2十2分）=f.……6分 故f(x)为偶函数.… …7分 (2)由(1)知，f(x)为偶函数，只需证明x∈(0，十∞)时，f(x)>0,…8分 此时2-1>0.故2十>0，又>0， 11分 所以f)=(2十号）>0在0，十o∞)上恒成立，… 13分 结合偶函数对称性可知，f(x)>0在定义域上恒成立，得证.…15分 17.【解析】(1)由正弦定理可得4 sinBco0sA-2 sinAcosB=sinC,…2分 又A,B,C为△ABC的内角，故sinC=sin(A十B)=sinAcosB十cosAsinB.…3分 代人，有4 sinB c0sA-2 sinA c0sB=sinAc0sB+c0 sA sinB,…4分 也即3 sinBc0sA-3 sinAco0sB=0,即sin(B-A)=0.…5分 又A∈(0，π），B∈(0，π)，则A=B.…6分 (2)不妨设AD为BC边上的中线，在△ABC中，有cOsB=AB+BC-AC 2·AB·BC,…8分 化简得c0sB= 3 10分 在△ABD中，有cOsB=AB+BD:-AD: 2·AB·BD 12分 9+1 且BD=2BC1=2AC,即cosB= 2 14分 2·3· 代入解得a=4.… 15分 【高一数学试题参考答案第4页（共6页）】 18.【解析】1)x=(22.5×0.02+27.5×0.07+32.5×0.05+37.5×0.04+42.5×0.02)×5=31.75≈32（岁）.…3分 (2)由题意得，第四组应抽取0.04X5X20=4人，……4分 记为A(甲)，B,C,D,第五组应抽取0.02X5X20=2人，…5分 记为E(乙)，F,从中随机抽取2人对应的样本空间为： 2={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F), (C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)}, ……7分 设事件M为“甲、乙两人至少一人被选中”，则M={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,E), (C,E),(D,E),(E,F)},…9分 所以P(M)= n(M)93 0)55,7 …10分 (3)设第四组、第五组的宣传使者年龄的平均数分别为x4,x,方差分别为s,, 则x=36,x5=42,s=1,s=2,… …12分 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为。， 则：=4x十2五_4×36+2×42 。。。 6 =38,… 13分 2= +G-门++G。-门=1+(36-38)门+2[2+(42-38)]- 4 。…16分 估计第四组和第五组所有人的年龄的平均数为38，方差为 .……17分 19.【解析】(1)由于AB⊥AD,AC⊥AD,且AB∩AC=A,AB,ACC平面ABC. 故AD⊥平面ABC,…2分 由三棱台ABC一DEF知平面ABC∥平面DEF,故AD⊥平面DEF,……3分 又因为ADC平面ADEB.故平面ADEB⊥平面EDF.……4分 解法一：(2)由(1)，AD⊥平面EDF,则AD⊥DE,AD⊥DF,故有△ADE≌△ADF,则DE=DF,∠AED =∠AFD. …6分 设AB=x,则由棱台性质，△DEF与△ABC相似，则AB=AC,由余弦定理可得BC=√5x.…7分 由棱台性质可得AB∥DE,AC∥DF,则∠AED=∠BAE,∠AFD=∠FAC.故有DE=2,△ABE≌ △ACF,则BE=CF,则在梯形ABED中，有BE=√一4.x十12.…8分 25-5x 在梯形BCFE中，由于BE=CF,故有cos∠BEF=一cos∠EBC= ,由CE=√15，在△BCE /x-4x+12 中，由余弦定理，有cos∠EBC= BC2+BE2-CE 2·BC·BE ……10分 【高一数学试题参考答案第5页（共6页）】 代入解得x=1或-3.又AB<DE,故AB=1.… …11分 (3)如图，延长EB,FC,DA,由棱台性质知三线交于一点P,作DM⊥EF,连接PM, AM,由EFC平面DEF,故AD⊥EF,又DM,PDC平面PDM,则EF⊥平面 PDM.又PM,AMC平面PDM,则EF⊥PM,EF⊥AM:则∠PMA即为二面角 A一EF一B的平面角.……13分 B D 由三角形之间的关系可知，PE=6,EM=√5，DM=1,AP=AD=2√2.则PM √/33，AM=3.……………14分 则由余弦定理可得，Os∠PMA=PM+AM-AP1733 2·PM·AM 99 16分 即二面角A-EF一B的余弦值为17Y丽 99 17分 解法二：(2)由(1)可得平面ADEB⊥平面EDF,过点B作BG⊥DE,垂足为点G,连 接BF,GF,………5分 易得BG⊥平面EDF,又因为GFC平面EDF,故BG⊥GF,…6分 设AB=x,易得△ADE≌△ADF,则DE=DF,∠AED=∠AFD,…7分 E 由棱台性质可得△DEF与△ABC相似，则∠BAC=∠EDF=120°，故DE=2, 8分 在△AED中，由勾股定理可得AD=√AE一DE=2√2，易得四边形ABGD为矩形， 故BG=AD=2√2，… …9分 易得△ABE≌△ACF,则BE=CF,故四边形BEFC为等腰梯形，故BF=CE=√I5,…10分 在△BGF中，由勾股定理可得GF=√BF一BG=√T,在△DGF中，由余弦定理可得GF=DG+DF 2 DGX DFXc08120,…………11分 即7=x2+4-2x×2> 解得x=1或x=一3，故AB=1.…12分 (3)取BC中点H,EF中点I,连接AH,AI,HI,易得HI⊥EF,AI⊥EF,…13分 故∠HIA即为二面角A一EF-B的平面角，易得BE=√(22)十(2-1)2=3，…14分 故HI= 32- .33 ,在△AHI中，由余弦定理可得cOs∠HIA= B H HI:+AI-AH 17V33 2HI×AI 99 16分 故二面角A-EF一B的余弦值为]7y网 99 17分 【高一数学试题参考答案第6页（共6页）】机密★启用前 2025年上学期高一期末质量检测 数学 本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.i(3一i)的实部为 A.1 B.3 C.-1 D.-3 2.已知集合A={x|0<1gx<1},B={1,5,9,13},则集合A∩B中的元素之积为 A.5 B.9 C.45 D.117 3.一个杯口半径为3cm,高为16cm的圆柱形水杯盛有水（不计厚度），当杯底水平放置时，水面的 高度为水杯高度的二，若放入一个小球（球被完全浸没），水无溢出且恰好充满水杯，则该小球的 半径为 A.1 cm B.2 cm C.2.5 cm D.3 cm 4.体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率 为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为 A.0.38 B.0.56 C.0.26 D.0.52 5.设m,n是两条不同的直线，a,3是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A.若m∥a,n∥a,则m∥n B.若m∥B,nCβ，则m∥n C.若m∥n,n∥a,则m∥a D.若a∥B,nCa,则n∥3 【高一数学试题第1页（共4页）】 6.矩形ABCD中，AB=2,AD=1,过点C的一条直线与直线AB,直线AD分别相交于点P,Q, 其中AP>AB,AQ>AD,则△APQ的面积的最小值为 A.22 B.4 C.42 D.6 7.已知样本数据3,6,4,4，a,b的极差为4，则该组样本数据的第65百分位数不可能是 A.3 B.4 C.5 D.6 8在△ABC中，A是锐角，且cosB=C,则△ABC的形状为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9.已知函数f(x)=1ogax十8，则 A.f(x)在R上单调递增 B.f(x)的值域为R c.f(3)=1 Dfx)的零点小于号 10.已知复数z,心是方程x2一2x十2=0的两个根，且在复平面内，之对应的点M在心对应的点 N的上方，O为坐标原点，则 A.=1+i B.OM·ON=1 2025 C.z-20=√10 D() =i 1.已知函数fx)=Acos(ar十9)w>0),gx)=sin(x十p:lp,≤2，i=1,2f(x)相邻零 点之间的距离为2，直线x=一既是y=f(x)的对称轴也是y=g(x)的对称轴，f(x)的最 大值与g(x)的最小值之差为5，则 A.A=4 B.w=2 C存在一条直线是y=f(x)的对称轴但不是y=g(x)的对称轴 D.存在一点既是y=f(x)的对称中心也是y=g(x)的对称中心 【高一数学试题第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知边长为4的菱形ABCD的一个内角为，则AB·AD= 13.已知命题力：“Vx≥1，x-2-a>0”为假命题，则实数a的取值范围为 14.在△ABC中，A=B+2C,AB+AC=1,则BC的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知平面向量a=(2,3),b=(sinx,c0sx). （1)若a1b,求nz二3c0的值； cosx++2sinx (2)若x=0,且a与a十mb的夹角为锐角，求m的取值范围. 16.(5分)已知函数fx)=x(2十号》 (1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)证明：f(x)>0. 17.(15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且4 bcosA一2 a cosB=c. (1)证明：A=B; ②)若c=3,且BC边上的中线长为24，求a, 【高一数学试题第3页（共4页）】 18.(17分)某运动机构为了了解当地人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本地区不同 年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组 [20,25),第二组[25,30)，第三组[30,35)，第四组[35,40)，第五组[40,45]，得到如图所示的频 率分布直方图。 ◆频率/组距 0.07 (1)根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄（同一组中 0.05 的数据以该组区间的中点值作代表，最终计算结果精确到个位)； 0.04 0.02 (2)从以上各组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取20人担任本 0202530354045年龄/岁 地区的“半程马拉松”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两 人已确定人选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2人作 为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数 与方差分别为42和2，据此估计年龄在[35,45]内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数 和方差. 19.(17分)如图，三棱台ABC一DEF中，AB<DE,△AEF是边长为23的等边三角形，且 CE=√15，AB⊥AD,AC⊥AD,∠BAC=120°. (1)证明：平面ADEB⊥平面EDF; (2)求AB的长； (3)求二面角A一EF一B的余弦值， 【高一数学试题第4页（共4页）】2025年上学期高一期末质量检测 数学答题卡 名 贴条形码区 号 考生转新暖考老生有面老域局多和民清传出想笔维修有的触天每足 1青世编，香生然g诗是量韩已纳时名，准军证可销同在能消营，传准方 注 西格鞋在线的位道 等 事 选择题（请用2汩如笔演涂】 1[A】.LsJG1L0] 5[AJt】IG][O 4[A】N】LG,LD1 2[A】s1《a101 nIAI [B][CI [D) 10A][B1 [C][D] 3[A)[e](cl [D] 7[A][a1G1p iI【A1tn]【e)[D] 4[A】I8]IG1ID 8a」[B时ICID 非道保题（清使用0.5毫米的黑色字凌苔字笔书写1 25分1 民(3分) 45分) 离在香国的溶面夏碱内作香，指正规制也想带定区城的所南无数 15(本小题分1违分 角一数单重1面（共2面1 速在有程目香国调内清活，用国辆达座■夏域的答南更塘 6本小避清分5分1 17.(本小题确分15分1 店车森得销满越国健内作青，燃出银料的口能面据速的满室光站 1风.（本园满分7分 :飘家植通 0 0体习58能 结存务箱目的等粗道道内作高，植出量制味想健定道域的高率光置 角一数单第2面（共2面1 收（木小题清分7分） 地存务端目的常组组域内作活，维出架触山健量市或国的苦率光量